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第2章 正弦交流电路 （讲课共6学时）第1次课 正弦量及其相量表示法一、 学时：2学时二、 目的与要求：1、 交流电路不仅是交流电机和变压器的理论基础，而且要为电子电路作 好理论基础，故这章是本课程的重要内容之一2、 深刻理解正弦交流电的三要素、相位差及有效值概念3、 熟悉正弦量的各种表示方法及相互间的关系三、 重点：1、 正弦量的特征及各种表示法2、 R、L、C的相量图和相位关系四、 难点：相量计算中的相量图、相位关系五、 教学方式：多媒体或传统方法六、 习题安排：七、 教学内容：2.1正弦量与正弦电路2.2.1正弦量的时域表示方法1、正弦量三要素（1） Im：幅值（最大值）等于有效值I的根号2倍; 有效值I等于发热效应等价的直流电流数值2） 角频率①：等于2n f（频率）=2 n /T （周期）； 单位时间转过的弧度数（3） 初相位书：t=0时，正弦量的起始相位角度； 相位（3 t+ ）:反映正弦量的变化进程2.相位差不随计时起点而变，反映同频率正弦量相位差，有超前、滞后等问题2.2.1正弦量的相量表示法1、相量（1）定义：正弦量除了用波形图及瞬时表达式表示外，还可用一个与之 时应的复数表示，这个表示正弦量的复数称为相量。

即(2) 按复数的运算法则计算加减用直角坐标或三角函数形式，乘除用指数形式或极坐标形式1=1 =le"=l(cos 书 +jsin 书)2、相量图:(1) 画法：把正弦量用一有向线段表示，同一量纲的相量采用相同的比 例尺寸2) 加法减法运算：按平行四边形法则计算 ? 例题讨论已知工频正弦量为50Hz,试求其周期T和角频率解】 T=丄=丄=0.02s, 3= 2n±2X 3.14X 50rad/s,即工频正 f 50Hz弦量的周期为0.02s,角频率为314rad/s已知两个正弦电流 i1 = 4sin(wt+30° )A , i2 = 5sin(3-60° )A试求 i=i1+i20已知 ua=220 2 sin314tV, ub=220.2 sin(314t— 120?)V 和uc=220 2 sin(314t+ 120? )V，试用相量法表示正弦量，并画出相量已知 i1 = 100 . 2 sin(wt + 45?)A , i2= 60 . 2 sin( wt— 30?A试求总电流i = i i + i 2 ,并做出相量图解】由正弦电流i 1和i 2的频率相同，可用相量求得(1) 先作最大值相量I1m=100 2 /45?A12m =60 2 / — 30?A(2) 用相量法求和电流的最大值相量I m = I1m + 12m = 100 2 /45?+ 60 2 /— 30?= 129 2 /18.4?(3) 将和电流的最大值相量变换成电流的瞬时值表达式i = 129 si n@t + 18.40 (A)(4) 做出相量图，如右图所示。

也可以用有效值相量进行计算，方法如下(1) 先作有效值相量I1=100/45?A 12 =60/— 30?A(2) 用相量法求和电流的有效值相量，相量图如图 2.2.(A)J05所示I = i1+i2 = 100/45?+ 60/— 30?= 129/18.4? (A)(3) 将和电流的有效值相量变换成电流的瞬时值表达式i = 129 .疗 si n@t + 18.4?) (A)由此可见，无论用最大值相量还是用有效值相量进行求和运算，其计 算结果是一样的第2-3次课 正弦交流电路分析一、 学时：4学时二、 目的和要求：三、 重点：R、L、C元件的特性、功率的计算方法四、 难点：R、L、C元件的特性、功率的计算方法五、教学方式：多媒体或 传统方法六、 习题安排：七、 教学内容：2.2正弦交流电路分析2.2.1单一参数的交流电路1、电阻元件及其交流电路（1）电压电流关系②相量关系：令即|ii)Im si n( t i)①瞬时关系:u =iR??U mRI mRImRlm sin( tuiUm##Um Rlm 即严 R1 m 1u、i波形与相量如图（b）（ c）所示（2）功率①瞬时功率p uiUmlmSin2 t UI (1 cos2 t)②平均功率P1：UI(1 cos2 t)dt UIRI2（3）结论在电阻元件的交流电路中，电流和电压是同相的；电压的幅值（或 有效值）与电流的幅值（或有效值）的比值，就是电阻 Ro2、电感元件的交流电路⑴电压电流关系#o-①瞬时关系:diL -dt②相量关系:Im si n(i如图（c）.dI mSin(u LdtLI m cos( ti)i)LI m sin —2Um Um uLImUm LImUmImXlfL （称Xl为感抗）##u、I的波形图与相量图，如图（b）、（c）所示。

⑵功率① 瞬时功率为p =ui=U mImsin wt.sin（ wt+ 90o）=UmImsin3t.cos3t= sin2^t = UIsin2^t2②平均功率为P二 T 0pdt 二 tTUI sin 20#（3）结论电感元件交流电路中,u比i超前一；电压有效值等于电流有效值与2感抗的乘积；平均功率为零，但存在着电源与电感元件之间的能量交换，所 以瞬时功率不为零为了衡量这种能量交换的规模，取瞬时功率的最大值， 即电压和电流有效值的乘积，称为无功功率用大写字母 Q表示，即Q=UI=I 2Xl=U2/ Xl （VAR）#3、电容元件交流电路##⑴电压电流关系① 瞬时关系：如图（a）所示i=C dudt② 相量关系：在正弦交流电路中令 u=Umsin ( wt +Um = Um##则i = c du =c dU m sin( t u) dt dt=w Cimcos(3t+ u) = w CUhsin@t+ u +90o)=lms in (W+ u +90o)I m = lm/^ i= w CUn/ 90°+可见，lm=w CUn =Um/Xc （Xc = 1/wC称为电容的容抗）=书 u- i= --9C0u、i的波形图和相量图，如图(b)(c)。

⑵功率①瞬时功率p =u i =U mlmsinwt.sin(wt+90o)=Um|msinW.cos3t= Umlm sin2W2=Uls in 2W② 平均功率P=-T-1 pdt 二 F0u| sin2 tdt 二 0（3）结论在电容元件电路中，在相位上电流比电压超前 90°;电压的幅值（或 有效值）与电流的幅值（或有效值）的比值为容抗 Xc ；电容元件是储能元 件，瞬时功率的最大值（即电压和电流有效值的乘积），称为无功功率，为 了与电感元件的区别，电容的无功功率取负值，用大写字母 Q表示，即Q= — Ul= — l2Xc= — U2/ Xc注：1 Xc、Xl与R 一样，有阻碍电流的作用2适用欧姆定律，等于电压、电流有效值之比3 Xl与f成正比，Xc与f成反比，R与f无关对直流电f=0，L可视为短路，Xc=，可视为开路对交流电f愈高，Xl愈大，Xc愈小 例题讨论把一个100Q的电阻元件接到频率为50Hz，电压有效值为10V的正弦 电源上，问电流是多少？如保持电压值不变，而电源频率改变为 5000 Hz，这 时电流将为多少？解： 因为电阻与频率无关，所以电压有效值保持不变时，频率虽然改变但电流有效值不变。

即 匸U/R= (10/100) A=0.仁 100mA若把上题中的，100Q的电阻元件改为25尸的电容元件，这时电流又 将如何变化？【解】当f=50Hz时Xc= = 1 = 127.4 ( Q)2 fC 2 3.14 50 (25 10 6)|=乂 = J^=0.078 (A) =78 ( mA)Xc 127.4当 f=5000Hz 时Xc= 1 = 1.274 ( Q)2 3.14 5000 (25 10 )l = ^^=7.8 (A)1.274可见，在电压有效值一定时，频率越高，则通过电容元件的电流有效值越 大222-223阻抗的概念与正弦交流电路的分析、功率1. 电路分析O >1 卜 -k4(1)电压与电流的关系 UR=Rlmsin3=URmsin^t①瞬时值计算：设i=I msin®贝 U u= UR+ UL+ uc= RImsi n® +Xl Imsi n@t + 90o)+Xc Imsi n(3t-90o)Umsi n@t+ 妨其幅值为Um,与电流的相位差为心②相量计算：如果用相量表示电压与电流的关系，则为U =U R +U L +U C =RI +jXL| — jXci =[R+j(XL — Xc)] I此即为基尔霍夫定律的相量形式。

令 Z=U=R+j(XL — Xc) =|Z| /_i由(b)图可见Ur、Ul — Uc、U组成一个三角形，称电压三角形，电压u与电流i之间的相位差可以从电压三角形中得出，忻arctan __= arctan __Ur R|Z|、R和(XL — XC)也可以组成一个直角三角形，称为阻抗三角形 ⑵功率① 瞬时功率：p=ui=U mIm sin@t+ 妨 sin wt=UI cos©— Ulcos(2^t+ 妨② 平均功率：1 T 1 TP= T o pdt = [UI cos UI cos(2 t )]dt=UIcos© 又称为有功功率，其中cos©称为功率因数③无功功率：Q=UlI — UcI= I 2(Xl—Xc)=UIsin©④视在功率：S=UI称为视在功率可见 S P2 Q22.2.4电路中的谐振由上图的电压三角形可看出，当 Xl=Xc时 即电源电压u与电路中的电 流i同相这时电路中发生谐振现象1、串联谐振谐振发生在串联电路中，称为串联谐振⑴ 发生串联谐振的条件，Xl=Xc或2 nL= L2 fC并由此得出谐振频率f=fo= 12 . LC⑵串联谐振的特征① 电路的阻抗最小，Z VR2 （Xl Xc）2 = Ro② 由于电源电压与电路中电流同相（©= 0）,电路对电源呈现电阻性。

③ 由于Xl=Xc,于是Ul= UCo而Ul与Uc在相位上相反，互相抵消,因此电源电压U##⑶ 应用：常用在收音机的调谐回路中2、并联谐振谐振发生并联电路中，称为并联谐振⑴并联谐振频率为⑵并联谐振的特征：①谐振时电路的阻抗为1RCL其值最大，即比非谐振情况下的阻抗要大因此在电源电压ZoLRCU一定的情况下，电路的电流I将在谐振时达到最小值② 由于电源电压与电路中电流同相（（=0），因此，电路对电源呈现电 阻性当Rvv^oL时，两并联支路的电。