人教版高中数学必修五典型例题.docx

word格式.专业.专注高中数学必修五第一章解三角形一、基础知识【理解去记】在本章中约定用A,B,C分别表示^ABC勺三个内角，a,b,c分别表示它们所对的各边长，p为半周长1.正弦定理:| sin A sin B sin C 1 一 一推论 1： △ ABC的面积为 Saabc= —absinC2推论 2：在△ ABC中，有 bcosC+ccosB=a.c —=2R (R为△ ABC外接圆半径)1 .. 〃 一 bcsin A 21 casin B.2推论3:在△ ABC中，A+B=,解a满足asin ab sin(—,贝U a=A.a)1,由正弦函数定义,正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论先证推论,,一，1,•-一，r一BC边上的图为bsinC,所以空abc=—absinC；再证推论2,因为B+C=-A,所以sin(B+C)=sinA,即2sinBcosC+cosBsinC=sinA,两边同乘以2R得bcosC+ccosB=a;再证推论,由正弦定理—a-sinAbsinB所以sn四sinA1[cos(2阿a),即sinasin(sin(A)-a+A)-cos(只有-A+a=-a+A,所以2.余弦定理:-A)=sin(-a)sinA,等价于1[cos(-A+a)-cos(2-a-A)],等价于cos(-A+a)=cos(-a+A)，因为0<-A+a,-a+A

a=b+c-2bccosA-A-a)]=所以.222bcacosA,下面用余弦定理证明几个常用的结论2bc卜22(1)斯特瓦特定理【了解】：在4ABC中，口是BC边上任意一点，BD=p,DC=q则AE2=Jp-c-qpq.(1)【证明】因为c2=AB"=AE2+BD-2ADBDcosADB，所以同理因为所以所以c2=AD+p2-2ADpcosADB.b2=AD+q2-2ADqcosADC,ADB+ADC=,cosADB+cosADC=0qXD+pXD得qc+pb=(p+q)AD+pq(p+q)22口r2bpcq,即aD=pqpq.注：在(1)式中，若p=q,则为中线长公式AD.2b22c2a2(2)海伦公式2ABC-b2c2sin2A=—b2c244(1-cos2A)=22bc222\21(bca)1..224bc—[(b+c)-a][a-(b-c)162，]=p(p-a)(p-b)(p-c).abc这里p2所以&ABU.p(pa)(pb)(pc).二、基础例题【必会】1.面积法例1(共线关系的张角公式)如图所示,外只OQOR的长分别为sinsinu,w,v,这里sin()O点发出的三条射线满足POQa+3C(0,)，则P,QR的共线的充要条件是vQ,R共线wSAPQR0SOPRSOPQSORQ1一uvsin2sin(w(a+3)=—uwsin2a+—vwsin32)sinusin得证。

2.正弦定理的应用例2如图所示，△ABC内有一点求证：APBC=BPCA=CPAR巳使得BPC-BAC=CPA-CBA=APB-ACB【证明】过点P作PDBC,PEAC,PFP,D,B,F三组四点共圆，所以EDF=BPC+所以所以所以直径2R,例3CPA+APB=36d可得BAC+CBA+BPC-BAC=CPA-CBA=APB-AB,垂足分别为D,E,F,则P,D,C,E;P,E,A,F;PDE+PDF=PCA+PBA=BPC-BAC由题设及ACB=180ACB=60EDF=60,同理DEF=60,所以△DEF是正三角形DE=EF=DF由正弦定理，CDsinACB=APsinBAC=BPsinABC两边同日^乘以△ABC的外接圆得CPBA=APBC=BPAC,得证：如图所示，△ABC的各边分别与两圆O,0Q相切，直线GF与DE交于P,求证：PABG【证明】延长PA交GD^M,因为OGBC,C2DBC,所以只需证GMMD由正弦定理APAFPAO1AAFAO2AEAEAE所以CEAFsin(sin11)sinsinsin(2)sin另一方面,sin2GMsinsinPMMDPMsin1sinsin2GM所以MDGM所以MD即PABC,sin2sinsin1sinAF——，所以PA//O1G,AE得证。

3.一个常用的代换：在^ABC中，记点A,B,C到内切圆的切线长分别为x,y,z,则a=y+z,b=z+x,c=x+y.例4在△ABC中，求证:a(b+c-a)+b(c+a-b)+c(a+b-c)<3abc.【证明】令a=y+z,b=z+x,c=x+y,则abc=(x+y)(y+z)(z+x)8xyyz,zx=8xyz=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)=a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)-2abc.所以a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)<3abc.4.三角换元例5设a,b,cCF(，且abc+a+c=b，试求P2a212b21-2一的最大值c21【解】由题设ac入,令a=tan1aca,c=tan丫,b=tan3,贝Utan3=tan(a+丫)，P=2sin丫sin(2、-2a+y)+3C0S丫10一，，1~.2.210当且仅当a+3=—,sinr=-,即a=——,bv2,c——时，Pma)=一.23243例6在△ABC中，若a+b+c=1,求证：a2+b2+c2+4abc<—222一.22_.2一【证明】设a=sinacos3,b=cosacos3,c=sin3,30,_2因为a,b,c为三边长，所以c<-,c>|a-b|2从而0,—,所以sin23>|cos2a-cos23|.4因为1=(a+b+c)=a+b+c+2(ab+bc+ca),所以a2+b2+c2+4abc=1-2(ab+bc+ca-2abc).又ab+bc+ca-2abc=c(a+b)+ab(1-2c)=sin23cos23+sin2acos2acos43cos23=—[1-cos223+(1-cos22a)cos43cos23]22 a cos4 3 -cos2 3 )43-cos23)=-44=—+—cos23(cos43-cos44>—+—cos23(cos43-sin44LL,2221所以a+b+c+4abc<—.2三、趋近高考【必懂】A1.(全国 10 高考)在△ABC^, cos2 2b c 92c 10 , c=5,求^ ABC勺内切圆半径.bc9【解析】：=c=5,2c10，.二b=4A1cosAbc又cos2222cbcosA=c.222bca又cosA=2bc.222,bcab2bccb2+c2-a2=2b2a2+b2=c2△ABC是以角C为直角的三角形.a=+b2=31^ABC的内切圆半径r=2(b+a-c)=i.则外心位于△ ABC勺夕卜部.(全国10高考)R是△ABC勺外接圆半径，若ab<4R2cosAcosB,2【解析】：:abv4RcosAcosB由正弦定理得a=2RsinA,b=2RsinB4RsinAsinB<4R2cosAcosBcosAcosB>sinAsinBcosAcosB-sinAsinB>0cos(A+B)>0cos(A+B)=-cosC-cosC>0cosCv090°

)3a—b)sinb2Racb2R[(2,2-(2R)2]=(V3a-b).2Ra2-c2="3ab-b22ab2cosC=2C=30(2)..S=2absinC=2-RinA-RinB-sinC=R2sinAsinB[cos(A+B)-cos(A-B)][cos(A-B)+cosC.3[cos(A-B)+2]当cos(AB)=1时，S有最大值第二章数列*******毋庸置疑，数列是历年各省市解答题中必出的内容因此同学要熟练百倍!一、基础知识【理解去记】定义1数列，按顺序给出白^一列数，例如1,2,3,…，n,….数列分有穷数列和无穷数列两种，数列｛an｝的一般形式通常记作a1,a2,a3,…，an或a,a2,a3,…，an…其中a1叫做数列的首项，an是关于n的具体表达式，称为数列的通项定理1若&表示｛an｝的前n项和，则&二叫当n>1时，an=8-Sn-1.定义2等差数列，如果对任意的正整数n,都有an+1-an=d(常数)，则｛an｝称为等差数列，d叫做公差若三个数a,b,c成等差数列，即2b=a+c,则称b为a和c的等差中项，若公差为d,则a=b-d,c=b+d.定理2*****【必考】等差数列的性质：1)通项公式an=a+(n-1)d；2)前n项和公式：g=n(aan2na1n(———d；3)an-am=(n-m)d,其中n,m为正整数；4)若n+m干+q,贝Uan+am=ap+a-22q；5)对任意正整数p,q,恒有ap-aq=(p-q)(a2-ai)；6)若A,B至少有一个不为零，则｛an｝是等差数列的2充要条件是Sn=An+Bn.定义3等比数列，若对任意的正整数n,都有亘」q,则｛an｝称为等比数列，q叫做公比。

定理3*****【必考】等比数列的性质：1)an=aq"1;2)前n项和当q1时，Sn=a1(1q)；当q=1时，S=na；3)如果a,b,c成等比数列，即b2=ac(b0),贝Ub叫做a,c的等比中项；4)若m+T=p+q,。