高等数学17无穷小的比较ppt课件.ppt

第七节 无穷小的比较【例1】当 x→0 时，都是无穷小，察看上述三个函数趋于零的速度：x→0 0.10.10.20.010.010.010.020.00010.0010.0010.0020.0000010.00010.00010.00020.00000001………… 趋于零的速度最快，趋于零的速度最快， ，， 速度差不多速度差不多. .【例2】极限不同, 反映了趋向于零的“快慢〞程度不同.察察看看各各极极限限定义 设 是同一过程中的两个无穷小，且 〔1〕假设 ，那么就说 是比 高阶的无穷小，记作〔2〕假设 ，那么就说 是比 低阶的无穷小;〔3〕假设 ，那么就说 与 同阶无穷小;〔4〕假设 ，那么就说 是关于 的 k阶无穷小;〔5〕假设 ，那么就说 与 是等价无穷小，记作【例3】的高低.同阶高阶二阶无穷小等价无穷小〔5〕故〔6〕那那么么故故令令等价无穷小等价无穷小【例4】证明：当 时， .证 只需证 即可. 定理1 β与α是等价无穷小的充分必要条件是 称α 是β 的主要部分.【例5】由于当 时， 所以当 时有 定理2 (等价无穷小代换定理)证此定理还可以仅代换分子或分母：常用等价无穷小: u可以是可以是变量，也可以是函数量，也可以是函数. 这个定理通知我们，在求两个无穷小之比的极这个定理通知我们，在求两个无穷小之比的极限时，可将分子、分母同时〔或分别〕用与它等价限时，可将分子、分母同时〔或分别〕用与它等价的无穷小来代换的无穷小来代换. .【例6】证明两端取对数，得又当x→0，t→0. 所以证 由于 ，所以令所以【例7】求以下极限解 〔1〕当 x→0 时，〔2〕当 x→0 时，〔3〕当 x→0 时，【例8】解解错作业 习题 1-7 P.55 3.4.5【例【例1010】】解解【例【例1313】】解解【例【例1414】】【例【例5 5】证明】证明证证 令令，当x→0，t→0.所以，【例【例5 5】证明】证明证证 令令当x→0，t→0.所以，【例【例7 7 】】解解第一步，判别类型：型第二步，套用第二个重要极限第三步，变形求解解解 由于当由于当x→0x→0【例【例7 7 】求】求解解【例【例7 7 】】求求原式三、小结1.无无穷小的小的阶的比的比较反映了同一反映了同一过程中程中, 两无两无穷小小趋于零的速度于零的速度快慢快慢, 但并不是一切的无但并不是一切的无穷小都可小都可进展比展比较.2. 等价无等价无穷小交小交换：：①①~⑤⑤求极限的重要方法求极限的重要方法, 留意适用条件留意适用条件.高高(低低)阶无无穷小小; 等价无等价无穷小小; 同同阶无无穷小小.思索题思索题1. 求求 解：解：2. 求解：解：练练 习习 题题练习题答案练习题答案【例【例1111】】 知当知当 x→0 x→0时，，是等价无穷小，求a .解解不能不能滥用等价无用等价无穷小代小代换.对于代数和中各无于代数和中各无穷小不能分小不能分别交交换. .留意：留意：【例【例5 5】由于】由于的主要部分. 是tanx-sinx【例9】求以下极限【例10】求解 原式 = 【例8】求解。