安徽大学高数期末考试试卷及答案解析(3).pdf

安徽大学 20102011 学年第二学期高等数学 A（二） 、B（二） 期末考试试卷（A 卷）参考答案与评分标准一、填空题 （每小题 2 分，共 10 分）11( 1, 2,2)3-； 2 0 ； 321110d( ,yyyf x y+- )dx； 4 2； 585-二、选择题 （每小题 2 分，共 10分）1D；2 C；3B；4B；5A三、计算题 （其中第 1、2、3 小题每小题 10 分，第 4、5 小题每小题 12 分，共54 分）1 解 设( , )arctanyf x yx=，则22(1,1)1(1,1)2xyfxy-= -22(1,1)1(1,1)2yxfxy=+，故所求切平面方程为11(1)(1)( 1)()0224xyz-+-+ -=，整理得22xyz-+=法线方程为1141/ 21/ 21zxy-=-，整理得114112zxy-=-2 解 空间区域?在xoy平面上的投影为22( , ) |4Dx yxy=+则 原式 =224(d )d dxyDz zx y+222116() d d2Dxyx=-+y22218d d() d d2DDx yxyx y=-+22400132d2drrr=-?13264322233=-?=3 解 将曲面向 zox平面投影得( ,)| 11,01 zxDx yxz=- 第 1 页共 3 页222221d1d d10d dd d11yyxSz xz xxzxx?=+=+=?-?-z x由对称性可得原式1122220111dd2d d21111zxDzxz xzzxx-=?=+-22=4 解 (1) 2( )lnln2(2)ln 2ln 12xf xxx-?=+-=+?当时, ( 1,1x -11( 1)ln(1)nnnxxn-=-+=故当2( 1,12x - -时, 即时, (0, 4x11( 1)lnln 2(2)2nnnnxxn-=-=+-?(2) 在(1)中, 令3x =可得11( 1)ln3ln 22nnnn-=-=+?, 于是11( 1)ln3ln 22nnnn-=-=-?5 (1) 方程组两边同时对 x求偏导数得10cossinuvvuxxuvuvxx?=+?=-?解方程可得sincos,cossincossinuvvuxuuvvxuuv?=?+?+v(2) 方程sin两边同时对求偏导得0zxyz-=ycos()0zzzx zyyy?-+=?, (*) 由此可知coszxzyzxy?=?-方程(*) 两边再对求偏导得y22222sincos()0zzzzzzzxyyyyyy?-+-+?=由此解得2222231sin2sin2cos(cos)zzzx zzx zzxyzxyyyzxy?+=+=?-?-?23cos2zx yz-四、应用题 （每小题 8 分，共 16分）第 2 页共 3 页1 解 构造 Lagrange函数22( , , , ,)23(2)(1)L x y zxyzxyyz=+-+-求偏导得12,22,3xyzLx LyL=+=+=+222,1LxyLyz,=+-=+-, 联立解得或1,1,0 xyz= -=1,1,2xyz= -=代入原函数得( 1,1,0)1,(1, 1,2)5ff-=-= 故所求最大值为 5, 最小值为 1.2 解 所求金属丝的质量为dLms=弧微分222d( )( )( ) dsx ty tz tt=+3 dte t=故1112001333 dd(1)222tttme tete-=e-五、证明题 （每小题 5 分，共 10分）1证明设( )2011xf xx=+，则2011( )2(2011)xfxx x-=+，显然时， 即2011x ( )0fx ( )f x单 调 递 减 .从 而 当时 , 2011n ( )f n单 调 递 减. 又 因 为lim02011nnn=+, 故由 Leibniz 判别法可知 , 11( 1)2011nnnn-=-+收敛. 另一方面 , 因为lim12011nnnn=+, 11nn=发散, 故由比较判别法极限形式可知, 12011nnn=+发散. 综上所述可知 , 11( 1)2011nnnn-=-+条件收敛 . 2. 证明：由 Stokes 公式可得左()cos()cos()cos dyzzxxyRQPRQP=-+-+-S() ()()222222(coscoscos)dxyyzzxQPRQPRS?-+-+-+?()()()222( , , )maxdxyyzzxx y zQPRQPRS-+-+-?右=其中(coscoscos )，为曲面 单位法向量的方向余弦 .第 3 页共 3 页。