数学平面向量多选题(讲义及答案)及解析.doc
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2 3 数学平面向量多选题(讲义及答案 )及解析一、平面向量多选题1．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被 称为欧拉线定理.设点 O ､ G ､ H 分别是 ABC 的外心､重心､垂心，且 M 为 BC 的中点， 则（ ）A． GA +GB +GC =0B． AB +AC =2 HM -4 MOC．AH =3OMD．OA = OB = OC【答案】ABD【分析】1 2向量的线性运算结果仍为向量可判断选项 A；由 GO = HG 可得 HG = HO ，利用向量2 3的线性运算 AB +AC =2 AM =6GM =6 (HM-HG )，再结合HO =HM +MO 集合判断选项 B；利用 AH =AG -HG =2GM -2GO =2OM 故选项 C 不正确，利用外心的 性质可判断选项 D，即可得正确选项.【详解】因为 G是 ABC的重心，O是 ABC的外心， H 是 ABC的垂心，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，所以GO =12HG，对于选项 A：因为G是ABC的重心， M 为BC的中点，所以 AG =2GM ，又因为 GB +GC =2GM ，所以 GB +GC =AG ，即 GA +GB +GC =0 ，故选项 A 正 确；对于选项 B：因为 G 是 ABC 的重心， M 为 BC 的中点，所以 AG =2GM ，AM =3GM ，因为GO =1 2 HG ，所以 HG = HO2 3，AB +AC =2 AM =6GM =6 (HM-HG )=6æçHM-HO ö÷è ø=6 HM -4 HO =6 HM -4 (HM+MO )=2HM -4 MO 故选项 B 正确；，即 AB +AC =2 HM -4 MO，对于选项 C： AH =AG -HG =2GM -2GO =2OM ，故选项 C 不正确；对于选项 D：设点 O 是 ABC的外心，所以点 O 到三个顶点距离相等，即OA = OB = OC，故选项 D 正确；故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用已知条件GO =1 2 HG 得 HG = HO2 3，利用向量的线性运算结合 AG =2GM 可得出向量间的关系.2．已知 ABC是边长为 2 的等边三角形，D，E 分别是AC, AB上的点，且 AE =EB ，AD =2 DC， BD 与CE交于点 O，则（ ）A． OC +EO =0B． AB ×CE =0C．OA +OB +OC +OD =3D． ED 在 BC 方向上的投影为76【答案】BD【分析】可证明 EO =CE ，结合平面向量线性运算法则可判断 A；由 AB ^CE 结合平面向量数量 积的定义可判断 B；建立直角坐标系，由平面向量线性运算及模的坐标表示可判断 C；由 投影的计算公式可判断 D.【详解】因为 ABC 是边长为 2 的等边三角形， AE =EB，所以 E 为 AB 的中点，且 CE ^ AB ，以 E 为原点如图建立直角坐标系，则E (0,0)，A(-1,0)，B(10,)，C (0,3 )，ç ÷ çè ø è÷ ç ÷2 ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷ 2 2 2 3 6ç ÷ 3 3æ ö ( ) 1 2 3ç ÷ 3 3由 AD =2 DC可得AD =2 æ2 2 3 ö æ 1 2 3 AC =ç , ÷，则 D ç- ,3 3 3 3 3ö÷，ø取 BD 的中点 G，连接 GE ，易得 GE / / AD 且 GE =12AD =DC，æ 3 ö所以 CDO ≌ △EGO ， EO =CO ，则 O ç0, ÷，è ø对于 A， OC +EO =EC ¹0 ，故 A 错误；对于 B，由 AB ^CE 可得 AB ×CE =0 ，故 B 正确；æ 3 ö æ 3 ö æ 3 ö æ 1 3 ö对于 C， OA =ç-1,- ÷，OB =ç1,- ÷，OC =ç0, ÷，OD =ç-, ÷，è ø è ø è ø è ø所以OA +OB +OC +OD =æ 1 3 öç- , - ÷，所以 è øOA +OB +OC +OD =23，故 C 错误；对于 D，BC = -1, 3 ， ED =ç-, ÷，è ø所以 ED在 BC 方向上的投影为BC ×EDBC=13+27=2 6，故 D 正确.故选：BD.【点睛】关键点点睛：建立合理的平面直角坐标系是解题关键.3．设 a ， b ， c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有 （ ）A． a ×c-b×c=(a-b)×cB．(b×c)×a-(c×a)×b与 c 不垂直C．D．a -b < a -b(3a+2b)×(3a-2b)=9a2-4b2【答案】ACD【分析】A，由平面向量数量积的运算律可判断；B，由平面向量垂直的条件、数量积的运算律可判断；C，由 a 与 b 不共线，可分两类考虑：①若 a £ b ，则 a -b < a -b显然成立；②若 a > b ，由 a 、 b 、 a -b 构成三角形的三边可进行判断；D，由平面向量的混合运算将式子进行展开即可得解.【详解】选项 A，由平面向量数量积的运算律，可知 A 正确；选项 B，é(b×c)×a-(c×a)×bù×c=(b×c)×a×c-(c×a)×b×c=(b×c)×(a×c)-(b×c)×(c×a)=0 ë û( ) ( )∴ b ×c ×a- c ×a ×b与 c 垂直，即 B 错误；选项 C，∵ a 与 b 不共线，，∴ 若 a £ b ，则 a -b < a -b显然成立；若 a > b ，由平面向量的减法法则可作出如下图形：由三角形两边之差小于第三边，可得a -b < a -b.故 C 正确；选项 D，(3a+2b)×(3a-2b)=9a2-6a×b+6a×b-4b2=9a2 -4 b 2，即 D 正确.故选：ACD【点睛】本小题主要考查向量运算，属于中档题.4．已知向量 a =(4,3 k )k =0A．若 a ^b ，则， b =(4 k ,3)，则（ ）B．若 a / / b ，则k =1C．若 a >b ，则k <1D．若a +b =a -b，则 a ^b【答案】AD 【分析】先根据 a ^b 建立方程 4 ´4 k +3k ´3 =0解得k =0，判断选项 A 正确；再根据 a / / b ，建立方程(4,3 k ) =l(4 k ,3)解得 k =±1，判断选项 B 错误；接着根据 a >b 建立不等式42 +(3k ) 2 > (4 k ) 2 +32 解得 -1
