高考数学理一轮知识点专题讲座：事件与概率、古典概型与几何概型.doc

高考数学精品复习资料 2019.5【名师面对面】20xx届数学一轮知识点讲座：考点45事件与概率、古典概型与几何概型（解析版）加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用一.考纲目标随机事件的概念；实践的交、并，互斥事件及对立事件；频率、概率的概念和概率的基本性质；古典概型及几何概型的定义、概率的计算及应用.二.知识梳理1．事件(1)必然事件：在一定条件下必然发生的事件．(2)不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件．(3)随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件．(4)基本事件、基本事件空间试验连同它出现的每一个结果称为一个基本事件，它是试验中不能再分的最简单的随机事件，所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，基本事件空间常用大写希腊字母Ω表示．2．概率与频率(1)概率定义：在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率m/n，当n很大时，总是在某个常数附近摆动，随着n的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P(A)．(2)概率与频率的关系：概率可以通过频率来“测量”，频率是概率的一个近似值．3.互斥与对立事件名称定义符号表示并事件(和事件)由事件A和B至少有一个发生所构成的事件CA∪B互斥事件不可能同时发生的两个事件A、BA∩B＝ Ø互为对立事件不能同时发生且必有一个发生的两个事件A、BA∩B＝ ØA∪B＝Ω4.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围为：0≤P(A)≤1；(2)必然事件的概率为：P(A)＝1；(3)不可能事件的概率为：P(A)＝0；(4)互斥事件概率的加法公式如果事件A与事件B互斥，则 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，特别地，P(A1∪A2∪…∪An)＝ P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An) (A1，A2，…，An彼此互斥)．(5)对立事件的概率：P()＝1－P(A)．6．基本事件的两个特点(1)任何两个基本事件是相等的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．7．古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个(2)每个基本事件出现的可能性相等8．古典概型的概率公式对于古典概型，任何事件的概率为：P(A)＝.9．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 (面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型10．几何概型的概率公式在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：P(A)＝构成事件A的区域长度（面积和体积）/实验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）三．考点逐个突破1. 互斥事件与对立事件的判断例1.　判断下列各对事件是否是互斥事件或对立事件．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中(1)恰有1名男生和恰有2名男生；(2)至少有1名男生和至少有1名女生；(3)至少有1名男生和全是男生；(4)至少有1名男生和全是女生．思路点拨.　应重点关注从3名男生和2名女生中任选2名同学的所有可能情况，然后根据各事件包含的各种可能结果来判断各事件的关系．解：(1)是互斥事件，不是对立事件．原因是：在所选的2名同学中，“恰有1名男生”实质是选出的是“1名男生和1名女生”，它与“恰有两名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件．但其并事件不是必然事件，所以不是对立事件．(2)不可能是互斥事件，从而也不是对立事件．原因是：“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”与“两名都是男生”两种结果．“至少有1名女生”包括“1名女生和1名男生”与“两名都是女生”两种结果，它们可能同时发生．(3)不可能是互斥事件，也不是对立事件．原因是：“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”与“两名都是男生”，这与“全是男生”可能同时发生．(4)是互斥事件，也是对立事件．原因是：“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”与“两名都是男生”两种结果，它与“全是女生”不可能同时发生，且其并事件是必然事件，所以也是对立事件．2.随机事件的概率与频率例2.某市统计的2006～2009年新生婴儿数及其中男婴数(单位：人)见下表：时间2006年2007年2008年2009年新生婴儿数21840230702009419982男婴数11453120311029710242(1)试计算男婴各年的出生频率；(精确到0.001)(2)该市男婴出生的概率约是多少？解：从概率的定义中，我们可以看出，概率是可以通过频率来“测量”的，或者说频率是概率的近似值．(1)2006年男婴出生的频率为f(nA)＝＝≈0.524.同理可求得2007年、2008年和2009年男婴出生的频率分别约为0.521、0.512、0.513.(2)由以上计算可知，各年男婴出生的频率在0.51～0.53之间，所以该市男婴出生的概率约为0.52.3.互斥事件与对立事件的概率例3.　袋中有12个相同的小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是.(1)求得到黑球、得到黄球及得到绿球的概率；(2)求得到的小球既不是黑球也不是绿球的概率．解：(1)从袋中任取一球，记事件A为“得到红球”，B为“得到黑球”，C为“得到黄球”，D为“得到绿球”，则事件A，B，C，D两两互斥．由已知P(A)＝，P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝，P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝.∴P(B＋C＋D)＝1－P(A)＝1－＝.∵B与C＋D，B＋C与D也互斥，∴P(B)＝P(B＋C＋D)－P(C＋D)＝－＝，P(D)＝P(B＋C＋D)－P(B＋C)＝－＝，P(C)＝1－P(A＋B＋D)＝1－(P(A)＋P(B)＋P(D))＝1－(＋＋)＝1－＝.故得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是，，.(2)∵得到的球既不是黑球也不是绿球，∴得到的球是红球或黄球，即事件A＋C，∴P(A＋C)＝P(A)＋P(C)＝＋＝，故所求的概率是.4.简单的古典概型的概率例4.箱中有6张卡片，分别标有1,2,3，…，6.(1)抽取一张记下号码后不放回，再抽取一张记下号码，求两次之和为偶数的概率；(2)抽取一张记下号码后放回，再抽取一张记下号码，求两个号码中至少一个为偶数的概率．解：(1)设“两次之和为偶数”的事件为A，则P(A)＝＝.(2)基本事件的个数是36，其中两个号码都是奇数的有(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，共计9个基本事件，故两个号码至少有一个偶数含有27个基本事件．设“两个号码中至少一个为偶数”的事件为B，则P(B)＝＝.5.较复杂的古典概型问题例5.　如上图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，其中A1、A2、A3、A4是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处．今在道路网M，N处的甲、乙两人分别要到N，M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M处为止．(1)求甲经过A2到达N处的方法有多少种；(2)求甲、乙两人在A2处相遇的概率；(3)求甲、乙两人相遇的概率．解：(1)甲经过A2，可分为两步：第一步，甲从M到A2的方法有C种；第二步，甲从A2到N的方法有C种．所以甲经过A2到达N处的方法有(C)2＝9种．(2)由(1)知，甲经过A2的方法数为9；乙经过A2的方法数也为9.所以甲、乙两人在A2处相遇的方法数为9×9＝81；甲、乙两人在A2处相遇的概率为＝.(3)甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在A1、A2、A3、A4处相遇，他们在Ai(i＝1,2,3, 4)处相遇的走法有(C)4种方法，所以(C)4＋(C)4＋(C)4＋(C)4＝164，故甲、乙两人相遇的概率为＝.6.与长度有关的几何概型例6.在集合A＝{m|关于x的方程x2＋mx＋m＋1＝0无实根}中随机地取一元素m，恰使式子lgm有意义的概率为________．思路点拨.　转化条件与结论，用几何概型求解．解析：由Δ＝m2－4(m＋1)<0得－10，即使lgm有意义的范围是(0,4)故所求概率为P＝＝.7.与面积(或体积)有关的几何概型例7.　在平面区域{(x，y)|y≤－x2＋2x，且y≥0}内任意取一点P，则所取的点P恰是平面区域{(x，y)|y≤x，x＋y≤2，且y≥0}内的点的概率为________．思路点拨.　画出两个平面区域，用几何概型求解．解析：设A＝{(x，y)|y≤－x2＋2x，且y≥0}．B＝{(x，y)|y≤x，x＋y≤2，且y≥0}，如图所示平面区域A是抛物线与x轴围成的区域，平面区域B是三角形区域，且SA＝(－x2＋2x)dx＝，SB＝×2×1＝1，故所求概率为P＝＝. 。