2010年普通高等学校招生全国统一考试数学文科试题（全国i卷）真题精品解析.doc

2010 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(必修+选修 II)本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分第 I 卷 1 至 2 页第Ⅱ卷 3至 4 页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回教师简评】本试卷整体上明显比去年加大了难度，整套题对程度中等的学生来说有比较有难度，估计最后的考试分数不会特别理想试题不仅注意对基础知识的考查，更注重了对能力的考查体现了“稳中求变，深化能力”的主导思想知识分布还是比较广的，题的形式稳定，延续以前试题格式本套试卷基础与能力并重，前 6 题都是常见题，在考场上能够稳定学生情绪，第 10、11、12 三题是较为综合性的试题，这是近几年来全国 1 套试卷难度最大的，填空题难度不算大主观题试题类型都是常规题，难度和运算量仍然不小第 I 卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目2．每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效3．第 I 卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的参考公式：如果事件 A、 B互斥，那么 球的表面积公式()()PP24SR如果事件 、 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径()()g 球的体积公式如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p，那么 34Vn次独立重复试验中事件 恰好发生 k次的概率 其中 R 表示球的半径()(1)(0,12)knknPCpn…一．选择题(1)cos30(A) 2 (B)- 1 (C) 2 (D) 3【答案】C 【命题意图】本试题主要考查三角函数的诱导公式及特殊角求值解析】 0001cos3s(6)cos62，故选 C2)设全集 1,245U，集合 ,4M， ,35N，则 UMðA. , B. C. 3 D. 【答案】C 【命题意图】本试题主要考查集合的概念及集合的交集、补集运算解析】 2,5(),5UUCNC.故选 C(3)若变量 ,xy满足约束条件1,02,yx则 2zxy的最大值为(A)4 (B)3 (C)2 (D)1（4）已知各项均为正数的等比数列{ na}， 123=5， 789a=10，则56a=(A) 2 (B) 7 (C) 6 (D) 4(5) 43(1))x的展开式 2x的系数为(A)-6 (B)-3 (C)0 (D)3【答案】A 【命题意图】本试题主要考查二项展开式的通项公式和指定项系数的求法，考查分类讨论的思想方法。

解析】 2x项的系数是 122434()(1)6C,故选 A.(6)直三棱柱 1ABC中，若 90BAC， 1AC，则异面直线1B与 所成的角等于(A)30° (B)45°(C)60° (D)90°【答案】C 【命题意图】本试题主要考查异面直线所成的角问题，考查空间想象与计算能力解析】延长 B1A1到 E，使 A1E=A1B1，连结 AE，EC 1，则 AE∥A 1B，∠EAB 或其补角为所求，由已知条件可得△AEC 1为正三角形，∴∠EAB 为 600，故选 C(7)已知函数 ()|lgfx.若 ab且 ()ffb，则 a的取值范围是(A)(1, (B)[,)(C) 2, (D) [2,)（8）已知 1F、 2为双曲线 C: 21xy的左、右焦点，点 p 在 C 上，∠ 1Fp 2= 06，则 12|||Pg(A)2 (B)4 (C) 6 (D) 8【答案】B 【命题意图】本试题主要考查双曲线的定义，考查余弦定理的应用解析】由双曲线的定义得 12PF①,又 01212,6FcFP,由余弦定理 221 8PF②，由① 2-②得 4，故选 B.（9）正方体 ABCD- 1ABCD中，B 1与平面 AC 1D所成角的余弦值为（A） 23 （B） 3 （C） 23 （D） 63【答案】D 【命题意图】本试题主要考查直线与平面所成的角问题，考查空间的想象与迁移能力。

解析】在正方体中，DD 1∥BB 1，所以 DD1,BB1与平面 ACD1所成的角相等，设正方体的棱长为 a，在正方体 AC1 中，可知三棱锥 D-ACD1为正三棱锥，所以 D 在平面 ACD1的射影为正三角形 ACD1的中心 O，则∠DD 1O 即为所求，又△ACD 1的边长为 2a，所以1362DOa,∴ 16cos3DO，故选 D10）设 123log,ln,5b则（A） c（B）  (C) cab (D) ca（11）已知圆 O 的半径为 1，PA、PB 为该圆的两条切线，A、B 为两切点，那么 PABuv的最小值为(A) 42 (B) 32 (C) 42 (D) 32 （12）已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点，若 AB=CD=2,则四面体 ABCD 的体积的最大值为(A) 23 (B) 43 (C) 23 (D) 83【答案】B 【命题意图】本试题主要考查本题主要考查几何体体积的计算、球的性质，综合考查空间分析问题、解决问题能力解析】过 CD 作平面 PCDAB 于 P，设 P 到 CD 的距离为 h，则A-BCD-PA-CDCD112VBS=333，所以当 h 最大时，体积最大，当直径通过 AB 与 CD 的中点时， 2maxh，所以 max43V，故选B。

绝密★启用前2010 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(必修+选修 II)第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目2．第Ⅱ卷共 2 页，请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效3.第Ⅱ卷共 10 小题，共 90 分二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上．(注意：在试题卷上作答无效) (13)不等式 21x的解集是 .(15)某学校开设 A 类选修课 3 门，B 类选修课 4 门，一位同学从中共选 3 门，若要求两类课程各自少选一门，则不同的选法共有 种.(用数字作答)【答案】30 【命题意图】本试题主要考查排列组合知识及分类讨论的思想方法解析】分两种情况：（1）A 类选 1 门，B 类选 2 门，有 12348C种方法；（2）A 类选2 门，B 类选 1 门，有 2134C种方法，共有 30 种方法16)已知 F是椭圆 C的一个焦点， B是短轴的一个端点，线段 BF的延长线交 C于点 D， 且 B2Dur，则 的离心率为 .【答案】 3 【命题意图】本试题主要考查椭圆的方程与几何性质，考查定比分点问题。

解析】假设椭圆的焦点在 x 轴，方程为2y=1ab，设点 B(0,b)Cc,，由BF2Dur，则 D 有向线段 BFur的比为-3，则 3D(c,)2，代入方程得291=4a，所以c3ea.三．解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17） （本小题满分 10 分）(注意：在试题卷上作答无效)记等差数列 na的前 的和为 nS，设 312，且 23,1a成等比数列，求 nS.【命题意图】本题主要考查等差数列的通项公式与前 n 项和公式，以及等比数列的性质，考查学生用方程组的思想解决数列问题的能力参考答案】【点评】数列问题属于高考的传统题型，近两年全国 1 文科卷，数列解答题的难度有所降低，旨在考查考生对数列的基本公式、性质的掌握，显然这就降低对综合能力的要求18)(本小题满分 12 分)(注意：在试题卷上作答无效)已知 ABCV的内角 ， 及其对边 a， b满足 cottaAbB，求内角 ．(19)(本小题满分 12 分)（注意：在试题卷上作答无效)投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为 0．5，复审的稿件能通过评审的概率为0．3．各专家独立评审．(I)求投到该杂志的 1 篇稿件被录用的概率；(II)求投到该杂志的 4 篇稿件中，至少有 2 篇被录用的概率．【命题意图】本题主要考查独立事件与互斥事件的概率问题，考查学生分类讨论的思想和分析问题、解决问题的能力。

参考答案】解：(Ⅰ)记 A 表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；B 表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；C 表示事件：稿件能通过复审专家的评审； D 表示事件：稿件被录用.则 D=A+B·C,()0.5.2,()0.5.,()0.3,PAPBPC(Cg= ))= ((PAB=0.25+0.5×0.3=0.40.(Ⅱ) 记 0表示事件：4 篇稿件中没有 1 篇被录用；1A表示事件：4 篇稿件中恰有 1 篇被录用；2表示事件：4 篇稿件中恰有 2 篇被录用；= 0+ 14.0.96PA314.45,C20101()PA=0.1296+0.3456=0.4752,22().475.28PA,【点评】概率问题是高考的必考题型，一般都在 18、19 题，试题的难度不大主要考查考生对互斥事件、独立事件等基本概率模型知识的掌握程度以及应用知识分析问题、解决问题的能力新背景下的概率问题是高考的亮点内容之一，估计明年高考对概率解答题的考查除了常规模式外，还可能与数列、不等式、统计等交汇命题20） （本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效）如图，四棱锥 S-ABCD 中，SD 底面 ABCD，AB//DC，AD DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱 SB 上的一点，平面 EDC 平面 SBC . （Ⅰ）证明：SE=2EB；（Ⅱ）求二面角 A-DE-C 的大小 .(Ⅱ) 由 25,1,2,,SADABSEABS知2211,AD=3AESB又.故 D为等腰三角形.取 中点 F,连接 F,则 26, 3EF.连接 G，则 /,CD.所以， A是二面角 的平面角.连接 AG,AG= 2, 263FGF,21cosAg,所以，二面角 DEC的大小为 120°.解法二：以 D 为坐标原点，射线 A为 x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系 Dxyz，0mDE， 0C故 20,11xyzy.令 2x，则 (,0)m.由平面 DECSB平 面 得 ,,2,2nmg.故 S.(Ⅱ) 由（Ⅰ）知 2,3,取 DE中点 F，则 1,3, 1,3FA,故 0FA。