初三数学旋转、圆学生版.doc

旋转变换1. 旋转变换的概念：在平面内，将一个图形G绕着一个定点O沿某个方向（顺时针或逆时针）转动一定的角度，得到另一个图形G’，这样由图形G到图形G’的图形变换叫做旋转这个定点O叫旋转中心，转动的角称为旋转角三要素注：旋转变换的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角2. 旋转变换的性质：（1）旋转前、后的图形全等；（2）对应点到旋转中心的距离相等(意味着：旋转中心在对应点连线段的垂直平分线上)（3）对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等，他们都等于旋转角三等3. 旋转变换的作图：四部曲（1） 确定旋转中心、旋转方向和旋转角度；（2） 找出能确定图形的关键点；（3） 连结图形的关键点与旋转中心，并按旋转的方向分别将它们转动一个固定的角度，得到此关键点的对应点；（4） 按原图形的顺序连结这些对应点，所得图形就是旋转后的图形提问：一定的角度的范围？4. 旋转对称图形：如果某图形绕着某一定点旋转一定角度（大于0°小于360°）后能与自身重合,那么这种图形就叫做旋转对称图形特殊应用：求角度、求弧长、求面积、证明线段相等、证明角相等、证明位置关系、求函数解析式解题关键：要抓住图形变换过程中的几何不变性即旋转不变性、数值不变性等等【例题详解】例1、 图1是边长分别为4和3的两个等边三角形纸片ABC和C′D′E′叠放在一起（C与C′重合）.（1）操作：固定△ABC，将△C′D′E′绕点C顺时针旋转30°得到△CDE，连结AD、BE，CE的延长线交AB于F（图2）；探究：在图2中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？试证明你的结论.（4分）（2）操作：将图2中的△CDE，段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的△CDE设为△PQR（图3）；探究：设△PQR移动的时间为x秒，△PQR与△ABC重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数自变量x的取值范围.（5分）（3）操作：图1中△C′D′E′固定，将△ABC移动，使顶点C落在C′E′的中点，边BC交D′E′于点M，边AC交D′C′于点N，设∠AC C′=α（30°＜α＜90°）（图4）；探究：在图4中，线段C′N·E′M的值是否随α的变化而变化？如果没有变化，请你求出C′N·E′M的值，如果有变化，请你说明理由.（4分）例2． 将两块含30°角且大小相同的直角三角板如图1摆放。

1）将图1中△绕点C顺时针旋转45°得图2，点与AB的交点，求证：；（2）将图2中△绕点C顺时针旋转30°到△（如图3），点与AB的交点线段之间存在一个确定的等量关系，请你写出这个关系式并说明理由；（3）将图3中线段绕点C顺时针旋转60°到（如图4），连结，求证：⊥AB.图1例3．已知正方形ABCD的边长AB=k（k是正整数），正△PAE的顶点P在正方形内，顶点E在边AB上，且AE=1. 将△PAE在正方形内按图1中所示的方式，沿着正方形的边AB、BC、CD、DA、AB、……连续地翻转n次，使顶点P第一次回到原来的起始位置.（1）如果我们把正方形ABCD的边展开在一直线上，那么这一翻转过程可以看作是△PAE在直线上作连续的翻转运动. 图2是k=1时，△PAE沿正方形的边连续翻转过程的展开示意图. 请你探索：若k=1，则△PAE沿正方形的边连续翻转的次数n= 时，顶点P第一次回到原来的起始位置.（2）若k=2，则n= 时，顶点P第一次回到原来的起始位置；若k=3，则n= 时，顶点P第一次回到原来的起始位置.图2（3）请你猜测：使顶点P第一次回到原来的起始位置的n值与k之间的关系（请用含k的代数式表示n）.例4．操作：在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝900，将一块等腰三角形板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点。

图①，②，③是旋转三角板得到的图形中的3种情况研究：（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD和PE之间有什么数量关系？并结合图②加以证明2）三角板绕点P旋转，是否能居为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由3）若将三角板的直角顶点放在斜边AB上的M处，且AM：MB＝1：3，和前面一样操作，试问线段MD和ME之间有什么数量关系？并结合图④加以证明图1图2例5、已知，点P是正方形ABCD内的一点，连PA、PB、PC.（1）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置（如图1）.①设AB的长为a，PB的长为b（b

半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径  4. 点和圆的位置关系，设⊙O半径为，点P到圆心的距离 则有：点P在⊙O外；点P在⊙O上；点P在⊙O内  5. 不在同一直线上的三个点确定一个圆  6. 直线和圆的位置关系，设⊙O半径为，直线到圆心O的距离为则有：直线和⊙O相交；直线和⊙O相切；直线和⊙O相离  7. 切线的性质和判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，圆的切线垂直于过切点的半径  8. 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角  9. 圆和圆的位置关系，如果两圆的半径分别为和（）圆心距为，则有：两圆外离；两圆外切；两圆相交；两圆内切；两圆内含  10. 弧长、扇形面积：在半径为R的圆中，圆心角所对的弧长为，则，【典型例题】[例1] 如图正方形ABCD边长为4cm，以正方形一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，再过A点作半圆的切线，与半圆切于F点，与CD交于E点，求的面积  [例2] 已知⊙O1与⊙O2交于A、B两点，且点O2在⊙O1上，（1）如图1，AD是⊙O2直径，连结DB并延长交⊙O1于C，求证：CO2⊥AD；（2）如图2如果AD是⊙O2的一条弦，连结DB并延长交⊙O1于C，那么CO2所在直线是否与AD垂直？证明你的结论。

  图1                              图2 [例3] 已知⊙O中，AB为直径，OC⊥弦BE于D，交⊙O于C，若⊙O半径为5，BE=8，求AD的长？[例4] 蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，如图已知，底面圆面积为，现要用毛毡搭建20个这样的蒙古包，至少需要用多少平方米毛毡？[例5] 如图，PA、PB切⊙O于A、B，AC为⊙O直径，（1）连接OP，求证：OP//BC；（2）若，，则AC的长是多少？[例6] 问题：要将一块直径为2m的半圆形铁皮加工成一个圆柱的两个底面和一个圆锥的底面，操作：方案一：在图甲中，设计一个使圆锥底面最大，半圆形铁皮得以最充分利用的方案（要求：画出示意图）；方案二：在图乙中，设计一个使圆柱两个底面最大，半圆形铁皮得以最充分利用的方案（要求：画出示意图）探究：（1）求方案一中圆锥底面的半径；（2）求方案二中圆锥底面及圆柱底面的半径；（3）设方案二中半圆圆心为O，圆柱两个底面的圆心为O1、O2，圆锥底面的圆心为O3，试判断以O1、O2、O3、O为顶点的四边形是什么样的特殊四边形，并加以证明课后练习1、等腰△ABC，AB=AC=８，∠BAC=120°，P为BC的中点，小慧拿着含300角的透明三角板，使300角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转．（1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时．求证：△BPE∽△CFP；（2）操作：将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．① 探究１：△BPE与△CFP还相似吗？（只需写出结论）② 探究２：连结EF，△BPE与△PFE是否相似？请说明理由；③ 设EF=m，△EPF的面积为S，试用m的代数式表示S．图a图b 2、如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心的圆O半径为，直线：与坐标轴分别交于A、C两点，点B的坐标为（4，1），⊙B与轴相切于点M（1）求点A的坐标及的度数；（2）⊙B以每秒1个单位的速度沿轴负方向平移，同时，直线绕点A顺时针匀速旋转，当⊙B第一次与⊙O相切时，直线也恰好与⊙B第一次相切，问：直线AC绕点A每秒旋转多少度？。