以矩形折叠为背景的试题剖析.doc

以矩形折叠为背景的题型剖析路彦祥矩形折叠考题在各地中考中不断涌现，这类考题不但能考查学生对矩形、三角形、方 程、函数等知识的掌握悄况，更能考杏学生的思维分析能力、空间想象能力、推理能力和动 手操作能力是体现新课改的一类好题解决这类问题的基本方法是：第一把握折叠的实质 --折叠是一种轴对称变换；第二把握折叠过程的各个量的变化规律和特征；第三应用有关 知识，如勾股定理、全等，冇关数学模型，如方程、函数合理冇序的解决相关问题木文拟 选取儿例说明之一、折亞求角 例1：将矩形纸片ABCD沿点B的直线折叠，使点A落在BC边的F处，折痕为BE （如图1）;再沿过E的直线折叠，是点D落在BE ±的点“处，折痕为EG（如图2）,再展平纸片③解析：木题解决两次折亞求角的问题，一要考虑折為的轴对称性，二要用到矩形的性质, 从轴对称性及矩形的四个角都是直角得ZAEB=ZBEF=45°,求的ZDEB=135（）,同样ZDEG=ZDEG=( 180°-45°)4-2=67.5°,从而Z=67.5°-450=22.5°方法点拨：解决折叠求角抓住折叠的轴对称性二、折叠求线段例2：矩形纸片ABCD中,AB=5, AD=4,将纸片折叠,使点B落 在边CD上的B,处，折痕为AE.在折痕AE上存在一点P到边 CD的距离与到点B的距离相等，则此相等距离为（ ）解析：先根据题意曲出图形，由翻折变换的轴对称性得岀F、Bf重 合，分别延长AE, DC相交于点G,由平行线的性质可得出GB‘ =AB, =AB=5,再根据相似三角形的判定定理得出△ADGsAPB' G,求出其相似比,进而可求出答案.解答：解:如图所示，设PF丄CD,VBP=FP,由翻折变换的性质可得BP二B' P,・・・FP=B' P,・・・FP丄CD,・・・B' , F, P三点构不成三角形，・・・F, B'重合分别延长AE, DC相交于点G, TAB平行于CD,ZBAG=ZAGC,VZBAG=ZB/ AG, AGC=ZBZ AG, ・・・GB‘ =AB‘ =AB=5,VPB, (PF)丄CD,・・・PB‘ 〃AD,•••△ADGs&b' G,VRtAADBz 中,AB' =5, AD=4, ・・・DB‘ =3, DG二DB' +B‘ G=3+5=8, •••△ADG与Z\PB‘ G的相似比为8： 5,A AD： PB' =8： 5,VAD=4,・・・PB‘ =2.5,即相等距离为2.5.故选B.点评：木题考査的是图形翻折变换的性质及相似三角形的判定与性质，根据题意画 出图形，作出辅助线，利用数形结合求解是解答此题的关如图，将一个边长分别为4, 8的矩形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，求折痕EF的 长有一张矩形纸片ABCD, AB=5, AD=3,将纸片折為，使AD边落在AB边上，折痕为AE, 再将AAED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F,则CF的长为22A B AD B DB AD■cCc计算题.分析：由短形的性质可知，AD=BC,由折叠可知DE=BC,故AD二DE, ZDEA=45° ,可得ZFEC=45° ,可知FC=CE=DB=AB・AD.解答：解：由折叠的性质可知ZEAD=1 2 ZDAB=45° , ZADE=90° ,A ZDEA=45° , ZFEC=45° ,:.FC=CE=DB=AB-AD=5-3=2.故本题答案为：2.点评：本题考查了折叠的性质.折叠前后对应角相等，对应线段相等， 关键是推出特殊三角形.三、折叠求而积把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折亞，使顶点B和点D重合，折痕为EF.若AB=3cm, BC=5cm,则重叠部分ADEF的而积是（ ）计算题.分析：根据图形折叠而后图形不发牛大小变化，得出AE=A, E,再利用勾股定理 得出A' E2+A' D2=ED2,从而求出x,进而得出DE的长，再求出ADEF的面积.解答：解：•・•按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF,VAB=3cm, BC=5cm,・・・A' D=AB=3cm,假设 AE=x,贝lj Az E=x, DE=5・x,・・・A‘ E2+A' D2=ED2,x2+9= (5-x) 2,解得：x=1.6,・•・ DE=5・1.6=3.4,A ADEF 的面积是:1 2 X 3.4X 3=5.1.故选：B・点评：此题主要考杏了折替问题，得出AE二A' E,根据勾股定理列出关于x的 方程是解决问题的关键.四、折叠求坐标如图①、在矩形ABCD中，将矩形折叠，使B落在边AD (含端点)上，落点记为E,这时 折痕与边BC或边CD (含端点)交于点F,然后展开铺平，则以B、E、F为顶点的三角形厶 BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”(1) 由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCD的任意一个“折痕ZXBEF”是一个 三角形(2) 如图②在矩形ABCD, AB=2,BC=4,当它的“折痕ABEF”的顶点E位于边AD的中 点时,画出这个“折痕厶BEF”，并求出点F的坐标;(3) 、如图③，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,该矩形是否存在面积最人的“折痕ABEF” ? 若存在，说明理由，并求出此时点E的坐标？若不存在，为什么？五、折叠探索规律如图，矩形纸片ABCD中,AB=6, BC= 1()•第一次将纸片折叠，使点B与点D重合，折痕与BD交于点01； 01D的中点为D1,第 二次将纸片折叠使点B与点D1重合，折痕少BD交于点、02；设02D1的中点为D2,第三 次将纸片折叠使点B与点D2重合，折痕与BD交于点03,….按上述方法折叠，第n次 折叠后的折痕与BD交于点On,则BO1=22,B0n=3n-l22n-33n-l22n-3第—次折叠第二次折叠第三次折叠(1) 结合图形和己知条件，可以推出BD的长度，根据轴对称的性质，即可得出01点为 BD的中点，很容易就可推出O1B=2；(2) 依据第二次将纸片折叠使点B与点D1重合，折痕与BD交于点02, 01D的中点为D1,可以推!l| O2D1=BO2=4-BO12 2=32-122x2-3；以此类推，即可推出：B0n=3n-l22n-3.解答：解：•・•矩形纸片ABCD中，AB=6 , BC= 10 ,ABD=4,(1) 当 n=l 时，・・•第一次将纸片折叠，使点B与点D重合，折痕与BD交于点01,.\O1D=O1B=2,/.BO1=2=31-1 22X1-3 ；(2) 当 n=2 吋，・・•第二次将纸片折叠使点B与点D1重合，折痕与BD交于点02, 01D的中点为D1,・・・ 02D1 =BO2=4-BO1 2 2=3 2 =32-1 22 X 2-3 ,•・•设02D1的中点为D2,笫三次将纸片折叠使点B与点D2重合，折痕与BD交于点03,/. O3D2=O3B=3-BO2 2 2=33-1 22X3-3 ,・•・以此类推，当n次折叠后,B0n=3n-l 22n-3・六、矩形折叠求最值例6动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3, AD=5,如图所示，折叠纸片是、使点A落 在BC边上的A1处，折痕为PQ,当点A1在BC边上移动时折痕的断点P\Q也随Z移动， 若限定点P\Q分别在ABVAD边上移动，则点A1在BC边上移动的最人距离为多少？。