群论02_第二章.pdf

1 群论（一）群论（一） 第二章第二章 群的基本概念群的基本概念 马中骐马中骐 中国科学院高能物理研究所中国科学院高能物理研究所 e e- -mail: mazq@mail: mazq@ 2 从研究系统的对称性质中概括出群的概念从研究系统的对称性质中概括出群的概念 通过具体例子和群的乘法表来了解群的各种子集通过具体例子和群的乘法表来了解群的各种子集 哪个图形更对称？哪个图形更对称？ 2. 1 对称对称 对称是用保持系统不变的变换来描写的对称是用保持系统不变的变换来描写的 3 孤立的孤立的 粒子系统的哈密顿量为粒子系统的哈密顿量为 哈密顿量对空间平移，空间转动和空间反演保持哈密顿量对空间平移，空间转动和空间反演保持 不变如果是全同粒子，则哈密顿量对粒子的置不变如果是全同粒子，则哈密顿量对粒子的置 换变换保持不变换变换保持不变 保持系统不变的变换称为系统的保持系统不变的变换称为系统的对称变换对称变换，对称，对称 变换的集合描写系统的全部对称性质根据系统变换的集合描写系统的全部对称性质根据系统 的对称性质，通过群论方法的研究，可以得到的对称性质，通过群论方法的研究，可以得到与与 系统的细节无关的，精确的重要性质，并可以与系统的细节无关的，精确的重要性质，并可以与 实验比较。

实验比较 4 为了使大家对群论方法有一个直观的了解，我们为了使大家对群论方法有一个直观的了解，我们 举一个非常简单的例子，来说明群论方法的基本举一个非常简单的例子，来说明群论方法的基本 思路 研究一个具有研究一个具有空间反演对称性空间反演对称性的量子系统，即系统的量子系统，即系统 哈密顿量对空间反演保持不变因此哈密顿量的本哈密顿量对空间反演保持不变因此哈密顿量的本 征函数经过空间反演后仍是哈密顿量的本征函数：征函数经过空间反演后仍是哈密顿量的本征函数： 由于哈密顿量的线性性质，由于哈密顿量的线性性质， 的任何线性组合的任何线性组合 仍是哈密顿量的本征函数若取如下组合：仍是哈密顿量的本征函数若取如下组合： 哈密顿量的本征函数可以哈密顿量的本征函数可以用宇称来分类用宇称来分类宇称是系宇称是系 统的一个统的一个守恒量守恒量 5 作为一级近似，电偶极跃迁的几率与电偶极算符作为一级近似，电偶极跃迁的几率与电偶极算符 在初末态波函数间的矩阵元模平方成正比在初末态波函数间的矩阵元模平方成正比 电偶极算符电偶极算符和坐标算符成正比，在空间反演中是和坐标算符成正比，在空间反演中是 奇函数奇函数。

因此当初末态宇称相同时，这个矩阵元因此当初末态宇称相同时，这个矩阵元 的积分为零也就是说，的积分为零也就是说，在宇称状态相同的初末在宇称状态相同的初末 态间电偶极跃迁概率的一级近似为零态间电偶极跃迁概率的一级近似为零 用量子力学的语言说，电偶极跃迁的用量子力学的语言说，电偶极跃迁的选择定则选择定则是是 宇称相同的状态间电偶极跃迁被压低宇称相同的状态间电偶极跃迁被压低 6 2. 2 群及其乘法表群及其乘法表 研究保持系统不变的变换集合的共同性质研究保持系统不变的变换集合的共同性质 先定义两次变换的先定义两次变换的乘积乘积为相继做两次变换为相继做两次变换 在此乘积的定义下，系统的任何两个对称变换的在此乘积的定义下，系统的任何两个对称变换的 乘积仍是系统的对称变换这性质称为集合中乘乘积仍是系统的对称变换这性质称为集合中乘 积的积的封闭性封闭性 三个对称变换的乘积满足三个对称变换的乘积满足结合律：结合律： 集合中存在一个集合中存在一个恒等变换恒等变换，它是，它是不变的变换不变的变换恒等 变换和任何对称变换的乘积仍是此对称变换变换和任何对称变换的乘积仍是此对称变换。

任一对称变换都有任一对称变换都有逆变换逆变换，逆变换也是对称变换，也，逆变换也是对称变换，也 在此集合中逆变换和对称变换的乘积是恒等变换在此集合中逆变换和对称变换的乘积是恒等变换 7 从系统对称变换集合的共同性质中抽象出群的概念从系统对称变换集合的共同性质中抽象出群的概念 把变换扩充为任何客体，称为把变换扩充为任何客体，称为元素元素定义元素乘积元素乘积的概念 8 习题习题* * 习题习题 9 作为数学定义的群，元素是什么客体并不重要，重要作为数学定义的群，元素是什么客体并不重要，重要 的是的是乘积法则乘积法则，也就是这些元素，也就是这些元素用什么方式构成群用什么方式构成群 从群论观点看，两个群同构，这从群论观点看，两个群同构，这两个群就完全相同两个群就完全相同 在群同构的定义中，群元素之间的对应关系可以任在群同构的定义中，群元素之间的对应关系可以任 意定义在此对应关系下，如果两群元素及其乘积意定义在此对应关系下，如果两群元素及其乘积 关系一一对应，则此两群同构，否则关系一一对应，则此两群同构，否则不一定不同构不一定不同构 从群的定义出发，可以证明从群的定义出发，可以证明 恒元是唯一的，任一元素的恒元是唯一的，任一元素的 逆元是唯一的，且逆元是唯一的，且 10 一般说来，群元素的乘积次序不能交换：一般说来，群元素的乘积次序不能交换： 群中所有元素的乘积次序都可以交换的群，称为群中所有元素的乘积次序都可以交换的群，称为阿阿 贝尔群贝尔群，只要有一对元素的乘积次序不能交换，就，只要有一对元素的乘积次序不能交换，就 称为称为非阿贝尔群非阿贝尔群。

元素数目有限的群称为元素数目有限的群称为有限群有限群元素数目元素数目 称为有称为有 限群的阶无限群和连续群的概念限群的阶无限群和连续群的概念 群中部分元素的集合作为一个整体，称为群中部分元素的集合作为一个整体，称为复元素复元素 可以定义复元素的相等，复元素的乘积，以及由复可以定义复元素的相等，复元素的乘积，以及由复 元素构成的群等概念元素构成的群等概念 在物理中，如果没有特别说明，当元素是在物理中，如果没有特别说明，当元素是变换变换时，时， 它们的乘积就是相继做两次变换，元素是它们的乘积就是相继做两次变换，元素是矩阵矩阵时，时， 它们的乘积就是矩阵乘积它们的乘积就是矩阵乘积 11 以以 为例来证明：为例来证明： 12 有限群的有限群的乘法表乘法表，简称，简称群表群表 把把左乘元素左乘元素排在表的第一列，把排在表的第一列，把右乘元素右乘元素排在表的排在表的 第一行第一行和第一列中元素的排列次序可以任第一行第一行和第一列中元素的排列次序可以任 意，但意，但一般使它们的排列次序相同一般使它们的排列次序相同，且，且第一个是恒第一个是恒 元元。

表中间的内容，分别按乘积规则填入相应的表中间的内容，分别按乘积规则填入相应的乘乘 积元素积元素 对应恒元的那一行与表头第一行相同，对应恒元的那对应恒元的那一行与表头第一行相同，对应恒元的那 一列与表头的第一列相同表的内容中一列与表头的第一列相同表的内容中每一行（每一每一行（每一 列）不会有重复元素列）不会有重复元素乘法表相同的两个群同构乘法表相同的两个群同构但 乘法表不同的两个群不一定不同构乘法表不同的两个群不一定不同构 称为称为左乘元素左乘元素，， 称为称为右乘元素右乘元素，， 称为称为乘积元素乘积元素 13 有限群的有限群的乘法表乘法表，简称，简称群表群表 二阶群都同构二阶群都同构 三阶群都同构三阶群都同构 由一个元素由一个元素 及其乘积构成的群称为及其乘积构成的群称为循环群循环群，， 称为生成元典型的循环群是称为生成元典型的循环群是 次固有转动轴次固有转动轴 14 除了循环群外，四阶群还有除了循环群外，四阶群还有 15 除了循环群外，四阶群还有除了循环群外，四阶群还有 16 除了循环群外，四阶群还有除了循环群外，四阶群还有 四阶群只有两种，它们的区别就看是不是存在元素四阶群只有两种，它们的区别就看是不是存在元素 它的平方不是恒元。

它的平方不是恒元 乘法表关于对角线对称的群是阿贝尔群乘法表关于对角线对称的群是阿贝尔群 循环群和四阶群都是阿贝尔群循环群和四阶群都是阿贝尔群 17 元素的周期：有限群任一元素的幂次足够高后必定元素的周期：有限群任一元素的幂次足够高后必定 会重复，第一次重复的幂次称为该会重复，第一次重复的幂次称为该元素的阶元素的阶，这些，这些 不同幂次的元素集合称为该元素的周期不同幂次的元素集合称为该元素的周期 请注意区分请注意区分群的阶群的阶和和元素的阶元素的阶恒元的阶为一恒元的阶为一 四阶循环群包含四阶循环群包含1 1个一阶元素，个一阶元素，1 1个二阶元素，和个二阶元素，和 2 2个四阶元素四阶反演群包含个四阶元素四阶反演群包含1 1个一阶元素和个一阶元素和3 3 个二阶元素个二阶元素 18 请注意区分请注意区分群的阶群的阶和和元素的阶元素的阶恒元的阶为一恒元的阶为一 19 20 用图形变换法建立群表用图形变换法建立群表 21 22 建立群表的第二种方法：坐标变换的方法：建立群表的第二种方法：坐标变换的方法： 23 建立群表的第二种方法：坐标变换的方法：建立群表的第二种方法：坐标变换的方法： 24 建立群表的第三种方法：置换变换的方法：建立群表的第三种方法：置换变换的方法： 25 习题习题 4. 证明当群的阶数为证明当群的阶数为5，，6或或7时，不可能每一元时，不可能每一元 素的平方都是恒元。

素的平方都是恒元 5. 证明如果群中任一元素的平方都是恒元，则此证明如果群中任一元素的平方都是恒元，则此 群是阿贝尔群群是阿贝尔群 26 推广到正推广到正 边形对称群边形对称群 轴是轴是 次固有转动轴，绕次固有转动轴，绕 轴转动轴转动 角的变换角的变换 记做记做 , 则有则有 个对称变换个对称变换 当当 是奇数时，是奇数时，顶点和对边中点的连线顶点和对边中点的连线是二次固有是二次固有 转动轴，当转动轴，当 是偶数时，是偶数时，两相对顶点的连线两相对顶点的连线和和对边对边 的连线的连线都是二次固有转动轴共都是二次固有转动轴共 个，与个，与 轴夹角轴夹角 分别为分别为 ，对应的变换分别记做，对应的变换分别记做 27 推广到正推广到正 边形对称群边形对称群 的阶数是的阶数是 ，， 的阶数是的阶数是 2计算 是一种常用的数学符是一种常用的数学符 号，表明相差号，表明相差 的两个数看成的两个数看成 是相同的，是相同的， 即即 28 推广到正推广到正 边形对称群边形对称群 。

的阶数是的阶数是 ，， 的阶数是的阶数是 2，， 合起来合起来 29 2. 3 群的各种子集群的各种子集 群群 中部分元素的集合中部分元素的集合 ，如果按照，如果按照原来的元素原来的元素 乘积规则乘积规则也构成群，则也构成群，则 称为称为 的子群 任何群都有两个平庸的子群：恒元和群全体通常任何群都有两个平庸的子群：恒元和群全体通常 更关心非平庸的子群更关心非平庸的子群 对有限群，只要子集满足封闭性对有限群，只要子集满足封闭性，那么，结合律显，那么，结合律显 然满足，子集中元素的周期必定包含恒元和逆元，然满足，子集中元素的周期必定包含恒元和逆元， 因此此子集构成子群因此此子集构成子。