金融数学第5节期权定价的离散模型二叉树课件.ppt

第五章,期权定价的离散模型 二叉树模型,1. CRR模型,Cox,Ross,Rubinstein,,,,风险中性概率,,同S0无关,V0 = erT (q U + (1 q) D),看涨期权执行价为K：假设Sd < K < Su,U = Su K = u S0 K D = 0,C0 = erT (q u S0 K q),如果 K Su?,看跌期权执行价为K：假设Sd < K < Su,U = 0 D = K Su = K d S0,P0 = erT (K(1 q) (1 q)d S0),因此 C0 P0 = S0 K erT,q u + (1 q)d = erT,2. 看涨看跌期权平价公式,看涨看跌期权平价公式(call-put parity) Ct + K er(Tt) = Pt + St,证明：在t = 0建立两个投资组合 F1 = C0 + K erT F2 = P0 + S0,这代表什么意思？,对欧式期权都满足,在到期t = T 如果S(T) K F1(T) = S(T) K + K = S(T) F2(T) = 0 + S(T) = S(T) 如果S(T) K F1(T) = 0 + K = K F2(T) = K S(T) + S(T) = K,因此F1(T) = F2(T) 所以F1(t) = F2(t),如果Ct + K er(Tt) Pt + St 怎样套利？,如果Ct + K er(Tt) < Pt + St 怎样套利？,3. 后向推导法,股票价格二叉树模型,,,这里p是实际股票上升的概率,因此(q = 1 p) ES1 = p uS0 + q dS0 = (pu + qd) S0,,,,,,,,,,,,,,,多时期,概率,因此,一般,简化股票二叉树,,,,,,,,,,,,,p3,3p2q,3pq2,q3,概率,n期价格是ukdnk S0的概率 = Cnk pkqnk,欧式看涨期权的二叉树定价,假设 S0 = 10 K = 10.5 u = 1.1 d = 0.9 r = 0.05,期权在t = 3 年到期,,,,,,,,,,,,,10.0,11.0,13.31,10.89,8.91,7.29,8.1,9.9,12.1,9.0,u = 1.1, d = 0.9,股票价格二叉树,t = 1,t = 2,t = 3,在一个典型的分叉,,,q,1 q,我们有,风险中性概率,q = 0.7564,,,,,,,,,,,,,2.81,0.39,0,0,0,2.112,0.281,1.585,0.202,1.187,期权价格二叉树,另一种计算方法,期望值 EVT = 1.37914,V0 = erT EVT = 1.1869,r = 0.05,T = 3,,,美式看跌期权的二叉树定价,假设 S0 = 10 K = 10 u = 1.1 d = 0.9 r = 0.05,期权在t = 3 年到期,股票数据同上例一样 风险中性概率 q = 0.7564,,,,,,,,,,,,,10.0,11.0,13.31,10.89,8.91,7.29,8.1,9.9,12.1,9.0,u = 1.1, d = 0.9,股票价格二叉树,t = 1,t = 2,t = 3,期权价格二叉树,,,,,,,,,,,,,0,0,1.09 = 10 8.91,2.71 = 10 7.29,,,q,1 q,在一个典型的分叉,q = 0.7564, 1 q = 0.2436,x = e 0.05 (0.75641.09 + 0.24362.71) = 1.412,执行期权能得到的收益 收益 = 10 8.1 = 1.9,,,期权价格二叉树,,,,,,,,,,,,,0,0,1.09,2.71,x = e 0.05 (0.75640 + 0.24361.09) = 0.253,提前执行 = 10 9.9 = 0.1,x = e 0.05 (0.75640 + 0.24360) = 0,提前执行 = 0,期权价格二叉树,,,,,,,,,,,,,0,0,1.09,2.71,,,q,1 - q,0.253,0,x = e 0.05 (0.75640 + 0.24360.253) = 0.059,提前执行 = 0,x = e 0.05 (0.75640.253 + 0.24361.9) =0. 622,提前执行 = 1,期权价格二叉树,,,,,,,,,,,,,0,0,1.09,2.71,回望期权的二叉树定价 回望期权：到期日可以得到整个时期最高的股票价格。

假设 S0 = 10 u = 1.2 d = 0.9 r = 0.05,期权在t = 3 月到期,风险中性概率,q = (e0.05/12 0.9)/(1.2 0.9) = 0.34725,,,,,,,,,,,,,10,12,17.28,12.96,9.72,7.29,8.1,10.8,14.4,9,uuu 17.28,,,,股票价格二叉树,,,,,,,,,,,,,10,12,17.28,12.96,9.72,7.29,8.1,10.8,14.4,9,uuu 17.28,uud 14.4,,,,股票价格二叉树,,,,,,,,,,,,,10,12,17.28,12.96,9.72,7.29,8.1,10.8,14.4,9,uuu 17.28,uud 14.4,udu 12.96,,,,股票价格二叉树,,,,,,,,,,,,,10,12,17.28,12.96,9.72,7.29,8.1,10.8,14.4,9,uuu 17.28,uud 14.4,udu 12.96,,,,duu 12.96,股票价格二叉树,,,,,,,,,,,,,10,12,17.28,12.96,9.72,7.29,8.1,10.8,14.4,9,uuu 17.28,uud 14.4,udu 12.96,,,duu 12.96,,udd 12.0,股票价格二叉树,,,,,,,,,,,,,10,12,17.28,12.96,9.72,72.9,8.1,10.8,14.4,9,uuu 17.28,uud 14.4,udu 12.96,,,duu 12.96,,udd 12.0,dud 10.8,股票价格二叉树,,,,,,,,,,,,,10,12,17.28,12.96,9.72,7.29,8.1,10.8,14.4,9,uuu 17.28,uud 14.4,udu 12.96,,,duu 12.96,,udd 12.0,dud 10.8,ddu 10.0,股票价格二叉树,,,,,,,,,,,,,10,12,17.28,12.96,9.72,7.29,8.1,10.8,14.4,9,uuu 17.28,uud 14.4,udu 12.96,,duu 12.96,,udd 12.0,dud 10.8,ddu 10.0,,ddd 10.0,股票价格二叉树,回望期权在t = 3时的期望值 EV3 = 11.53.,因此 V0 = e0.053/1211.53 = 11.39,这种计算有什么不足？ 当n很大时，需要计算2n条路径。

怎样从股票实际数据中得到二叉树的信息？,股票价格是一个随机变量 在时间段t内，股票的相对收益率 (S S0)/S0,股票的漂移系数m: m t = ES/S0 1,因此 1 + m t = ES/S0,波动率系数s: s2 t = D(S/S0 1) = D(S/S0),,,因此 ES/S0 = pu + (1 p)d DS/S0 = p(1 p)(u d)2 所以 1 + m Dt = pu + (1 p)d s2 Dt = p(1 p)(u d)2,Hull-White 算法 1. 从实际股票的m和s计算 u, d, p: 取 p = , 所以 因此,2. 从实际股票价格估计m和s,如果每隔时间段Dt的股票价格分别为 S0, S1, , Sn 则 Xk = Sk/Sk1, k = 1, , n 是S/S0在时间段Dt的独立样本,因此,均值,方差,例：某股票五月的价格,如果二叉树时间段Dt = 1天，那么,从现在股票价格S0 = 27.25就可以构建股票二叉树,因为时间段Dt = 1天，所以 m = 0.992 1 = 0.008, s = 0.033,如果二叉树时间段Dt = 7天，则,如果二叉树时间段是两周？一个月？,CIR 算法,计算m和s: m Dt = Eln(S/S0) s2 Dt = Dln(S/S0),取上涨与下跌比例分别为,讨论问题 要求制作PPT讲解 选择一段时间实际股票价格计算m和s Hull-White、CIR 选择期权的到期时间，对应的利率 选择阶段数，用二叉树计算各种期权价格 欧式、美式、看涨、看跌 分析结果是否合理,至少三个月,,一个月、三个月、六个月？,,存款、国债？,,六个阶段以上,,查找它们的关系,信计091： 股票：工商银行，执行价：4.50元 信计092: 股票：中国石油，执行价：9.75元 信计093： 股票：中国银行，执行价：3.00元 信计094： 股票：中国石化，执行价：7.25元,。