第三节函数的极限.ppt

第三节第三节 函数的极限函数的极限一、一、 函数极限的定义函数极限的定义二、二、 函数极限的性质函数极限的性质返回返回1 1、自变量趋于有限值时、自变量趋于有限值时函数的极限函数的极限 或或定义定义1 1 设函数设函数f( (x) )在点在点x0 0的某一去心邻域内有定义，如果存在的某一去心邻域内有定义，如果存在常数常数A , ,对于任意给定的正数对于任意给定的正数εε（（不论它多么小），总存在不论它多么小），总存在正数正数δδ, ,使得当使得当x 满足不等式满足不等式0<|0<|x－－x0 0|<|<δδ时，对应的函数值时，对应的函数值f( (x) )都满足不等式，都满足不等式，| | f( (x) )－－A|<|<εε那末常数那末常数A就叫做就叫做函数函数f( (x) )当当x→→x0 0时的极限时的极限，记作，记作注注1）） 语言表述语言表述 当当 时有时有 则则一、一、 函数极限的定义函数极限的定义2）） 表示表示 时时 有无极限有无极限 与与 有无定义没有关系有无定义没有关系.3）） 任意给定后，才能找到任意给定后，才能找到 ，， 依赖于依赖于 ，且，且 越小，越小， 越小越小.4）） 不唯一，也不必找最大的，只要存在即可不唯一，也不必找最大的，只要存在即可.几几何何意意义义 如如果果函函数数f(x)当当x→x0时时极极限限为为A,以以任任意意给给定定一一正正数数ε,作作两两条条平平行行于于x轴轴的的直直线线y=A+ε和和y=A-ε,存存在在点点x0的的δ邻邻域域(x0-δ, x0+δ),当当x在在邻邻域域(x0-δ, x0+δ)内内,但但x≠x0时时,曲曲线线y=f(x)上的点上的点(x,f(x))都落在两条平行线之间。

都落在两条平行线之间例例1 1证明证明 (C为常数为常数) 证证当当 时时,成立成立,例例2 2证明证明证证取取当当 时时,成立成立,证证函数在点函数在点x= =1处没有定义处没有定义. .例例3 3证明证明要使要使只要取只要取当当 时时, 就有就有证证例例4 4当当 时时,要使要使取取当当 时时, 就有就有只要只要 且不取负值且不取负值.结结论论: 函函数数f(x)当当x→x0时时极极限限存存在在的的充充分分必必要要条条件件是是左左极极限限与右极限均存在且相等，即与右极限均存在且相等，即左极限和右极限左极限和右极限当当自自变变量量x从从x0的的左左(或或右右)侧侧趋趋于于x0时时，，函函数数f(x)有有极极限限A，，则称则称A为函数为函数f(x)当当x→x0时的时的左左(右右)极限极限，记作，记作或或例例5 5 函数函数当当 时时 的极限不存在的极限不存在.证证 当当 时时 的左极限的左极限而右而右极限极限因为左极限和右极限存在但不相等因为左极限和右极限存在但不相等,所以所以 不存在不存在.yOx-11小结小结注：分段函数分点处的极限，要分别求左极限和右极限注：分段函数分点处的极限，要分别求左极限和右极限.证明函数极限不存在的方法是证明函数极限不存在的方法是: :(1)(1)证明左极限与右极限至少有一个不存在证明左极限与右极限至少有一个不存在(2)或证明左极限和右极限均存在或证明左极限和右极限均存在, 但不相等但不相等2 2、自变量趋于无穷大时函数的极限、自变量趋于无穷大时函数的极限定义定义2 2设设函函数数f( (x) )当当| |x| |大大于于某某一一正正数数时时有有定定义义. .如如果果存存在在常常数数A, , 对对于于任任意意给给定定的的正正数数εε（（不不论论它它多多么么小小）），，总总存存在在正正数数X，，使使得得当当x满满足足不不等等式式| |x|>|>X时时，，对对应应的的函函数数值值f( (x) )都都满满足足不不等等式式 | |f( (x) )－－A|<ε, |<ε, 那那么么常常数数A就就叫叫做做函函数数f( (x) )当当x→∞→∞时时的的极极限限，，记记作作或或注注1）） 语言表述语言表述 当当 时有时有 则则2）） 的方式有两种可能：的方式有两种可能： （（ 且无限增大）且无限增大）当当 时有时有 则则（（ 且无限增大）且无限增大）则则当当 时有时有 3））且且若若 或或 不存在不存在,则则 不存在不存在.若若 , 则则 不存在不存在.如如果果函函数数f( (x) )当当x→∞→∞时时极极限限为为A，，以以任任意意给给定定一一正正数数εε, ,作作两两条条平平行行于于x轴轴的的直直线线y= =A- -ε和和y= =A+ +εε, ,则则总总存存在在一一个个正正数数X，，使使得得当当x< <－－X或或x> >X时时，，函函数数y= =f( (x) )的的图图形形位位于于这这两两条条直直线线之间之间. .几何意义几何意义例例6 证明证明因这个不等式相当于因这个不等式相当于 或或由此可知由此可知,如果取如果取那么当那么当 时时,不等式不等式成立成立,证毕证毕.直线直线 y=0是函数是函数 的图形的水平渐近线的图形的水平渐近线. 证证 要证要证当当 时时,不等式不等式成立成立.一般地说一般地说, 如果如果 , 则直线则直线y=c 是函数是函数的图形的水平渐近线的图形的水平渐近线.返回返回二、函数极限的性质二、函数极限的性质定理定理1 1 （（函数极限的函数极限的唯一性）唯一性）函数函数f( (x) )当当x→→x0 0时极限存在，则极限必唯一时极限存在，则极限必唯一. .定定理理2 2 （（函函数数极极限限的的局局部部有有界界性性））如如果果 则则存存常常数数M >0和和δδ>0, 使使得得当当 时时, ,有有| |f( (x)|≤)|≤M. .证证 因为因为所以取所以取则则当当 时时, ,有有记记则则定理定理2获得证明获得证明.定理定理3 3 ( (函数极限的局部保号性函数极限的局部保号性) )定理定理3ˊ3ˊ某一去心邻域某一去心邻域 ，当，当x∈∈ 时，就有时，就有如果如果，那末就存在着，那末就存在着x0的的如果如果, ,而且而且A>0(>0(或或A<0),<0),那么那么就存在常数就存在常数 , ,使得当使得当 时，有时，有f( (x)>0)>0（（或或f( (x)<0 )<0 ））. .证证: 就就A>0>0的的情形证明情形证明. .取取则则当当 时时, ,有有推论推论: : 如果在如果在x0的某一去心邻域内的某一去心邻域内f(x)≥0（（或或f(x)≤0），）， 而且而且，那么，那么A≥0≥0（（或或A ≤0 ≤0 ））定理定理4 (函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系) 如果极限如果极限 存存在在, 为函数为函数f(x)的的定义域内任一收敛于定义域内任一收敛于 的数列的数列, 且且满足满足: ,那么相应的函数值数列那么相应的函数值数列 必必收敛收敛, 且且 证证 设设, 则则当当 时时,有有故对故对又因又因当当 时时,有有由由假设假设,故故当当 时时,从而从而即即返回返回。