第四章时间序列模型的性质.ppt

第四章 时间序列模型的性质第一节 自回归过程的性质第二节 移动平均过程的性质第三节 自回归移动平均过程的性质第一节 自回归过程的性质一、一阶自回归过程AR(1)的性质二、二阶自回归过程AR(2)的性质三、p阶自回归过程AR(p)的性质返回本节首页下一页上一页一、一阶自回归过程AR(1)的性质一阶自回归模型的形式为：或返回本节首页下一页上一页1、平稳性和可逆性a.可逆性：一个有限阶的自回归模型总是可逆的，所以，ar(1)模型总是可逆的B.平稳性：为满足平稳性， 的根必须在单位圆外，于是有：2.ar(1)过程的自相关函数通过上述推导可看出，当过程平稳即通过上述推导可看出，当过程平稳即 时，时，AR(1)过程的自相关函数（过程的自相关函数（ACF））呈呈指数衰减指数衰减如果如果 ，那么所有的自相关系数都为正，，那么所有的自相关系数都为正，并逐渐衰减并逐渐衰减如果如果 ，， 自相关系数的符号以负号开始，自相关系数的符号以负号开始，并呈正、负交替逐渐衰减。

并呈正、负交替逐渐衰减例例1，下面两图表分别是模拟生成的，下面两图表分别是模拟生成的249个数据个数据如下如下AR(1)过程趋势图和自相关图过程趋势图和自相关图-6-4-202482848688909294969800例例1，模拟生成的，模拟生成的AR(1)过程过程趋势图趋势图例1：模拟生成的AR(1)过程自相关图::呈指数衰减例例2，下面两图表分别是模拟生成的，下面两图表分别是模拟生成的249个数据个数据如下如下AR(1)过程趋势图和自相关图过程趋势图和自相关图-6-4-2024682848688909294969800Y例例2，模拟生成的，模拟生成的AR(1)过程趋势图过程趋势图例2：模拟生成的AR(1)过程自相关图::呈正负交替指数衰减3.AR(1)过程的偏自相关函数（PACF）A.偏自相关函数的一般公式B.AR(1)过程的偏自相关函数上述结论说明：上述结论说明：AR (1)过程的偏自相关函数过程的偏自相关函数(PACF)在滞后一阶有一峰值，其符号取在滞后一阶有一峰值，其符号取决于决于 滞后一阶以后滞后一阶以后PACF截尾例1：模拟生成的AR(1)过程自相关图::滞后一阶以后截尾例2：模拟生成的AR(1)过程自相关图::滞后一阶以后截尾二、二阶自回归AR(2)过程的性质二阶自回归模型的形式为：或返回本节首页下一页上一页B.平稳性：为满足平稳性， 的根必须在单位圆外.1、平稳性和可逆性A.可逆性：ar(2)模型总是可逆的。

注：我们下面对注：我们下面对AR(2)性质的讨论中都假定平稳性条件满足性质的讨论中都假定平稳性条件满足-202-101实根复根AR(2)过程的平稳性区域如下图三角域所示过程的平稳性区域如下图三角域所示2.AR(2)过程的自相关函数通过上述推导可以如下结论，通过上述推导可以如下结论，在AR(2)过程的平稳性条件满足时，如果特征方程的根为实根，即 时，AR(2)的自相关函数呈指数衰减如果特征方程的根为复根，即 时，AR(2)的自相关函数呈阻尼正弦波衰减3.AR(2)过程的偏自相关函数通过上述证明可以得出如下结论：通过上述证明可以得出如下结论：例例1，下面两图表分别是模拟生成的，下面两图表分别是模拟生成的250个数据个数据如下如下AR(2)过程趋势图和自相关图过程趋势图和自相关图-4-202482848688909294969800例例1.模拟生成的模拟生成的AR(2)过程趋势图过程趋势图例例1.模拟生成的模拟生成的AR(2)过程过程自相关图自相关图呈混合指数衰滞后二阶以后截尾例例2，下面两图表分别是模拟生成的，下面两图表分别是模拟生成的250个数据个数据如下如下AR(2)过程趋势图和自相关图过程趋势图和自相关图-6-4-2024682848688909294969800例例2.模拟生成的模拟生成的AR(2)过程趋势图过程趋势图例例2.模拟生成的模拟生成的AR(2)过程过程自相关图自相关图呈混合指数衰减滞后二阶以后截尾例例3，下面两图表分别是模拟生成的，下面两图表分别是模拟生成的250个数据个数据如下如下AR(2)过程趋势图和自相关图过程趋势图和自相关图-4-202482848688909294969800模拟生成的模拟生成的AR(2)过程趋势图过程趋势图模拟生成的模拟生成的AR(2)过程自相关图过程自相关图呈阻尼正弦波衰减滞后二阶以后截尾三、p阶自回归过程AR(p)的性质二阶自回归模型的形式为：或返回本节首页下一页上一页B.平稳性：为满足平稳性， 的根必须在单位圆外.1、平稳性和可逆性A.可逆性：ar(p)模型总是可逆的。

即如果β1，β2，…，βp是 的根，那么它们的绝对值|βi|>1其实也就是要求特征方程的特征根都在单位圆内即如果λ1，λ2…λp是上述特征方程的p个特征根，那么为满足平稳性条件，必须有|λi|<1注：下面对注：下面对AR(p)性质的讨论，都假定性质的讨论，都假定平稳性条件满足平稳性条件满足对于高阶的自回归过程，其平稳性条件用其模型参数表示虽比较复杂，但都有最基本的一点：这是自回归过程平稳的必要条件之一2.AR(p)的自相关函数ACF通过上述推导有如下结论：通过上述推导有如下结论：对于平稳过程，有对于平稳过程，有 |λi|<1，，AR(p)过程过程的的ACF是由差分方程是由差分方程的根确定的，呈混合指数衰减或出现复根的根确定的，呈混合指数衰减或出现复根时的阻尼正弦波衰减时的阻尼正弦波衰减3.AR(p)过程的偏自相关函数PACF可以很容易地看出，当k>p时，上式分母行列式最后列是同一矩阵前面各列的线性组合于是当k>p时,有φkk=0所以，所以， AR(p)过程过程的偏自相关函数的偏自相关函数(PACF)滞滞后后p阶截尾第二节 移动平均过程的性质一、一阶移动平均过程MA(1)的性质二、二阶移动平均过程MA(2)的性质三、q阶移动平均过程MA(q)的性质返回本节首页下一页上一页一、一阶移动平均过程MA(1)的性质一阶移动平均模型MA(1)的形式为：其中：xt为零均值平稳序列，at为零均值的白噪声。

返回本节首页下一页上一页1.MA(1)过程的平稳性和可逆性A.平稳性：AR(1)过程总是平稳的B.可逆性：为满足可逆性，θ(B)=1－－θ1B=0 的根的根必须在单位圆外必须在单位圆外注：以后对注：以后对MA(1)过程性质的讨论中，过程性质的讨论中，都假定可逆性条件满足，即有：都假定可逆性条件满足，即有：|θ1|<12.MA(1)过程的自相关函数ACF3.MA(1)过程的自相关函数PACF在第二章我们介绍了求偏自相关的递推公式如下：由上推导可得出如下结论：在可逆性条件满足情况下,MA(1)过程的PACF呈指数拖尾如果θ1>0,那么PACF都为负，且呈指数衰减；如果θ1<0,那么PACF正负交替呈指数衰减例1：模拟产生的250个数据的如下MA(1)过程的趋势图和自相关图：Xt=at－0.85at-1 =(1－0.85B) at其中θ1=0.85>0at为白噪声滞后一阶截尾呈负指数衰减例2：模拟产生的250个数据的如下MA(1)过程的趋势图和自相关图：Xt=at－ (－0.85)at-1 =(1－(－0.85)B) at其中θ1=－0.85<0呈正负交替指数衰减滞后一阶截尾二、二阶移动平均过程MA(2)的性质二阶移动平均模型MA(2)的形式为：其中：xt为零均值平稳序列，at为零均值的白噪声。

返回本节首页下一页上一页1.MA(2)过程的平稳性和可逆性A.平稳性：AR(2)过程总是平稳的B.可逆性：为满足可逆性, 的根必须在单位圆外2.MA(2)过程的自相关函数ACF2.MA(2)过程的偏自相关函数(PACF)对于MA(2)过程，我们有如下结论：如果其特征方程:1－θ1B－θ2B2=0 的根是实数，则φkk是两个衰减指数的和；如果其根是复数，则φkk 是一衰减的正弦波滞后二阶截尾指数衰减(拖尾)滞后二阶截尾阻尼正弦波衰减(拖尾)三、q阶移动平均过程MA(q)性质返回本节首页下一页上一页1.平稳性和可逆性A.平稳性：有限阶移动平均过程MA(q)总是平稳的 B.可逆性：为满足可逆性，的根必须在单位圆外对于高阶的移动平均过程，其可逆性条件用其模型参数表示虽比较复杂，但都有最基本的一点：这是移动平均过程可逆的必要条件之一2.MA(q)过程的自相关函数(ACF)因而：MA(q)过程的自相关函数是滞后q阶截尾的3.MA(q)过程的偏自相关函数（PACF）要用明确的公式表示出MA(q)过程的自相关函数是很困难的，但是从前面我们对MA(1)、MA(2)的讨论中，可以看出：MA(q)过程的偏自相关函数是由的根确定的，呈混合指数衰或阻尼正弦波衰减。

的根确定的，呈混合指数衰或阻尼正弦波衰减返回本节首页下一页上一页一、 ARMA(1,1)的性质二、ARMA(p,q)过程的性质第三节 自回归移动平均ARMA(p,q)过程一、ARMA(1,1)的性质返回本节首页下一页上一页1.ARMA(1,1)过程的平稳性和可逆性2.ARMA(1,1)过程的ACF通过上式可以看出，ARMA(1,1)过程的自相关函数具有AR(1)过程和MA(1)过程的组合特性当k=1时，自相关系数由φ1和θ1共同决定当k≥2时，自相关系数仅取决于φ1即差分方程φ(B)=0的根，呈指数衰减3.ARMA(1,1)过程的PACFARMA(1,1)过程的PACF和它的ACF一样，也是呈指数衰减，不过指数衰减的形态由φ1和θ1共同决定，因此指数衰减的形态比MA(1)过程PACF指数衰减形式更多例1：模拟产生的250个数据的如下ARMA(1,1)过程的样本ACF和样本PACF：例例1.模拟生成的模拟生成的ARMA(1,1)过程的样本过程的样本ACF和样本和样本PACF指数拖尾指数拖尾例2：模拟产生的250个数据的如下ARMA(1,1)过程的样本ACF和样本PACF：例例2.模拟生成的模拟生成的ARMA(1,1)过程的样本过程的样本ACF和样本和样本PACF指数拖尾指数拖尾返回本节首页下一页上一页二、ARMA(p,q)过程的性质1.ARMA(p,q)的平稳性和可逆性2.ARMA(p,q)过程的ACF由上推导可以得出结论：ARMA(p,q)模型的自相关函数滞后滞后q阶后拖尾。

阶后拖尾当k≤q时，即前q项自相关系数ρq,ρq-1…ρ1取决于自回归和移动平均的参数当k≥q+1时，它仅取决于中自回归的参数，即φ(B)=0的根，呈指数衰减或阻尼正弦波衰减，而与移动平均的参数无关3.ARMA(p,q)过程的PACFARMA(p,q)过程的PACF的一般形式比较复杂，由于它包括MA过程这个特例，所以它的PACF也由θ(B)=0的根确定，呈混合指数衰减或阻尼正弦波衰减既然ARMA(p,q)模型的ACF和PACF都呈拖尾形态，那么我们要通过一个时间序列的样本自相关图判断ARMA模型的阶数就比较困难但是如果通过样本自相关图得到一个时间序列的ACF和PACF都呈拖尾形态，那么我们至少能判断出该过程不是纯AR或纯MA过程，而是混合ARMA过程至于模型阶数的确定，第五章将作介绍第四节 ARMA 模型的性质总结Thank you very much!。