数学中的著名猜想.doc

一) 费尔马大定理及其证明（三大数学难题之一）     近代数学如参天大树，已是分支众多，枝繁叶茂在这棵苍劲的大树上悬挂着不胜其数的数学难题其中最耀眼夺目的是四色地图问题、费尔马大定理和哥德巴赫猜想它们被称为近代三大数学难题300多年以来，费尔马大定理使世界上许多著名数学家殚精竭虑，有的甚至耗尽了毕生精力费尔马大定理神秘的面纱终于在1995年揭开，被43岁的英国数学家维尔斯一举证明这被认为是“20世纪最重大的数学成就”费尔马大定理的由来故事涉及到两位相隔1400年的数学家，一位是古希腊的丢番图，一位是法国的费尔马丢番图活动于公元250年前后1637年，30来岁的费尔马在读丢番图的名著《算术》的法文译本时，他在书中关于不定方程 x2＋ y2 ＝z2 的全部正整数解这页的空白处用拉丁文写道：“任何一个数的立方，不能分成两个数的立方之和；任何一个数的四次方，不能分成两个数的四次方之和，一般来说，不可能将一个高于二次的幂分成两个同次的幂之和我已发现了这个断语的美妙证法，可惜这里的空白地方太小，写不下费尔马去世后，人们在整理他的遗物时发现了这段写在书眉上的话1670年，他的儿子发表了费尔马的这一部分页端笔记，大家才知道这一问题。

后来，人们就把这一论断称为费尔马大定理用数学语言来表达就是：形如xn ＋yn ＝zn 的方程，当n大于2时没有正整数解费尔马是一位业余数学爱好者，被誉为“业余数学家之王”1601年，他出生在法国南部图卢兹附近一位皮革商人的家庭童年时期是在家里受的教育长大以后，父亲送他在大学学法律，毕业后当了一名律师从1648年起，担任图卢兹市议会议员他酷爱数学，把自己所有的业余时间都用于研究数学和物理由于他思维敏捷，记忆力强，又具备研究数学所必须的顽强精神，所以，获得了丰硕的成果，使他跻身于17世纪大数学家之列艰难的探索起初，数学家想重新找到费尔马没有写出来的那个“美妙证法”，但是谁也没有成功著名数学家欧拉用无限下推法证明了方程 x3＋ y3 ＝z3 和 x4 ＋ y4 ＝z4 不可能有正整数解因为任何一个大于2的整数，如果不是4的倍数，就一定是某一奇素数或它的倍数因此，只要能证明n＝4以及n是任一奇素数时，方程都没有正整数解，费尔马大定理就完全证明了n＝4的情形已经证明过，所以，问题就集中在证明n等于奇素数的情形了在欧拉证明了 n＝ 3， n＝ 4以后， 1823年和 1826年勒让德和狄利克雷各自独立证明了 n＝ 5的情形， 1839年拉梅证明了 n＝ 7的情形。

就这样，一个一个奇素数证下去的长征便开始了其中，德国数学家库默尔作出了重要贡献他用近世代数的方法，引入了自己发明的“理想数”和“分圆数”的概念，指出费尔马大定理只可能在n等于某些叫非正则素数的值时，才有可能不正确，所以只需对这些数进行研究这样的数，在100以内，只有37、59、67三个他还具体证明了当 n＝ 37、59、67时，方程xn＋ yn＝zn是不可能有正整数解的这就把费尔马大定理一下推进到n在100以内都是成立的库默尔“成批地”证明了定理的成立，人们视之为一次重大突破1857年，他获得巴黎科学院的金质奖章这一“长征”式的证法，虽然不断地刷新着记录，如 1992年更进到n＝1000000，但这不等于定理被证明看来，需要另辟蹊径10万马克奖给谁从费尔马时代起，巴黎科学院曾先后两次提供奖章和奖金，奖励证明费尔马大定理的人，布鲁塞尔科学院也悬赏重金，但都无结果1908年，德国数学家佛尔夫斯克尔逝世的时候，将他的10万马克赠给了德国哥庭根科学会，作为费尔马大定理的解答奖金哥庭根科学会宣布，奖金在100年内有效哥庭根科学会不负责审查稿件10万马克在当时是一笔很大的财富，而费尔马大定理又是小学生都能听懂题意的问题。

于是，不仅专搞数学这一行的人，就连很多工程师、牧师、教师、学生、银行职员、政府官吏和一般市民，都在钻研这个问题在很短时间内，各种刊物公布的证明就有上千个之多当时，德国有个名叫《数学和物理文献实录》的杂志，自愿对这方面的论文进行鉴定，到 1911年初为止，共审查了111个“证明”，全都是错的后来实在受不了沉重的审稿负担，于是它宣布停止这一审查鉴定工作但是，证明的浪潮仍汹涌澎湃，虽然两次世界大战后德国的货币多次大幅度贬值，当初的10万马克折算成后来的马克已无多大价值但是，热爱科学的可贵精神，还在鼓励着很多人继续从事这一工作姗姗来迟的证明经过前人的努力，证明费尔马大定理取得了许多成果，但离定理的证明，无疑还有遥远的距离怎么办？来必须要用一种新的方法，有的数学家用起了传统的办法——转化问题人们把丢番图方程的解与代数曲线上的某种点联系起来，成为一种代数几何学的转化，而费尔马问题不过是丢番图方程的一个特例在黎曼的工作基础上，1922年，英国数学家莫德尔提出一个重要的猜想设F（x，y）是两个变数x、y的有理系数多项式，那么当曲线F（x，y）= 0的亏格（一种与曲线有关的量）大于1时，方程F（x，y）＝0至多只有有限组有理数”。

1983年，德国29岁的数学家法尔廷斯运用苏联沙法拉维奇在代数几何上的一系列结果证明了莫德尔猜想这是费尔马大定理证明中的又一次重大突破法尔廷斯获得了1986年的菲尔兹奖维尔斯仍采用代数几何的方法去攀登，他把别人的成果奇妙地联系起来，并且吸取了走过这条道路的攻克者的经验教训，注意到一条崭新迂回的路径：如果谷山——志村猜想成立，那么费尔马大定理一定成立这是1988年德国数学家费雷在研究日本数学家谷山——志村于1955年关于椭圆函数的一个猜想时发现的维尔斯出生于英国牛津一个神学家庭，从小对费尔马大定理十分好奇、感兴趣，这条美妙的定理导致他进入了数学的殿堂大学毕业以后，他开始了幼年的幻想，决心去圆童年的梦他极其秘密地进行费尔马大定理的研究，守口如瓶，不透半点风声穷七年的锲而不舍，直到1993年6月23日这天，英国剑桥大学牛顿数学研究所的大厅里正在进行例行的学术报告会报告人维尔斯将他的研究成果作了长达两个半小时的发言10点30分，在他结束报告时，他平静地宣布：“因此，我证明了费尔马大定理”这句话像一声惊雷，把许多只要作例行鼓掌的手定在了空中，大厅时鸦雀无声半分钟后，雷鸣般的掌声似乎要掀翻大厅的屋顶。

英国学者顾不得他们优雅的绅士风度，忘情地欢腾着消息很快轰动了全世界各种大众传媒纷纷报道，并称之为“世纪性的成就”人们认为，维尔斯最终证明了费尔马大定理，被列入1993年世界科技十大成就之一可不久，传媒又迅速地报出了一个“爆炸性”新闻：维尔斯的长达200页的论文送交审查时，却被发现证明有漏洞维尔斯在挫折面前没有止步，他用一年多时间修改论文，补正漏洞这时他已是“为伊消得人憔悴”，但他“衣带渐宽终不悔”1994年9月，他重新写出一篇108页的论文，寄往美国论文顺利通过审查，美国的《数学年刊》杂志于1995年5月发表了他的这一篇论文维尔斯因此获得了1995～1996年度的沃尔夫数学奖经过 300多年的不断奋战，数学家们世代的努力，围绕费尔马大定理作出了许多重大的发现，并促进了一些数学分支的发展，尤其是代数数论的进展现代代数数论中的核心概念“理想数”，正是为了解决费尔马大定理而提出的难怪大数学家希尔伯特称赞费尔马大定理是“一只会下金蛋的母鸡”二)哥德巴赫猜想（三大数学难题之二）    世界近代三大数学难题之一哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。

1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和如6＝3＋3，12＝5＋7等等公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想:(a) 任何一个>=6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和b) 任何一个>=9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和这就是着名的哥德巴赫猜想欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意从费马提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功当然曾经有人作了些具体的验证工作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, . . . . 等等有人对33×108以内且大过6之偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想(a)都成立但验格的数学证明尚待数学家的努力从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。

200年过去了，没有人证明它哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比大的偶数都可以表示为（99）这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从（9十9）开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了“哥德巴赫”目前最佳的结果是中国数学家陈景润於1966年证明的，称为陈氏定理(Chen‘s Theorem) ? “任何充份大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而后者仅仅是两个质数的乘积 通常都简称这个结果为大偶数可表示为 “1 + 2 ”的形式在陈景润之前，关於偶数可表示为 s个质数的乘积 与t个质数的乘积之和(简称“s + t ”问题)之进展情况如下:1920年，挪威的布朗(Brun)证明了 “9 + 9 ”1924年，德国的拉特马赫(Rademacher)证明了“7 + 7 ”1932年，英国的埃斯特曼(Estermann)证明了 “6 + 6 ”1937年，意大利的蕾西(Ricei)先后证明了“5 + 7 ”, “4 + 9 ”, “3 + 15 ”和“2 + 366。

1938年，苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)证明了“5 + 5 ”1940年，苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)证明了 “4 + 4 ”1948年，匈牙利的瑞尼(Renyi)证明了“1 + c ”，其中c是一很大的自然 数1956年，中国的王元证明了 “3 + 4 ”1957年，中国的王元先后证明了 “3 + 3 ”和 “2 + 3 ”1962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩(BapoaH)证明了 “1 + 5 ”， 中国的王元证明了“1 + 4 ”1965年，苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)和小维诺格拉多夫(BHHopappB)，及意大利的朋比利(Bombieri)证明了“1 + 3 ”1966年，中国的陈景润证明了 “1 + 2 ”最终会由谁攻克 “1 + 1 ”这个难题呢？现在还没法预测 (三)四色猜想（三大数学难题之三）世界近代三大数学难题之一四色猜想的提出来自英国1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色这个结论能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。

兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作。