第二型曲线积分与曲面积分的计算方法.docx

第二型曲线积分与曲面积分的计算方法摘 要： 本文主要利用化为参数的定积分法，格林公式，积分与路径无关的方法解答 第二型曲线积分的题目；以及利用曲面积分的联系，分面投影法，合一投影法，高斯公式解 答第二型曲面积分的题目.关键词： 曲面积分；曲线积分1引言第二型曲线积分与曲面积分是数学分析中的重要知识章节，是整本教材的 重点和难点.掌握其基本的计算方法具有很大的难度，给不少学习者带来了困难. 本文通过针对近年来考研试题中常见的第二型曲线积分与曲面积分的计算题目 进行了认真分析，并结合具体实例以及教材总结出其特点，得出具体的计算方法. 对广大学生学习第二型曲线积分与第二型曲面积分具有重要的指导意义.2 第二型曲线积分例1求I =J (ex sin y - b (x + y )Lx + ex (cos y-ax)dy ,其中a, b为正的常数，L方法一：利用格林公式法J Pdx + Qdy = 歿-空!xdy，P(x，y)，Q (x，y)以及它们的一阶偏导数(Qx Qy 丿为从点A (2a, 0)沿曲线yf '2ax-x2到点o (0, 0)的弧.Pdx + Qdy =LD在D上连续，L是域D的边界曲线，L是按正向取定的.解： 添加从点 o ( 0, 0) 沿 y=0 到 点 A( 2a,0) 的 有向直线段 L ,1I = J || (ex sin y - b (x + y ))dx +(ex cos y - ax )dylYl-J (ex sin y - b (x + y ))dx + (ex cos y - ax )dyL1记为I = I -1 ，12则由格林公式得：I =1DJ' - ¥”xdy = [ex - cos y 一 a - Cx cos y - b” dxdy=H (b 一 a )dxdy = 2 a2 (b 一 a )D其中D为L UL所围成的半圆域，直接计算I ,因为在L时，y = 0，所以dy =01 2 1因而：I =f (-bx)dx = -2a2b，从而2=I 一 I = a2 (b 一 a)+ 2a2b =122化+ 2 ]a 2b -12丿方法二：应用积分与路径无关化为参数的定积分法求解⑴若屠=譽（与路径无关的条件），则J A(xi, yi) pdx + Qdy = J xi P (x, y )dx + f yi Q (x , y )dyB(x0 ,y0 ) x0 0 y0 1(2) x “(t), y =p(t)J Pdx + Qdy = » PG(t),9(t))0' (t)+ QG(t),Q(t))®' (t)AB aa是起点 0是终点解： I =J (ex sin y-b(x+ y))dx + (ex cos y - ax)dyL=J ex sin ydx + ex cos ydy - J b(x+ y)dx + axdyLL记为I = I -1 ,12dt对于Il，积分与路径无关，所以 J ex sin ydx + ex cos ydy = e x sin y(0,0 ) = 0(2a,0)对于/，取L的参数方程F = a + aSint, t从0到"，得2 I y = a sm tJ b(x+ y)dx +axdy=J 兀(-a 2b sin t - a 2b sin t cos t - a 2b sin21 + a3 cos21 + a3 cos t》t0 11=-2a 2b -—兀 a 2 + 兀 a 32 2从而I = —+ 2 I a 2b — 12丿对于空间第二曲线一般的解题过程为： J Pdx + Qdy + Rdz L若L闭合，P,Q,R对各元偏导数连续Pdx + Qdy + Rdz =JJdydzadxPdzdx dxdya ady azQ R若 L 非闭，其参数方程为J P P(x(t), y (t), z (t))x'(t)+ Q (x(t), y (t), z (t))y'(t)+R (x(t), y (t), z (t))z'(t)]其中：x = x (t)y = y (t) a ,卩分别为L的起点，终点参数值.z = z (t)例2计算空间曲线积分I二(J(y-z)dx + (z-x)dy + (x- y)dz ,其中曲线L为圆柱面x2 + y2 = a2与平面-+ - = 1的交线(a > 0,h > 0)，从X轴正向看，ah 曲线是逆时针方向.方法一：化为参数的定积分计算，对于这种封闭的曲线要充分利用【0,2兀］上三角函数的正交性.解： 令 x =acost,y = asint ， 则z=h匚x、=h厂 a cos t、1-—1 —(a丿(a丿h (1 - cos t )dt于是 I=J <[a sin t - h (1 - cos t)] • (-a sin t)+ [h (1 - cost) =-2k a (a + h )-a cos t] a cos t + (a cos t - a sin t )• h sin t Ltdydzdzdxdxdyaaaax石azy — zz-xx—y方法二：解 ： I = JJ工=-2JJ {1,1,1}. vDxyV h 〕—,0,1 > dxdy = —2 、aJJ [ — + 1"xdy = -2k a (h + a )D3 第二型曲面积分例3计算曲面积分J! z2 + x方ydz - zdxdy ,其中工为旋转抛物面 工z = -(x2 + y2)介于平面z=0及z=1之间的部分的下侧.2方法一：利用两类曲面积分的联系JJ(P cos a+ Q cos 卩 + R cos y \s(1)其中cos a ,cos卩,cos y是有向曲面工上点(x, y，z)处的法向量的方向余弦. 解：n = {x, y1}，={cos a ,cos 卩,cosy}xyJ1 + x 2 + y 2 \：'1 + x 2 + y 2zJ1 + x 2 + y 2JJ ( 2 )JJ y2 + x址ydz-zdxdy =JJ (z 2 + x)・xX：1 + x 2 + y 2-z • 1 = dsJ1 + x 2 + y 2=JJ z2x + x2 + z =W x2 + z ds八1+x 2+y 2工卫JJDx 2 + 1 (x 22<1 + x2 + y2• J1 + x 2 + y 2 dxdyJJD+ y 2)]dxdy2 兀 dof200cos2 0 +2rdr = 8 兀方法二：分面投影法如果工由z = z(x, y)给出，则(2)JJ R (x, y, z )dxdy = ±JJ R x, y, z (x, y ) dxdy如果工由x = x(y,z)给出，则(3 )(4 )是由方程J! P (x,y, z )dydz = ±JJ P [ x (y, z),y, z ] dydzDyz如果工由y = y (z, x)给出，则JJ Q (x, y.z)dzdx = ±JJ Q [ x, y (z, x ), z Jdzdx工 Dzx等式右端的符号这样规定：如果积分曲面X所给出的曲面上(前，右)侧，应取“ + ”，否则取“一” 解: JJ^z2 + x \ydz - zdxdy = JJ(z 2 + x )dydz - JJ zdxdy+ x)dydz = JJ(z2 + x)dydz + JJ(z 2 + x )dydz为前工j(zx = x (z, y )(y = y (x, z ), z = z (x, y ))为后=Jj(z2 + $2z 一 y2 )dydz - JJ (2 - $2z 一 y2 )dydzDDyz yz=2 JJ J2z - y2 dydz = 4J2 dyJ2 J2z - y2 dz = 4兀0 *Dyz 2JJ zdxdy =-丄 JJ C + y 2 )7xdy = 一丄 J2 兀 d0 J2 r 3dr = 一4兀2 2 0 0X Dxy所以 JJC + x )ydz 一 zdxdy = 8 兀X方法三 ：合一投影法前面我们看到，按分面投影发计算曲面积分时，对不同类型的积分项 必须将曲面用不同的方程表示，然后转化为不同坐标面上的二重积分，这 种方式形式上虽然简单但计算比较繁琐.事实上，如果X的方程z = z(x,y), (x,y)e D ，( D是X在xoy面上xy xy的投影区域)，函数P,Q,R在X上连续时，则单位法向量为={cos a ,cos 卩,cos-Z -ZZ 2 + Z 2 + 1 Z 2 + Z 2 + 1x y x y1*/z 2 + Z 2 +1V x y 丿由于投影兀素 dydz = cos a ds， dzdx = cos B ds， dxdy = cos yds，于是得到dydz = cos a ds = cos y ds = dxdy = -Z dxdycosy cos y xdzdx = cos B ds = cos y ds = dxdy = -Z dxdycosy cosy y所以J] P (x, y, z)dydz+Q(x, y,z)dzdx+R(x, y,z)dxdy = ±jjb Px, y, z (x, y)]•「-Z (x, y )] + Qx, y, z (x, y )]「-Z (x, y )y+ R I" x, y, z (x, y )]}xdy= ±JJ「P・(-Z )+ Q.(-Z )+xyDxyR dxdy等式右端的符号这样确定：如果工是由方程所给出的曲面上侧，取“+”否则取“-”.当工可用显示方程y = y (z,x)或x = x(y,z)表示时，只需注意到1 -y,-y ｝或x x ｝，可得相应公式.上述方法将x y z上式中的三种类型积分转化为同一坐标面上的二重积分，故名为合一投影法.解： x 2 + y 2 ) ， s 在 xoy 面上的投影区域：D = tx, y)| x2 + y2 < 4｝,2 xy 1此时工的法向量为｛-y又工的下侧，z = x ,故由上式可得:xJjC + xlydz 一 zdxdy = \ 丄 C + y2)+x(-x)—丄 C + y 2) > dxdy)]+ y2 丿 dxdyDxy=J2 兀 dof200r 2r2 cos2 0 。