问题01 数集与点集的运算一、考情分析集合是高考数学必考内容,一般作为容易题.给定集合来判定集合间的关系、集合的交、并、补运算是考查的主要形式,常与函数的定义域、值域、不等式(方程)的解集相结合,在知识交汇处命题,以选择题为主,多出现在试卷的前3题中．二、经验分享(1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型的集合；如下面几个集合请注意其区别：①；②；③；④.(2)二元方程的解集可以用点集形式表示,如二元方程的整数解集可表示为.(3)集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．(4)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系.(5)一般来讲,集合中的元素若是离散的,则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数,则用数轴表示,此时要注意端点的情况．(6)解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点：①紧扣新定义．首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；②用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的运算与性质．三、知识拓展1．若有限集A中有n个元素,则集合A的子集个数为2n,真子集的个数为2n－1.2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B .3．奇数集：.4. 数集运算的封闭性,高考多次考查,基础知识如下:若从某个非空数集中任选两个元素(同一元素可重复选出),选出的这两个元素通过某种(或几种)运算后的得数仍是该数集中的元素,那么,就说该集合对于这种(或几种)运算是封闭的.自然数集N对加法运算是封闭的;整数集Z对加、减、乘法运算是封闭的.有理数集、复数集对四则运算是封闭的.对加、减、乘运算封闭的数集叫数环,有限数集{0}就是一个数环,叫零环.设F是由一些数所构成的集合,其中包含0和1,如果对F中的任意两个数的和、差、积、商(除数不为0),仍是F中的数,即运算封闭,则称F为数域.四、题型分析(一)与数集有关的基本运算【例1】【2018年理新课标I卷】已知集合，则A. B. C. D. 【分析】首先利用一元二次不等式的解法，求出的解集，从而求得集合A，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果.【点评】对于集合的运算,一般先把参与运算的集合化简,解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果，要注意端点值的取舍．【小试牛刀】【2017全国1理1】已知集合,,则（ ）.A. B. C. D. 【答案】A【解析】,,所以,.故选A.(二)与点集有关的基本运算【例2】已知,则（ ）A．－2 B．－6 C．2 D．一2或－6【分析】首先分析集合是除去点的直线,集合表示过定点的直线,等价于两条直线平行或者直线过,进而列方程求的值．【解析】由若,则①：点在直线上,即；②：直线与直线平行,∴,∴或.【点评】分析集合元素的构成,将集合运算的结果翻译到两条直线的位置关系是解题关键．【小试牛刀】【2018年理数全国卷II】已知集合，则中元素的个数为A. 9 B. 8 C. 5 D. 4【答案】A【解析】，当时，；当时，；当时，；所以共有9个，选A. (三)根据数集、点集满足条件确定参数范围【例3】设常数a∈R,集合A＝{x|(x－1)(x－a)≥0},B＝{x|x≥a－1},若A∪B＝R,则a的取值范围为( )A．(－∞,2) B．(－∞,2] C．(2,＋∞) D．[2,＋∞)【分析】先得到A＝(－∞,1]∪[a,＋∞),B＝[a－1,＋∞),再根据区间端点的关系求参数范围.【点评】求解本题的关键是对a进行讨论.【小试牛刀】已知P＝{x|20且a≠1）的图象与函数y=x的图象有公共点,所以方程组： 有解,消去y得ax=x,显然x=0不是方程的ax=x解,所以存在非零常数T,使aT=T．于是对于f （x）=ax ,有f （x＋T）=ax+T = aT·ax=T·ax =T f （x）,故f （x）=ax∈M．【点评】集合与其他知识的交汇处理办法往往有两种：其一是根据函数、方程、不等式所赋予的实数的取值范围,进而利用集合的知识处理；其二是由集合的运算性质,得到具有某种性质的曲线的位置关系,进而转化为几何问题处理．【小试牛刀】在直角坐标系中,全集,集合,已知集合的补集所对应区域的对称中心为,点是线段上的动点,点是轴上的动点,则周长的最小值为（ ）A． B． C． D． 【答案】B(五)与数集、点集有关的信息迁移题【例5】若集合A具有以下性质：(Ⅰ)0∈A,1∈A；(Ⅱ)若x∈A,y∈A,则x－y∈A,且x≠0时,∈A.则称集合A是“好集”．下列命题正确的个数是( )(1)集合B＝{－1,0,1}是“好集”；(2)有理数集Q是“好集”；(3)设集合A是“好集”,若x∈A,y∈A,则x＋y∈A.A．0 B．1 C．2 D．3【分析】抓住新定义的特点,根据“好集”满足的两个性质,逐个进行验证．【解析】选C,(1)集合B不是“好集”,假设集合B是“好集”,因为－1∈B,1∈B,所以－1－1＝－2∈B,这与－2∉B矛盾．(2)有理数集Q是“好集”,因为0∈Q,1∈Q,对任意的x∈Q,y∈Q,有x－y∈Q,且x≠0时,∈Q,所以有理数集Q是“好集”．(3)因为集合A是“好集”,所以0∈A,若x∈A,y∈A,则0－y∈A,即－y∈A,所以x－(－y)∈A,即x＋y∈A. 【点评】紧扣新定义,抓住新定义的特点,把新定义叙述的问题的本质搞清楚,并能够应用到具体的解题过程中．【小试牛刀】【2017浙江温州高三模拟】已知集合,若实数,满足：对任意的,都有,则称是集合的“和谐实数对”,则以下集合中,存在“和谐实数对”的是（ ）A． B．C． D．【答案】C.【解析】分析题意可知,所有满足题意的有序实数对所构成的集合为,将其看作点的集合,为中心在原点,,,,为顶点的正方形及其内部,A,B,D选项分别表示直线,圆,双曲线,与该正方形及其内部无公共点,选项C为抛物线,有公共点,故选C.五、迁移运用1．【安徽省宿州市2018届第三次质检】已知全集，集合，集合，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A 2．【四川省成都市2018届模拟】设，则是的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由得或，作出函数和，以及的图象，如图所示，则由图象可知当时，，当时，，因为，所以 “”是“”的充分不必要条件，故选A. 点睛：本题主要考查了充分条件和必要条件的判定问题，其中正确作出相应函数的图象，利用数形结合法求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想方法的应用，以及推理与论证能力.3．【辽宁省葫芦岛市2018届第二次模拟】设集合，，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】， 的子集个数为 故选C.4．【河南省洛阳市2018届三模】设集合，，则的子集个数为（ ）A. 4 B. 8 C. 16 D. 32【答案】C 5．【安徽省皖江八校2018届联考】设集合,,若,则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】∵，∴，即，∴ ，故选B.6．【山东省济南2018届二模】设全集,集合,集合则下图中阴影部分表示的集合为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意可得：，，∴故选：D7．【安徽省江南十校2018届二模理】已知全集为，集合，，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为，，所以，即．8．【2018届四川成都高三上学期一诊模拟】已知集合若则实数的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】集合, ,则,故选D.9．【2018届安徽蒙城高三上学期“五校”联考】已知集合,若,则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 因为,且, 所以,所以,故选A.10．【2018届湖南省五市十校教研教改共同体高三12月联考】已知集合, ,则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】,选A. 11.已知集合，，则的元素个数为（ ）A． B． C． D． 【答案】B 12．设集合， ，记，则点集所表示的轨迹长度为（ ）A． B． C． D． 【答案】D【解析】由题意的圆心为，半径为1，而圆心（-3sinα，-3cosα），满足（-3sinα）2+（-3cosα）2=9，故圆心在以（0，0）圆心，半径为3的圆上，∴集合A对应的几何图形为圆x2+y2=4和x2+y2=16之间的圆环区域，13.【2017全国2理2】设集合,.若,则（）.A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意知是方程的解,代入解得,所以的解为或,从而.故选C.14．若集合,则等于（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为,所以,故选C. 15．已知集合,则集合B不可能是（ ）A． B．C． D．【答案】D【解析】,,故选D.16.已知集合M是由具有如下性质的函数组成的集合：对于函数,在定义域内存在两个变量且时有．则下列函数①；②；③；④在集合M中的个数是A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B对于③,函数在单调递增,在定义域内存在两个变量且时,在单调增区间时有,此时只须。
