亚闯惠丽霞何永锋4.pdf

2012 高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D 中选择一项填写）：我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名） ：参赛队员 (打印并签名 ) ：1. 亚闯2. 惠丽霞3. 何永锋指导教师或指导教师组负责人(打印并签名 )：日期：年月 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2 2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评 阅 人评 分备 注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：1 降落伞的 选购模型摘要本模型讨论的是物资救援中降落伞的选购问题，在满足空投要求的情况下正 确的选购可以避免资金浪费， 同时做到采购费用最低。

本文采用的是线性规划模 型问题的求解有两个关键点：空气阻力系数最大承载力 降落伞的单价与降 落伞半径有关，为满足空投物资的质量要求，确定不同半径降落伞的采购数量， 就必须要确定降落伞的承载能力； 而大承载力的关键条件就是确定降落伞下降过 程中的空气阻力系数k 由于 问题的初始约束 条件的限制 ，我们假设视降落伞和空投物资为一个整 体，下降过程中只受重力和空气阻力作用经对降落伞的受力分析和运动状态的 分析，以及已知条件我们可以列出降落伞下落过程中的重力与阻力的关系方程， 然后进一步利用MATLAB 拟合出速度与时间的关系方程， 位移与时间的关系方程， 最后根据已知条件求出降落伞下落过程中的阻力系数k 根据速度与时间的关系方程我们可以得到降落伞下降速度与质量（即承载 力）的关系方程已知阻力系数k及降落速度与质量的关系方程，根据该方程的 性质我们可以分析出与降落伞最大承载力相关的关系变量，然后用MATLAB 软件 拟合出不同半径情况下不同降落伞伞面面积的降落伞的最大承载力 最后确定出每种半径降落伞的单价，根据降落伞的单价、 最大承载力的要求 作为约束条件我们利用线性规划的方法列出目标函数降落伞采购费用的方程组， 最后利用 LINGO软件确定出半径3r，采购数量6n时所需的费用最少，采购 费用4929C元。

通过对问题的分析我们发现本模型是一类规划问题，解题过程中我们找出了 问题的约束条件，对此建立了线性规划模型仔细分析此模型不难发现：这个模 型不仅使用于降落伞的选购问题 我们认为本模型还可以推广到其他领域的资源 配置问题，它涉及范围非常广泛，规划模型在工业、商业、交通运输等领域都有 着重要的指导作用 关键字：空气阻力系数最大载重量 MATLAB LINGO 线性规划2 一．问题重述向灾区空投救灾物资2000kg，已知空投高度为500m，要求降落伞落地时的速度不能超过20/m s降落伞面为半径 r 的半球面，用每根长L, 共 16 根绳索 连接的载重 m的物体位于球心正下方球面处 降落伞在降落过程中受到重力作用 外还受到的空气阻力， 可以认为与降落速度和伞的受力面积的乘积成正比为了确定阻力系数，用半径3rm、 载重300mkg的降落伞从500m高度作降落试验，测得各时刻的高度，见表 2表 2 时刻 t （s）0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 高度 h（m ）500 470 425 372 317 264 215 160 108 55 1 降落伞的费用由三部分组成：伞面费用C1（由伞的半径 r 决定），见表 1； 绳索费用 C2（由绳索总长度及单价4 元/ 米决定），固定费用C3为 200元要求： 根据以上条件对2000kg的救灾物资确定降落伞的选购方案，即决定每种伞的半 径、选购个数，最后是选购总费用最低。

表 1 r(m) 2 2.5 3 3.5 4 费用( 元) 65 170 350 660 100 二．模型的假设1．空投物资的总重量2000kg可以任意分配空投物资；2．空气的阻力系数与空气之外的因素无关；3．降落伞和物资视为一个整体，下降过程中只受空气阻力和物体自身的重力；4．降落伞和绳子的重量忽略不计；5．降落伞在抛出的瞬间已经打开；6．降落伞降落的初速度等于v(0)03 三. 符号说明m空投整体的质量g重力加速度k空气的阻力系数s降落伞的受力面积a降落伞的下落加速度f空气阻力t时间h高度L降落伞绳长( )H t t时刻降落伞的位移( )V t t时刻降落伞的速度M最大承载力F合合外力C降落伞单价（1c 伞面费用、2c 绳子费用、3c 固定费用）四. 问题分析由题目的要求可知本模型讨论的是费用最优的问题，即模型的优化问题降落伞的单价由三部分组成：降落伞的伞面费用，降落伞的绳子费用，固定 费用降落伞的伞面费用由伞的半径及价格决定，绳子费用由伞的半径和单价决 定， 由题中已知条件——物资位于降落伞球心正下方球面处及图一的分析可知降 落伞的绳长2Lr；固定费用 200 元4 因为降落伞的单价和伞半径及不同半径降落伞的使用情况有关。

为满足题中 空投物资重量及费用最低的要求，故需确定不同半径降落伞的最大承载力最后 利用线性规划，确定不同半径降落伞的使用数量，确定费用最优方案要确定不同半径降落伞的最大承载力，需对降落伞的下落过程进行受力分 析，物资在下落过程中受重力作用和空气阻力作用，两者为竖向的反力重力与物资的质量有关，空气阻力fksv与阻力系数 k、降落伞面积22Sr、降落速度 v有关，伞的面积已知 s，而降落速度 v与阻力系数k有关，故要确定降落 伞的最大承载力M首先要确定阻力系数k, 已知降落伞的半径 r , 质量 m，降落伞 的面积 s就可以利用 MATLAB 拟合出阻力系数k我们来分析降落伞在下降过程中的运动状态经受力分析可得降落伞在下降 过程中可能存在三种情况：1．重力一直大于空气阻力，降落伞作加速度减小的加速运动 2．在下降过程中的某一时刻t重力等于空气阻力，即存在一种平衡状态，降 落伞在一段加速运动之后作匀速运动mg 物资图二r r L 物资图一5 3．在下降过程中的摩一时刻t重力小于空气阻力，即在经历加速阶段后作减 速运动tH由表 2 我们可以利用 MATLAB 软件画出降落伞下降过程中的tH图线。

若降 落伞在下降过程中存在第二种情况（平衡状态）那么其tH图线必然存在一段 斜直线，观察tH图线，当 t 趋近于 15s 的时候位移 H近似于一条斜直线所以第 二种情况的平衡状态可能存在；若降落伞下降过程存在第三种情况，那么其必然 要经历受力平衡的临界状态，反映在tH图线中表现为在经历一段斜直线后图 线的斜率减小，观察图线发现不存在这样的变化，所以不存在这样的一种状态， 故排除第三种情况 由以上分析我们可以确定出降落伞在下落过程中是先做加速 度减小的加速运动经过一段时间之后逐渐趋近于匀速运动因此，我们可以建立一个位移与下落时间的函数关系式，根据题中已知条件 拟合出阻力系数k然后再建立一个速度与时间的函数关系式，根据函数的单调 性分析降落伞的承载力与下降速度的关系，确定出不同半径降落伞的最大承载 力五. 模型的建立与求解（一）受力分析我们假设视降落伞和物资为一个整体如图二所示，在降落过程中只受空气阻 力和重力， 二者为竖向反力， 根据牛顿第二定律我们可以建立出物体下降过程中 的合外力方程：Fmgf合6 由Fmafkvs合得：Fmgksv mma合（二）确定阻力系数k由位移H和时间( ) t的二次微分等于加速度得方程：22mgksvd H mdt利用 MATLAB 求解微分方程得：（程序见附录一）222222ks mtm gmgtmgHe k sksk s则高度222222500ks mtm gmgtmghek sksk s代入题中已知条件th数据时刻 t （s）0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 高度 h（m ）500 470 425 372 317 264 215 160 108 55 1 其中300mkg3rm29.8/gm s22sr利用以上条件用MATLAB 拟合出2.937k。

程序见附录二）（三）求最大承载力由速度对时间的微分等于加速度，v(0)0建立方程组(0)0dvkvsgdtm v7 用 MATLAB 求解方程组（程序见附录三）得：kstm tgmmgve ksks因为降落伞在降落过程中质量是不变的，所以我们可以把( )v t函数关系式中的时间 t 看作为一个定值，而空气阻力k、重力加速度g、降落伞半径 r 都为已知量， 故我们可以根据( )v t函数得到降落伞降落速度v 与质量 m的函数关系式：kstm mmgmgveksks对()v m求一阶导数得skgmgteksgemvmkstmkst)( '经分析一阶导数无法判断()v m函数的单调性，故求其二阶导数得()22''02kstkstmmmgekstgekstkstvksmksmmks所以一阶导数为单调递增函数，当m趋近于无穷大时对一阶导数求极限得：0)(limksgksgksgmgteksgemkstmkstm由此可知v'>0即 ：函数()v m为单调递增函数，下降速度v和承载力 m成正比由( )v t函数关系式及题中已知条件我们用MATLAB 可以画出在300mkg3rm的情况下降落伞下降过程的v-t 图线。

8 vt 图线 由 vt 图线我们可以分析出降落伞在下降过程中从0t开始做加速度减小 的加速运动当时间15ts时运动状态逐渐接近于匀速运动；所以承载力在降落 伞下降速度最大时取最大值，题中要求降落伞最大落地速度不得超过20m/s，为了研究方便我们假设降落伞在落地时速度达到了20/m s, 此时位移( )500H t，将其带入方程组，用MATLAB 解出不同半径 r 情况下降落伞的最大承载力M（程 序见附录五） 对最大承载力取整数得 降落伞半径 r2 2.5 3 3.5 4 最大承载力M150 235 339 461 602 （四）确定降落伞最优使用组合及最小费用对于2000kg的空投物资，不同承载力及单价的降落伞，我们这里用线性规划的方法求解降落伞最优组合方案 每种降落伞的单价由三部分组成：123CCCC伞面费用1C ：降落伞绳长2C ：244 2CLr固定费用3C ：3C =200 r （m ）2 2.5 3 3.5 4 费用（元）65 170 350 660 1000 9 由以上数据可得每种半径降落伞的单价：半径 r2 2.5 3 3.5 4 单价C（元）446.02 596.27 821.53 1176.78 1562.04 设每种半径的降落伞分别使用了2n2.5n3n3.5n4n 个 ，为了便于研究我们假设2000kg的空投物资可以随意分割分配，则目标函数22.533.54min446.02596.27821.531176.781562.04Cnnnnn1222.53343.5541234522.533.542000150235339461602,,,,2, 2.5,3,3.5, 4m nm nm nm nm nmmmmmnnnnnzr对其进行优化求解得最小选购费用min C，用 LINGO求解（见附录六）得不同半径降落伞的使用组合方案为：20n、2.50n、36n、3.50n、40n最小选购费用min 。