曲线积分与曲面积分知识点.docx

第十章 曲线积分与曲面积分一、 重点两类曲面积分及两类曲面积分的计算和格林公式、高斯公式的应用二、二、 难点对曲面侧的理解，把对坐标的曲面积分化成二重积分，利用格林公式求非闭曲线上的第 二类曲线积分，及利用高斯公式计算非闭曲面上的第二类曲面积分三、三、 内容提要1． 1． 曲线(面)积分的定义：(1) (1) 第一类曲线积分J f (x, y) ds A lim X f (g，耳)AS (存在时)L illi=OAS表示第i个小弧段的长度，(g ,n )是AS上的任一点小弧段的最大长度i i i i实际意义：当f(x,y)表示L的线密度时，J f (x，y)ds表示L的质量;当f(x,y)三1时，J dsLL表示L的弧长，当f(x,y)表示位于L上的柱面在点(x,y)处的高时，J f (x, y)dsL 表示此柱面的面积 2) ( 2) 第二类曲线积分J Pdx + QdyAlim区[P(g，耳)Ax + Q(g，耳)Ay ](存在时)L ― ° i i i i li =1实际意义： » +■ —F- *■J Qdy分别L设变力F =P(x,y) i+Q(x,y) j将质点从点A沿曲线L移动到辛点，则F作的功为:W = J F - dS」Pdx + Qdy，其中 dS = (dx,dy)事实上，J Pdx，_ L L L是F在沿X轴方向及Y轴方向所作的功。

3) (3) 第一类曲面积分JJ f (x, y, z)dsAlim工 f (g，耳,匚)AS (存在时)=i i i iX i =1是 n 块小曲AS表示第i个小块曲面的面积，(g ,n ,:)为AS上的任一点，Xi i i i i面的最大直径实际意义：当f(x,y，z)表示曲面X上点(x,y,z)处的面密度时，f (x，y,z)ds表示曲面X的质量，当X f(x,y,z)三1时，“ ds表示曲面X的面积X4) (4) 第二类曲面积分,n ,匚)(AS) + q(g ,n ,匚)(AS) + R(g ,n ,匚)(as )x i=1存在时)i i i yz i i i i zx i i i i xy其中(AS ) ，(AS )，(AS )分别表示将X任意分为n块小曲面后第I块ASi yz i zx i xy i在yoz面，zox面，xoy面上的投影，dydz, dzdx，dxdy分别表示这三种投影元素; (g，n ,匚)为AS上的任一点，X是n块小曲面的最大直径i i i i实际意义： h- * r —r设变力 V(x，y,z)=P(x,y, z) i +Q(x,y,z) j + R(x,y,z) k 为通过曲面X 的流体(稳定流动且不可压缩））在丫上的点（x,y,z）处的速度。

则①=JJ VdS = JJ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy表示在单位时间内纵丫的一侧流向指定的另一侧的流量2、曲线（面）积分的性质 两类积分均有与重积分类似的性质（1） （1） 被积函数中的常数因子可提到积分号的外面（ 2） （ 2） 对积分弧段（积分曲面）都具有可加性（ 3 ） （ 3 ） 代数和的积分等与积分的代数和第二类曲线（面）积分有下面的特性，即第二类曲线（面）积分与曲线（面）方向（侧）有关J Pdx + Qdy 二-JPdx + QdyLLJJ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = - JJ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy丫 E-3、 曲线（面）积分的计算（ 1 ） （ 1 ） 曲线积分的计算a、 a、依据积分曲线L的参数方程，将被积表达式中的变量用参数表示b、 b、 第一（二）类曲线积分化为定积分时用参数的最小值（起点处的参数 值）作为积分下限（2） （2） 曲面积分的计算方法1、 1、 第一类曲面积分的计算a 将积分曲面E投向使投影面积非零的坐标面b 将 E 的方程先化成为投影面上两变量的显函数，再将此显函数代替 被积表达式中的另一变量。

C 将ds换成投影面上用直角坐标系中面积元素表示的曲面面积元素2、 2、 第二类曲面积分的计算a 将积分曲面E投向指定的坐标面b 同 1c 依E的指定的侧决定二重积分前的“+”或“-”4、 格林公式、高斯公式和斯托克斯公式（ 1 ） （ 1 ） 格林公式）dxdyJ Pdx + Qdy =L其中P、Q在闭区域D上有一阶连续偏导数，L是D的正向边界曲线若闭区域 D为复连通闭区域，P、Q在D上有一阶连续偏导数，则U （阻-竺）dxdy =工 J Pdx + Qdydx By L・D i=1 1其中L.（=1，2……n）均是D的正向边界曲线i（ 2） （ 2） 高斯公式Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = JJJ + 竺 + 週）dxdydzBx By BzQ其中P、Q、R在闭区域Q上有一阶连续偏导数，E是Q的边界曲面的外侧（3）（3）斯托克斯公式dydzdzdxdxdyBBB=J Pdx + Qdy + RdzBxByBzrPQR其中P、Q、R在包含曲面E在内的空间区域内具有一阶连续偏导数，E是以r为边界的分片光滑曲面，r的正向与E的侧向符合右手规则5、平面上曲线积分与路径无关的条件设 P、Q 在开单连同区域 G 内有一阶连续偏导数， A、B 为 G 内任意两点，则以 下命题等价：(1) J Pdx + Qdy与路径L无关 LAB(2) 对于G内任意闭曲线L, J Pdx + Qdy二0L6Q dP(3) = 在G内处处成立ox oy(4)在G内，Pdx+Qdy为某函数U(x,y)的全微分6、通量与散度、环流量与旋度 设向量A(x, y, z)=P(x,y, z) i +Q(x,y,z) j + R(x,y,z) k■则通量(或流量)①=A - nds其中n = (cosa , cos 0 , cosY )为》上点(x,y,z)处的单位法向量。

散度OQ OP ORdiv A = 孕+=+ —对坐标的曲面积分与Y的形状无关的充要条件是散 Ox Oy OzkOOzR度为零i j旋度7 O OrotA =——Ox OyP Q环流量 向量场A沿有向闭曲线r的环流量为 J Pdx + Qdy + Rdz = J A - tdsrr四、 四、 难点解析本章中对AS在xoy面上的投影(AS)为xy” (Ac) ,cos y > 0xy(AS) = (Ac) ,cosy< 0xy xy0,cosy 三 0其中cos Y为有向曲面AS上各点处的法向量与Z轴的夹角余弦Ac )为AS在xoyxy 上投影区域的面积此规定直接决定了将一个第二类曲面积分化为二重积分时正负号的选 择，此规定貌似复杂，但其最基本的思想却非常简单：即基于用正负数来表示具有相反意义 的量比如，当温度高于零度时用正数表示，当温度低于零度使用负数表示从引进第二类 曲线积分的例子看是为了求稳定流动的不可压缩的流体流向指定侧的流量如果我们用正数 来表示流体流向指定侧的流量，很自然，当流体流向指定侧的反向时用负数表示就显得合情 合理了因此上面的规定就显得非常自然合理了五、 五、 典型例题x2 + y2 + z2 — R2<例 1、计算1 — J x 2 ds r :圆周 x+y+z — 0解：由轮换对成性，得I = J x 2 ds = J y 2 ds I = J z 2 ds =丄 J x 2 + y 2 + z 2 ds =-R 2 J ds = — n R 3r / r 33 r 3y 3 x3例2、设L： x2 + y2 = a2为成平面区域D,计算J — dx + -3dyL 3 3y 3 x 3 n 兀解：J - dx + - dy =(格林公式)JJ (x2 + y2)dxdy = 4J 2 d0 Jar2 - rdr = a4L 3 3 0 0 2例3、求JJ z2 dxdy,其中X为曲面x2 + y2 + z2 = a2的外侧。

X 1 x2+y2点击阅读更多内容