图形的平移和旋转讲义.doc

第十六讲图形的平移和旋转一、课标下复习指南(一)平移变换1．平移的观点平面内将一个图形沿某个方向挪动必定的距离，这种图形变换称为平移．注：平移变换的两个因素：挪动的方向和距离．2．平移的性质(1) 平移前后的图形全等；(2) 对应线段平行(或共线)且相等；(3) 对应点所连的线段平行(或共线)且相等．3．平移变换的作图如图16－1所示，将△ABC平移至△A′B′C′，则有AA′∥BB′，且AA′＝BB′；BB′与CC′共线，且BB′＝CC′．图16－1说明我们能够依据平移的方向和距离作出平移后的图形；反之，能够依据平移前后的图形，得悉平移的方向和距离．4．用坐标表示平移(1)点(x，y)点(x＋a，y)或(x－a，y)；(2)点(x，)(，＋)或(x，－)．yxybyb(二)轴对称变换1．轴对称的观点把一个图形沿一条直线翻折过去，假如它能与另一个图形重合，那么这两个图形对于这条直线对称或轴对称．这条直线就是对称轴．两个图形中的对应点(即两图形重合时相互重合的点)叫做对称点．2．轴对称的性质(1) 对于某条直线对称的两个图形全等；(2) 对称点所连的线段被对称轴垂直均分；(3) 对应线段所在直线若订交，则交点在对称轴上．3．轴对称变换的作图如图16－2，若△ABC与△A′B′C′对于直线l对称，则有△ABC≌△A′B′C′；AA′，BB′，CC′都被直线l垂直均分．图 16－2说明我们能够依据对称轴作出一个图形的轴对称图形；反之，能够依据两个成轴对称关系的图形，得出对称轴．4．轴对称图形假如把一个图形沿一条直线对折，对折的两部分能够完整重合，那么就称这个图形为轴对称图形，这条直线就是这个轴对称图形的对称轴．注：一个图形的对称轴能够有1条，也能够有多条．5．轴对称与轴对称图形的差别与联系轴对称差别轴对称是联系若把轴对称的两指两个图形的个图形看成一个(整对称关系体)图形，则成为轴对轴对称图称图形；若把轴对称图轴对称形是指拥有某形的相互对称的两个图形种对称特征的部分当作两个图形，则一个图形它们成轴对称6．用坐标表示轴对称点 (x，y)对于x轴对称的点为(x，－y)；点 (x，y)对于y轴对称的点为(－x，y)；点 (x，y)对于直线y＝x对称的点为(y，x)；点 (x，y)对于直线y＝－x对称的点为(－y，－x)；* 点(x，y)对于直线x＝m对称的点为(2m－x，y)；* 点(x，y)对于直线y＝n对称的点为(x，2n－y)．(三)旋转变换1．旋转的观点在平面内，将一个图形绕一个定点O沿某个方向(逆时针或顺时针)转动必定的角度，这样的图形变换叫做旋转．这个定点O叫做旋转中心，转动的角称为旋转角．注：旋转变换的三因素：旋转中心、旋转方向和旋转角．2．旋转的性质(1) 旋转前后的图形全等；(2) 对应点到旋转中心的距离相等(意味着：即旋转中心在对应点所连线段的垂直均分线上 )；(3) 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；*(4)对应线段所在直线的夹角等于旋转角．3．旋转变换的作图(1) 明确旋转中心、旋转方向和旋转角，找出能确立原图形的重点点；(2) 将能确立原图形的重点点(多边形一般为每个极点)与旋转中心连结，并将线段按要求进行旋转，获得这些重点点的对应点；(3) 按原图形极点的次序按序连结这些对应点，获得旋转后的图形．说明依据旋转前后的图形能够确立旋转中心、旋转方向和旋转角．*4．旋转对称图形假如某图形绕着某必定点转动必定角度(小于360°)后能与自己重合，那么这种图形就叫做旋转对称图形．5．中心对称把一个图形绕着某个定点旋转180°，假如它能和另一个图形重合，那么这两个图形对于这个定点对称或中心对称．这个定点叫做对称中心，两个图形中对应点叫做对于对称中心的对称点．6．中心对称的性质中心对称是一种特别的旋转，所以它拥有旋转的全部性质．此外，它还有自己特别的性质：(1) 对称点的连线都经过对称中心，而且被对称中心均分，即对称中心是两个对称点所连线段的中点；(2) 对应线段平行或共线．7．中心对称的作图如图16－3，若△与△′′′对于点O中心对称，则对称中心O是线段′、ABCABCAABB′、CC′共同的中点，且AB∥A′B′，AB＝A′B′，BC∥B′C′，BC＝B′C′，CA∥C′A′，CA＝C′A′．图 16－3说明我们能够依据对称中心作出一个图形的中心对称图形；反之，能够依据两个成中心对称关系的图形，得出对称中心．8．中心对称图形一个图形绕着一个定点旋转180°后能与自己重合，这种图形称为中心对称图形．这个定点叫做该图形的对称中心．* 中心对称图形是一个特别的旋转对称图形(旋转角等于180°)．9．中心对称与中心对称图形的差别与联系差别联系中心对称把中心对称的两个中心是指两个图形图形当作一个(整体)图对称的对称关系形，则称为中心对称图中心对称形；把中心对称图形的中心对图形是指拥有相互对称的两个部分看称图形某种对称特征成两个图形，则它们成的一个图形中心对称10．对于原点对称的点的坐标点(x，y)对于原点对称的点的坐标为(－x，－y)．二、例题剖析例1在平面直角坐标系中，Rt△AOB的两条直角边OA，OB分别在x轴的负半轴，y轴的负半轴上，且OA＝2，OB＝1．将△AOB绕点O按顺时针方向旋转90°，再把所得的图形沿 x轴正方向平移1个单位长度，获得△CDO．(1) 在座标系中，分别画出△AOB和△COD，并写出点A，C的坐标；(2) 求点A和点C之间的距离；(3) 求点A到点C所经过的路线的长度．解 (1)所画出的△AOB和△COD如图16－4所示，点A的坐标是(－2，0)，点C的坐标是 (1，2)．图 16－4(2) 连结AC．在 Rt△ACD中，AD＝OA＋OD＝3，CD＝2，ACCD2AD213.(3)点A到点C所经过的路线的长度是90πOA1π1.说明(1)180正确画出图形经过几何变换后所获得的图形，是考察我们对观点的理解和空间想象力的详细表现．想想，△AOB可否先进行平移、再经过旋转，获得△CDO?假如能够，请用正确的术语写出这个变换的过程______．(2) 请注意第(2)、(3)小题的差别．例2如图16－5，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点B′处，点A落在点A′处，折痕分别交AD，BC于E，F．图 16－5(1) 求证：B′E＝BF；(2) 设AE＝a，AB＝b，BF＝c，试猜想以a，b，c为边的三角形的形状，并赐予证明．剖析折叠过程表现了轴对称，由轴对称性质可知，B′F＝BF，∠BFE＝∠B′FE，而∠BFE＝∠B′EF，故有B′E＝B′F＝BF．解(1)证明：由题意，可得B′F＝BF，∠BFE＝∠B′FE．在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠B′EF＝∠BFE＝∠B′FE．∴ B′E＝B′F＝BF(2) 解：以a，b，c为边能够组成直角三角形．证明：如图16－6，连结BE，则BE＝B′E．图 16－6由(1)知，′＝＝，BEBFc222222∴a＋b＝AE＋AB＝BE＝c．∴以a，b，c为边组成的三角形是直角三角形．例 3如图16－7，某人有一块平行四边形的土地，地里有一个圆形池塘，这人立下遗言：要把这块土地均分给他的两个儿子，中间的池塘也要同时均分，但不知怎样去做．你能想个方法吗?图 16－7剖析这个图形其实是由两此中心对称图形组合而成，要想将其面积均分，只需找一条直线，使其既能均分平行四边形的面积，又能均分圆的面积即可．解连结平行四边形的两条对角线，其交点A就是平行四边形的中心，而圆的圆心B就是圆的中心，所以直线AB就能将土地与池塘的面积同时均分了．说明本题能够推行．(1) 因为经过中心对称图形的对称中心的直线都能够均分该图形的面积，所以只需地和池塘都是中心对称图形，过两个对称中心的直线即可同时均分它们的面积．(2) 一些非中心对称的图形内部也存在这样的点，使得过该点有无数条直线均分该图形的面积．比方梯形，过梯形中位线的中点，且与梯形上、下两底均订交的直线均均分该梯形的面积．请思虑：如图16－8，五边形ABCDE中，AB∥CD，AE∥BC，你能找到多少条均分该五边形的面积的直线呢?图 16－8例 4已知△ABC中，AB＞AC，AD为△ABC的角均分线，P为线段AD上一点，分别连结BP和CP，试判断AB－AC和BP－CP的大小关系，并说明原因．剖析AB和AC不共线，BP和CP也不共线，即不是同一个三角形的两条边，要想结构它们的差，能够试试经过图形变换把它们集中到一条直线上(或集中到一个三角形的三边上)，进而获得线段差(或便于利用三角形的三边关系)．此外，已知中有“AD为△ABC的角均分线”，所以能够利用角均分线的特色作轴对称变换．这样几个重点的线段就都集中了．解如图16－9，在AB上截取AC′＝AC，连结PC′，图 16－9则有AB－AC＝AB－AC′＝BC′．∵ AD均分∠BAC，∴∠C'AP＝∠CAP．又 AC′＝AC，AP＝AP，∴△APC′≌△APC(SAS)．∴C′P＝CP．①若点P与A重合，则BP＝AB，C′P＝CP＝AC．∴ BP－CP＝AB－AC．②若点P与A不重合，则在△BC′P中，BP－C′P＜BC′．即BP－CP＜AB－AC′＝AB－ AC．综上所述，AB－AC≥BP－CP．例5如图16－10，P是矩形内一点，已知PA＝3，PB＝4，PC＝5，求PD的长．图 16－10剖析如图16－10，考虑经过平移将四条线段PA，PB，PC，PD集中到一起，组成一个关闭图形(四边形)．再考虑到题目中有垂直的条件，在平移后保持不变，于是可能运用勾股定理求出PD的长．解如图16－11，分别过P，D作AD，AP的平行线，交于点P′，则四边形APP′D为平行四边形．图 16－11∴ PP′∥AD∥BC，。