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概率论与数理统计复习课武汉理工大学统计学系 毛树华例例1 1、填空题：、填空题： 1 1、已知、已知, , (1)(1)当当A A、、B B互不相容时，互不相容时，(2)(2)当当A A、、B B相互独立时，相互独立时，(3)(3)当当 时，时，2 2、已知、已知 则则二、常见例题精解二、常见例题精解 3 3、一种零件的加工由两道工序组成，第一道、一种零件的加工由两道工序组成，第一道工序的废品率为工序的废品率为p p，，第二道工序的废品率为第二道工序的废品率为q q则该零件加工的成品率为则该零件加工的成品率为 _________4 4、、甲甲、、乙乙两两人人独独立立地地对对同同一一目目标标射射击击一一次次，，其其命命中中率率分分别别为为0.50.5和和0.40.4，，现现已已知知目目标标被被击击中，则它是乙射中的概率是中，则它是乙射中的概率是 5 5、、设设三三次次独独立立试试验验中中，，事事件件A A出出现现的的概概率率相相等等，，若若已已知知A A至至少少出出现现一一次次的的概概率率为为 ，，则则在在一次试验中事件一次试验中事件A A出现的概率为出现的概率为 。

例例2 2、单项选择题、单项选择题 ：： 1 1、、以以A A表表示示事事件件“甲甲种种产产品品畅畅销销，，乙乙种产品滞销种产品滞销”，则其对立事件为（　），则其对立事件为（　） A A．．““甲种产品滞销，乙种产品畅销甲种产品滞销，乙种产品畅销”；； B B．．““甲、乙两种产品均畅销甲、乙两种产品均畅销”；； C C．．““甲种产品滞销甲种产品滞销”；； D D．．““甲种产品滞销或乙种产品畅销甲种产品滞销或乙种产品畅销” 2 2、、如如果果事事件件 、、 有有 ，，则则下下述述结结论论正正确的是（确的是（ ））A A．． 与与 必同时发生必同时发生 B B．． 发生，必发生；发生，必发生；C C．． 不发生，必不发生不发生，必不发生D D．．不发生，必不发生不发生，必不发生 3 3、掷两枚均匀硬币，出现、掷两枚均匀硬币，出现“一正一反一正一反”的的概率是（概率是（ ）） A A．． ；； B B．． ；； C C．． ；； D D．． 。

 4 4、设、设 、、 为任意两个事件，且为任意两个事件，且 ，， ，则下列选项必然成立的是（，则下列选项必然成立的是（ ）） 5 5、、已已知知 ，， ，，如如果它们满足条件（果它们满足条件（ ）时，则能使等式）时，则能使等式 成立 A A．． 是一个完备事件组；是一个完备事件组； B B．． 两两互斥；两两互斥； C C．． 相互独立；相互独立；D D．． 的并集是全集的并集是全集 ， 且 ， 例例3 3、设两两独立的三个事件、设两两独立的三个事件A A、、B B、、C C，，满足满足求求答案：答案：解：由于解：由于 三事件两两独立，所以三事件两两独立，所以又由于又由于所以所以 例例4 4、用三个机床加工同一种零件，零件由、用三个机床加工同一种零件，零件由各机床加工的概率分别为各机床加工的概率分别为0.50.5、、0.30.3、、0.20.2，各机，各机床加工的零件为合格品的概率分别为床加工的零件为合格品的概率分别为0.940.94、、0.900.90、、0.950.95，求全部产品的合格率。

求全部产品的合格率  解：设解：设 分别表示零件由第一、分别表示零件由第一、第二、第三个车床加工，第二、第三个车床加工， 表示产品为合格表示产品为合格品则由题意得：品则由题意得：从而从而: 例例5 5、假定某工厂甲、乙、丙３个车间生、假定某工厂甲、乙、丙３个车间生产同一螺钉产量依次占全厂的产同一螺钉产量依次占全厂的45%45%，，35%35%，，20%20%，如果每个车间的次品率依次为，如果每个车间的次品率依次为4%4%，２，２% %，，5%5%现在从待出厂的产品中检查出１个次品，问它现在从待出厂的产品中检查出１个次品，问它是由甲车间生产的概率是多少？是由甲车间生产的概率是多少？ 解：设解：设 分别表示螺钉由甲、乙、分别表示螺钉由甲、乙、丙三个厂生产，丙三个厂生产， 表示螺钉为次品则由题意表示螺钉为次品则由题意得：得：从而从而: 例例6 6、甲、乙两人各自向同一目标射击，、甲、乙两人各自向同一目标射击，已知甲命中目标的概率为已知甲命中目标的概率为 0.70.7，乙命中目标的，乙命中目标的概率为概率为0.8 0.8 求：求： (1)(1)甲、乙两人同时命中目标的概率；甲、乙两人同时命中目标的概率； (2)(2)恰有一人命中目标的概率；恰有一人命中目标的概率； (3)(3)目标被命中的概率。

目标被命中的概率 解解:设设 分别表示甲乙命中目标分别表示甲乙命中目标则例例7 7、设、设 , , ，，证明：证明： 证证:例例8 8、、将将二二信信息息分分别别编编码码为为0 0和和1 1传传送送出出去去，，接接收收站站接接收收时时，，0 0被被误误收收作作1 1的的概概率率为为0.020.02，，而而1 1被被误误收收作作0 0的的概概率率为为0.010.01，，信信息息0 0和和1 1传传送送的的频频繁繁程程度度为为2:2:1，，若若接接收收站站收收到到的的信信息息是是0 0，，问问原原发发信信息是息是0 0的概率是多少？的概率是多少？ 解解:设设 表示发送编码为表示发送编码为0 ; 表示接受编码表示接受编码为为0;由题意知由题意知从而从而:第二章第二章 习题课习题课一、内容概要一、内容概要 1、随机变量的定义、随机变量的定义 设设 是随机试验，它的样本空间是随机试验，它的样本空间 ，，如果对于每一个如果对于每一个 ，有一个实数，有一个实数 与之对应，这样就得到一个定义在与之对应，这样就得到一个定义在 上的上的单实值函数单实值函数 ，称之为，称之为随机变量随机变量。

2、离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量及其分布列如果随机变量如果随机变量 的只取有限个或可数个值的只取有限个或可数个值并且取各个值的对应概率为并且取各个值的对应概率为 即即则称则称 为为离散型随机变量离散型随机变量，上式称为，上式称为 的的概概率分布率分布，又称，又称分布密度分布密度或或分布列分布列离散型随机变量的分布列具有以下性质：离散型随机变量的分布列具有以下性质：（（2））（（1））3、分布函数及其性质、分布函数及其性质 设设 是一个随机变量，是一个随机变量， 是任意实数，函是任意实数，函数数称为称为 的的分布函数分布函数4、连续型随机变量及其概率密度、连续型随机变量及其概率密度即即 是右连续的是右连续的分布函数具有以下性质：分布函数具有以下性质：则称则称 为连续型随机变量，为连续型随机变量， 为为 的的概率密概率密度函数度函数，简称，简称概率密度概率密度 设设 是随机变量是随机变量 的分布函数的分布函数，，如果如果存在一非负函数存在一非负函数 ，使对任意实数，使对任意实数 有有概率密度函数具有以下性质：概率密度函数具有以下性质：（（3）对任意实数）对任意实数 有有（（4）若）若 在点在点 处连续，则处连续，则5、常用概率分布、常用概率分布（（1））0-1分布分布（（2）二项分布）二项分布（（3）泊松分布）泊松分布（（4）几何分布）几何分布（（5）均匀分布）均匀分布（（6）正态分布）正态分布 当当 时，称为标准正态分时，称为标准正态分布布,记为记为 。

其密度函数和分布函数常其密度函数和分布函数常用用 和和 表示：表示：（（7）指数分布）指数分布6、二维随机变量及联合分布、二维随机变量及联合分布 设设 是两个随机变量，如果对任意是两个随机变量，如果对任意一组实数一组实数 ，使得，使得是一个随机事件，则称为是一个随机事件，则称为二维随机变量二维随机变量为二维随机变量为二维随机变量 的联合分布函数的联合分布函数 相应地，称相应地，称为为 分别关于分别关于 和和 的的边缘分布函数边缘分布函数称称7、二维离散随机变量的概率分布、二维离散随机变量的概率分布为为 的的联合分布列联合分布列或或分布列分布列 设二维离散型随机变量设二维离散型随机变量 可能取值为可能取值为 ，相应的概率为，相应的概率为，则称，则称称称分别为关于分别为关于 和和 的的边缘分布列边缘分布列8、二维连续随机变量的概率密度、二维连续随机变量的概率密度 设二维随机变量设二维随机变量 的分布函数的分布函数 ，，如果存在一非负可积二元函数如果存在一非负可积二元函数 ，使对任，使对任意实数意实数 有有则则称称 是是二维连续型随机变量二维连续型随机变量，相应的二，相应的二元函数元函数 称为称为 的的联合密度联合密度。

它具有它具有以下性质：以下性质：（（3 3）在）在 的连续点的连续点，，有有（（4 4）对平面上的任意区域）对平面上的任意区域（（5）） 和和 的边缘密度函数分别为的边缘密度函数分别为9、二维均匀分布和正态分布、二维均匀分布和正态分布 设设 是是平平面面上上的的有有界界区区域域，，其其面面积积为为 若二维随机变量若二维随机变量 具有概率密度具有概率密度则称则称 在在 上服从上服从二维均匀分布二维均匀分布若二维随机变量若二维随机变量 具有概率密度：具有概率密度：其中其中均为常数均为常数, ,且且则称则称 服从参数为服从参数为的的二维正态分布二维正态分布10、随机变量的独立性、随机变量的独立性 设设 是两个随机变量，若对任意实数是两个随机变量，若对任意实数 有有则称则称 与与 是是相互独立相互独立的 随机变量随机变量 和和 相互独立的充分必要条件相互独立的充分必要条件是：是： 连续型随机变量连续型随机变量 与与 相互独立的充分必相互独立的充分必要条件是：要条件是：  离散离散型随机变量型随机变量 与与 相互独立的充分相互独立的充分必要条件是：必要条件是：11、随机变量函数的分布、随机变量函数的分布则则 也是一离散型随机变量，且其分布也是一离散型随机变量，且其分布列为：列为： 若若 是一维是一维离散型随机变量，其离散型随机变量，其分布列为分布列为 若已知若已知 ，， 是严格单是严格单调函数，其反函数调函数，其反函数 有连续的导数。

有连续的导数则则 也是连续型随机变量，也是连续型随机变量， 其概率密度其概率密度为：为：（注：（注：使反函数无意义的使反函数无意义的 ，，定义概率密度为定义概率密度为0）） 如果如果 的联合概率密度为的联合概率密度为 ，，则随机变量则随机变量 的概率密度为的概率密度为特别地，当特别地，当 与与 相互独立时，相互独立时，上式称为上式称为 和和 的的卷积公式卷积公式二、常见例题精解二、常见例题精解 例例1 1、填空题、填空题 1 1、、设设随随机机变变量量X X与与Y Y相相互互独独立立，，且且它它们们的分布列均为：的分布列均为： ，则，则 = = 2 2、、设设X X～～N N（（ ）），，其其中中 =2=2，， 未未知知 ，， 若若 已已 知知 P P（（ 2

 3 3、、若若随随机机变变量量X X服服从从区区间间（（1 1，，6 6））上上的的均均匀匀分分布布，，则则方方程程 有有实实根根的的概概率率是是 4 4、、设设随随机机变变量量X X服服从从参参数数为为 的的泊泊松松分分布布，，且且P P（（X=0X=0））= = ，则，则P P（（X X >1>1））= = 5 5、已知随机变量、已知随机变量 X X 的分布函数为：的分布函数为： 则则 A=A= ，，B B = = , , = = ，，X X的密度函数的密度函数  例例2 2、设随机变量、设随机变量 X X 的概率密度函数为：的概率密度函数为： 试求：（试求：（1 1）系数）系数 ；；（2）求 （3） 的分布函数 答案：答案：1 1、、 ；；2 2、、0.20.2；；3 3、、 ；；4 4、、1-3e1-3e-2-2；；5 5、、 ；； ；； ；； 解：（解：（1 1），）， 所以所以 当当 时，时， , , （3）当当 时，时， ，， 当当 时，时， 。

所以所以  解：解： 例例4 4、设随机变量、设随机变量X X服从区间（服从区间（2 2，，5 5）上的）上的 例例3 3、、某某种种电电池池的的寿寿命命服服从从正正态态分分布布N N（（ ）），，其其中中 ，， 求求 ，，使使寿寿命命在在 与与之间的概率不小于之间的概率不小于0.90.9 均均匀匀分分布布，，现现在在对对X X进进行行三三次次独独立立观观测测，，试试求求至少有两次观察值大于至少有两次观察值大于3 3的概率 解解: :设设 表示观察值大于表示观察值大于3 3的次数的次数 , ,则则 例例5 5、、已已知知X X 和和Y Y为为同同一一分分布布的的随随机机变变量量，，并知道并知道 且有且有 ，试求，试求（（X X，，Y Y））的联合分布列；并求的联合分布列；并求  解：由于解：由于 根据联合分布与边缘分布列的关系，有：根据联合分布与边缘分布列的关系，有： 所以所以( (X X，，Y Y) )的联合分布列如下表的联合分布列如下表 ：：（（1 1）求关于）求关于 和和 的边缘概率密度的边缘概率密度 ；；（（2 2）判断）判断 与与 是否相互独立；是否相互独立；满足满足 的点为的点为 它它们对应的概率全为们对应的概率全为0 0，所以，所以 例例6 6、已知、已知 的联合概率密度为：的联合概率密度为： （（3 3）求）求 ；； 。

， 解：（解：（1 1）对于）对于 所以所以 （（2 2）显然）显然 ，所以，所以 与与不独立3 3）） 对于对于 ，， 所以所以 例2(1) 求求F(x,y);1D1O xy(2) 求求(X,Y)落在区域落在区域D内的概率内的概率,区域区域D如图如图所示所示.解解(1)(2)1D10 xy备用题备用题第三章第三章 习题课习题课一、内容概要一、内容概要 1、数学期望、数学期望（（1 1）设离散型随机变量）设离散型随机变量 的分布列为的分布列为如果如果 收敛，则称级数收敛，则称级数 的的和为随机变量和为随机变量X的的数学期望数学期望，记为，记为即即 （（2 2）设）设 X 为连续型随机变量，概率密度为连续型随机变量，概率密度为为 ，如果积分，如果积分 绝对收敛，则称绝对收敛，则称积分积分 的值为连续型随机变量的值为连续型随机变量 X 的的数学期望数学期望，记为，记为 ，即，即(3)设设 是随机变量是随机变量 的函数：的函数：若若 是离散型随机变量，其分布列为是离散型随机变量，其分布列为如果级数如果级数 收敛，则收敛，则若若 是连续型随机变量，概率密度为是连续型随机变量，概率密度为如果如果 收敛，则有收敛，则有（（4）二维随机变量函数的数学期望）二维随机变量函数的数学期望 如果如果 是二维随机变量，是二维随机变量， 是关于是关于X 和和Y 的二元函数，的二元函数， 当当 是二维离散型随机变量，其联是二维离散型随机变量，其联合分布列为合分布列为则则 当当 是二维连续型随机变量，其是二维连续型随机变量，其联合概率密度为联合概率密度为 ，则，则 （（5 5）数学期望的性质）数学期望的性质 如果如果 X、、Y 是两个随机变量，是两个随机变量，C 为任意常为任意常数，且数，且 都存在，则数学期望有都存在，则数学期望有以下四条常见的性质。

以下四条常见的性质如果如果 X 与与 Y 相互独立，则相互独立，则2、方差、方差 （（1 1）对随机变量）对随机变量 X ，，如果如果 存存在在 ，则称，则称 的值为随机变量的值为随机变量X 的的方差方差 ，即，即（（2）方差的性质）方差的性质3、协方差和相关系数、协方差和相关系数 设（设（X，，Y））是二维随机变量是二维随机变量, ,如果如果 存在存在, ,则称之为则称之为 X 与与 Y 的的协方差协方差,记为记为即即而而称之为称之为 X 与与Y 的的相关系数相关系数协方差和相关系数具有以下几条性质：协方差和相关系数具有以下几条性质：的充分必要条件是存在的充分必要条件是存在常数常数a，，b 使使当当 X、、Y 相互独立时，相互独立时，4、常见分布的数学期望和方差、常见分布的数学期望和方差泊松分布几何分布二项分布0-1分布名 称2/ )1(pp- -名 称均匀分布正态分布指数分布例例1 1、填空题、填空题 1 1、已知、已知 。

2 2、、 相互独立，相互独立， 则则 ；； 3 3、若、若X X 服从区间服从区间 上的均匀分布，则上的均匀分布，则 二、常见例题精解二、常见例题精解 4 4、若、若 ，则，则 5 5、某人进行投篮训练，命中率为、某人进行投篮训练，命中率为p p，，一旦投中就一旦投中就可结束训练可结束训练, ,则需要投篮次数的方差是则需要投篮次数的方差是 答案：答案：1 1、、37;237;2、、11;311;3、、0;40;4、、2.5;52.5;5、、 例例2 2、设随机变量、设随机变量 服从参数为服从参数为1 1的指数分的指数分布，求数学期望布，求数学期望 解：解： 故故  例例3 3、、飞飞机机在在第第一一次次飞飞行行后后必必须须进进行行检检修修的的概概率率是是0.40.4，，在在以以后后的的两两次次飞飞行行中中，，每每一一次次飞飞行行后后其其被被检检修修的的概概率率各各增增加加0.10.1，，求求三三次次飞飞行后修理次数的数学期望。

行后修理次数的数学期望 解：解： 表示第表示第 次飞行后须进行检修次数，次飞行后须进行检修次数，则则 ，其分布列为：，其分布列为： 所以所以 例例4 4、、设设随随机机变变量量 与与 独独立立，，且且均均服服从从正态分布正态分布 ，求，求 、、 及及 解：因为解：因为 ，所以，所以 又又 所以所以 例例5 5、若二维随机变量（、若二维随机变量（X X, , Y Y））的概率密度为的概率密度为 求求（1） ，， ；； （2） （3）问问 是否相互独立是否相互独立 解：（解：（1 1）） （（2 2）由（）由（1 1）同理可知：）同理可知： （（3 3）因为）因为 ，所以，所以 不相不相互独立 第四章第四章 习题课习题课一、内容概要一、内容概要 1、切比雪夫不等式、切比雪夫不等式 设随机变量设随机变量 X 有数学期望有数学期望 和和 方差方差 则对于任意给定的正数则对于任意给定的正数 总成立不总成立不等式等式 2、依概率收敛、依概率收敛 设设 为一个随机变量序列，为一个随机变量序列， a 是一个常数，若对于任意正数是一个常数，若对于任意正数 都有都有则称随机变量序列则称随机变量序列 依概率收敛依概率收敛于于 a 。

). 1lim=<-¥®eaYPnn3、大数定律、大数定律 定理定理1 （契比晓夫定理的特殊情况）设（契比晓夫定理的特殊情况）设随机变量随机变量 相互独立，且具有相互独立，且具有相同的有限数学期望和方差：相同的有限数学期望和方差： 则对于任意正数对于任意正数 恒有恒有 定理定理2 （契比晓夫定理）设随机变量（契比晓夫定理）设随机变量 相互独立，且具有有限数相互独立，且具有有限数学期望和方差：学期望和方差： 则对于任意正数则对于任意正数 恒有恒有 定理定理3 （贝努里定理）设在（贝努里定理）设在 n 次独立试次独立试验中事件验中事件 A 发生的次数为发生的次数为 ，在每次试验，在每次试验中事件中事件 A 发生的概率为发生的概率为 p，，则对于任意给定则对于任意给定的正数恒有的正数恒有4、中心极限定理、中心极限定理 定理定理1 （同分布的中心极限定理）设随机（同分布的中心极限定理）设随机变量变量 独立同分布：独立同分布： 则随机变量则随机变量 对任意对任意 x ，，满足满足的分布函数的分布函数若存在正数若存在正数 ，使得当，使得当 时，时， 定理定理2 （李雅普诺夫定理）设随机变量（李雅普诺夫定理）设随机变量 相互独立，且相互独立，且记记则随机变量则随机变量的分布函数的分布函数 对任意的对任意的 x ，，满足满足 定理定理3 （德莫佛（德莫佛—拉普拉斯定理）设随机拉普拉斯定理）设随机变量变量 服从参数为服从参数为 的的二项分布，则对于任意区间二项分布，则对于任意区间 恒有恒有二、常见例题精解二、常见例题精解 例例1 利用车贝晓夫不等式估计随机变利用车贝晓夫不等式估计随机变量与其数学期望的差大于均方差的量与其数学期望的差大于均方差的 倍的概率。

倍的概率 解：设随机变量解：设随机变量 的期望为的期望为 ，方差，方差为为 ，则由车贝晓夫不等式有：，则由车贝晓夫不等式有：对任意对任意 ，取，取 得得例例2 设设 的概率密度为的概率密度为试证试证证：证：由车贝晓夫不等式，由车贝晓夫不等式，取取 ，得证 例例3 有一批建筑房屋用的柱子，其中有一批建筑房屋用的柱子，其中80%的长度不小于的长度不小于3米现从这批柱子中随机米现从这批柱子中随机地取出地取出100根问其中至少有根问其中至少有30根短于根短于3米的米的概率为多少？概率为多少？ 解：解： 设设100根柱子中短于根柱子中短于3米的根数为米的根数为 ，则，则 所以有 故故 例例4 射击不断进行，设每次射中的概率射击不断进行，设每次射中的概率为为0.1 （（1）试求）试求500次射击中，射中的次数在次射击中，射中的次数在区间区间[49，，55]之间的概率。

之间的概率 （（2）问至少要射击多少次，才能使射中）问至少要射击多少次，才能使射中的次数超过的次数超过50次的概率大于已给正数次的概率大于已给正数q解：解：（（2）所需最少的射击次数是满足不等式）所需最少的射击次数是满足不等式的最小正整数的最小正整数 而而故可从不等式故可从不等式中解出最小的正整数中解出最小的正整数n，即为所求即为所求第五章第五章 习题课习题课一、内容概要一、内容概要1 1、总体与个体、总体与个体 我们把所研究的全部元素组成的集合称我们把所研究的全部元素组成的集合称为为母体母体或或总体总体而把组成母体的每个元素称而把组成母体的每个元素称为为个体个体2、样本、样本 若若n个随机变量个随机变量 相互独相互独立，且具有相同的概率分布立，且具有相同的概率分布 ，则称，则称 是来自总体的一个容量为是来自总体的一个容量为n的的简单随机样本简单随机样本，简称为，简称为样本样本3、统计量、统计量设设 为总体为总体X的一个样本，若的一个样本，若样本函数样本函数 中不包含任何未知中不包含任何未知参数，则称此函数是一个参数，则称此函数是一个统计量统计量。

常见统计量有：常见统计量有：称为称为样本均值样本均值的正平方根称为的正平方根称为样本标准差样本标准差称为称为样本方差样本方差称为称为样本样本 k 阶原点矩阶原点矩称为称为样本样本 k 阶中心矩阶中心矩4、、 分布及其性质分布及其性质 设设 是来自正态总体是来自正态总体 的的样本，则称统计量样本，则称统计量22212122nniiXXXX+++==å=Lc服从的分布为自由度为服从的分布为自由度为 n 的的 分布，记作：分布，记作： 分布的概率密度函数为分布的概率密度函数为ïïîïïíì£>G=--0, 00,)2(21);(21222xxexnnxxnnc 分布具有以下性质：分布具有以下性质： （（1）） 设设 ，且它，且它们相互独立，则们相互独立，则 （（2）） 设设 则有则有 5、、 分布分布所服从的分布是自由度为所服从的分布是自由度为n 的的t 分布，记作分布，记作:则称统计量则称统计量设设且且X与与Y相互独立，相互独立，6、、 分布及其性质分布及其性质所服从的分布为自由度是（所服从的分布为自由度是（m , n) 的的F 分布，分布，则称则称设设且且X与与Y相互独立相互独立,则则 如果如果7 7、正态总体样本均值与样本方差的分布、正态总体样本均值与样本方差的分布（（1）） （（2）） 与与 相互独立相互独立;（（3））与与方差，则方差，则若若是来自正态总体是来自正态总体的的 一个样本，一个样本，分别为样本均值与样本分别为样本均值与样本（（4））) 2(~11)()(1221-++---=mntmnSYXTmm样本，且它们相互独立，则样本，且它们相互独立，则 设设和和来自正态总体来自正态总体和和是分别是分别的两个的两个其中其中二、常见例题精解二、常见例题精解例例1 1．填空题．填空题 1 1．设统计量．设统计量 ，则，则 ；； 2 2．设．设 ，， 为样本，为样本， 是样是样 本均值。

则本均值则 服从的分布为服从的分布为 ；； 3 3．设．设 则则 = = ；； 4 4．． ，， 为样本若要求为样本若要求 则则 = = ；； 5 5．总体．总体 与与 相互独立，且相互独立，且 与与 是两总是两总 体中抽取的独立样本体中抽取的独立样本 与与 是两样本方差是两样本方差则则 答案答案 1. 1. ；；2. 2. ；；3. 3. ；；4. 4. ；；5. 5.  例例2 2．．设设总总体体 , , 是是简简单单 随随 机机 样样 本本 , , 为为 样样 本本 均均 值值 ,(1),(1)若若 , ,计计 算算 ;(2);(2)若若要要求求 , , 至至少少 取取多大？多大？解：（解：（1 1）因为）因为 所以所以 （（2 2）为使）为使 所以所以 至少取至少取 15371537。

例例3 3．设．设 ，， 是简单随机样本是简单随机样本, , 试决定常数试决定常数 , ,使使 服从服从 分布 解：因为解：因为 所以所以 故故 例例4 4．． ，抽取样本容量，抽取样本容量 的简单随的简单随机样本，机样本， 计算计算: : 解：因为解：因为 ，所以，，所以， 当当 时，有时，有 解：因为解：因为 所以所以 例例5 5．设．设 ，， ，， 为样本为样本, , 为样本方差，即为样本方差，即 已知已知求求 例例6 6．． ，， 且相互独立，且相互独立， 从从 、、 两总体中分别抽取两总体中分别抽取 ，和，和 简简单随机样本，样本方差分别为单随机样本，样本方差分别为 与与 计算计算 解：因为，解：因为， 所以所以 第六章第六章 习题课习题课一、内容概要一、内容概要1、估计量与估计值、估计量与估计值 设总体设总体 的分布函数的分布函数 形式为已形式为已知，知， 是待估参数是待估参数, 是是 的的一个样本一个样本, 是相应的一个样是相应的一个样本值本值,点估计问题就是要构造一个适当的统点估计问题就是要构造一个适当的统计量计量 用其观察值用其观察值 来估计未知参数。

来估计未知参数称为的称为的估计量估计量，，称为的称为的估计值估计值2、矩估计法、矩估计法 用样本的各阶原点矩作为总体的各阶原用样本的各阶原点矩作为总体的各阶原点矩的估计而求得的求知参数的估计量称为点矩的估计而求得的求知参数的估计量称为矩估计量矩估计量3、极大似然估计、极大似然估计 设总体设总体 具有概率密度函数具有概率密度函数 或或分布列函数分布列函数 ，， 是是 维维参数向量，样本参数向量，样本 的联合密度的联合密度函数函数称为称为似然函数似然函数或者或者 假定在假定在 给定的条件下，给定的条件下，存在存在 维统计量维统计量 使得似然函数使得似然函数在在取得极大值，则称取得极大值，则称 是是 的的极大似然估计量极大似然估计量 如果似然函数关于如果似然函数关于 可微，则使似然函可微，则使似然函数达到最大的数达到最大的 一定满足下列正则方程组：一定满足下列正则方程组：4 4、估计量的衡量标准、估计量的衡量标准（（1）无偏性）无偏性是是的一个估计量，如果的一个估计量，如果成立，则称成立，则称是是的的一个一个无偏估计量无偏估计量。

设设（（2）有效性）有效性 设设 都是未知参数都是未知参数的的无偏估计无偏估计若若, ,则称则称估计估计量量较较有效有效若若的的无偏估计无偏估计满足满足则称则称为为的的有效估计有效估计或或最小方差无偏估计最小方差无偏估计3）一致性）一致性设设为未知参数为未知参数的估计量，若对任意的正数的估计量，若对任意的正数有有则称则称为为的的一致估计一致估计1)ˆ(lim= =£ £- -¥ ¥®®e eq qnnP5 5、置信区间、置信区间且且若若对于给定的对于给定的有有则称则称随机区间随机区间 是参数是参数 的的 的的置置信区间信区间或或区间估计区间估计，， 分别称为分别称为设总体设总体X的分布中含有未知参数的分布中含有未知参数 由样本由样本构造两统计量：构造两统计量：及及,1)ˆˆ(21a aq q- -= =< <<

的估计中最有效 2 2、设、设 总体服从总体服从[0[0¸ ] ]上的均匀分布，其上的均匀分布，其中中  为未知参数，为未知参数， 为来自总体为来自总体X X的样的样本，则本，则 的矩估计量是的矩估计量是 ，， 的极大似然的极大似然估计是估计是 3 3、设总体、设总体 的概率密度是的概率密度是 ( ( 是未知参数是未知参数) ) 为来自总体为来自总体X X的的 样本，则极大似然函数样本，则极大似然函数_______, 的极大的极大 似然估计量是似然估计量是 _______4、设总体、设总体X服从服从 ，， 已知 为来自总体为来自总体X的样本，则的样本，则 的置信度为的置信度为 的的置信区间是置信区间是 5、设总体、设总体X服从分布服从分布 ，其中，其中 为未知参为未知参数，为固定的整数，则数，为固定的整数，则 的极大似然估计量是的极大似然估计量是 。

答案：答案：1.无偏估计，无偏估计， ，，2. ，， 3. ，， ；； 4. 5 .  解：由总体解：由总体X的概率密度函数知，似然函的概率密度函数知，似然函 数为：数为： 例例2．设总体．设总体X的分布列为：的分布列为： ，，是来自总体是来自总体X的容量为的容量为的样本，求的样本，求 的极大似然估计量的极大似然估计量取对数取对数 令令  解得极大似然估计值为：解得极大似然估计值为： 所以所以 的极大似然估计量为：的极大似然估计量为： 例例3．设总体．设总体X的分布列为：的分布列为： 0 1 2 3其中其中 是未知参数，利用总体是未知参数，利用总体X的的如下样本值：如下样本值： 3，，1，，3，，0，，3，，1，，2，，3，，求求  的矩估计值和极大似然估计值。

的矩估计值和极大似然估计值 解：（解：（1）利用）利用 得：得： 所以所以 的矩估计值为：的矩估计值为： （（2）由已知似然函数为：）由已知似然函数为： 取对数取对数 令令，解之得：，解之得： 解得极大似然估计值为：解得极大似然估计值为： 例例4．．设设总总体体X服服从从｛｛1，，2，，…，，N ｝｝上上的的均均匀匀分布，即分布，即其中其中N是未知是未知 参数（参数（N为正整数），试求为正整数），试求N的矩估计量的矩估计量 解解：：利利用用 得得：： ，， 解之得：解之得： ，所以，所以N的矩估计量为：的矩估计量为： 例例5．设．设 是来自总体是来自总体X的一个简单的一个简单随机样本，随机样本，X的密度函数的密度函数 求未知参数求未知参数 的矩估计量与极大似然估计量的矩估计量与极大似然估计量 解：解： 由替换原由替换原 则则 ，得：，得： 因此，因此， 为为 又似然函数为：又似然函数为： 两边对两边对 求导得似然方程求导得似然方程 ，， 即即 ，因此，，因此， 的极大似然估计量为的极大似然估计量为。