浙江省高考数学优编增分练：107标准练4.doc

[76分] 10＋7标准练41．已知全集U＝{1,2,3,4}，若A＝{1,3}，B＝{3}，则(∁UA)∩(∁UB)等于(　　)A．{1,2} B．{1,4} C．{2,3} D．{2,4}答案　D解析　根据题意得∁UA＝{2,4}，∁UB＝{1,2,4}，故(∁UA)∩(∁UB)＝{2,4}．2．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的个数是(　　)①若m∥α且m⊥β，则α⊥β；②若m⊥β且α⊥β，则m∥α；③若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β；④若m∥n，n∥α，则m∥α.A．1 B．2 C．3 D．4答案　B解析　若m∥α，则由线面平行的性质定理知，在α内有直线l与m平行，又m⊥β，则l⊥β，从而α⊥β，故①正确；若m⊥β且α⊥β，则m⊂α或m∥α，故②不正确；若m∥n，m⊥α，则n⊥α，又n⊥β，所以α∥β，故③正确；若m∥n，n∥α，则m∥α或m⊂α，故④不正确．故正确的个数为2.3．已知各项均为正数的等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，则“q>1”是“S2＋2S6>3S4”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案　A解析　方法一　因为等比数列{an}的各项均为正数，所以a1>0.若q>1，则S2＋2S6－3S4＝＋－＝＝>0，所以S2＋2S6>3S4.而当S2＋2S6>3S4成立时，q可以为1，所以“q>1”是“S2＋2S6>3S4”的充分不必要条件，故选A.方法二　因为等比数列{an}的各项均为正数，所以q>0，S2>0.令S2＋2S6－3S4＝q2S2(2q2－1)>0，得q>，所以“q>1”是“S2＋2S6>3S4”的充分不必要条件，故选A.4．2018年3月7日《科学网》刊登“动物可以自我驯化”的文章表明：关于野生小鼠的最新研究，它们在几乎没有任何人类影响的情况下也能表现出进化的迹象——皮毛上白色的斑块以及短鼻子．为了观察野生小鼠的这种表征，从有2对不同表征的小鼠(白色斑块和短鼻子野生小鼠各一对)的实验箱中每次拿出一只，不放回地拿出2只，则拿出的野生小鼠不是同一表征的概率为(　　)A. B. C. D.答案　C解析　分别设一对白色斑块的野生小鼠为A，a，另一对短鼻子野生小鼠为B，b，从2对野生小鼠中不放回地随机拿出2只，所求基本事件总数为43＝12，拿出的野生小鼠是同一表征的事件为，，，，共4种，所以拿出的野生小鼠不是同一表征的概率为1－＝.5．已知|a|＝1，|b|＝，且a⊥(a－b)，则向量a在b方向上的投影为(　　)A．1 B. C. D.答案　D解析　设a与b的夹角为θ，∵a⊥(a－b)，∴a(a－b)＝a2－ab＝0，即a2－|a||b|cos θ＝0，∴cos θ＝，∴向量a在b方向上的投影为|a|cos θ＝.6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)A. B. C. D．8答案　B解析　由三视图可知，该几何体是底面积为8，高为2的四棱锥，如图所示．∴该几何体的体积V＝82＝.7．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象的一个对称中心为，且f＝，则ω的最小值为(　　)A. B．1 C. D．2答案　A解析　方法一　当x＝时，ωx＋φ＝ω＋φ＝k1π，k1∈Z，当x＝时，ωx＋φ＝ω＋φ＝2k2π＋或2k2π＋，k2∈Z，两式相减，得ω＝(k1－2k2)π－或(k1－2k2)π－，k1，k2∈Z，即ω＝4(k1－2k2)－或4(k1－2k2)－，k1，k2∈Z，又因为ω>0，所以ω的最小值为4－＝.方法二　直接令ω＋φ＝π，ω＋φ＝，得ω＝，解得ω＝.8．已知a>0，b>0，(2a＋b)2－6ab＝1，则的最大值是(　　)A．1 B. C. D.答案　D解析　因为a>0，b>0，(2a＋b)2－6ab＝1，所以(2a＋b)2＝1＋32ab≤1＋32，得2a＋b≤2，又a>0，b>0，所以(2a＋b)2＝1＋6ab>1，所以1<2a＋b≤2.令t＝2a＋b，t∈(1,2]，则＝＝，易知y＝在(1,2]上是增函数，所以当t＝2时，y＝取到最大值，故的最大值是，故选D.9．在△ABC中，tan ＝sin C，若AB＝2，则△ABC的周长的取值范围是(　　)A．(2,2] B．(2，4]C．(4,2＋2] D．(2＋2，6]答案　C解析　由题意可得tan ＝tan＝＝2sin cos ，又cos ≠0，则sin2＝，即＝，∴cos C＝0，C＝.据此可得△ABC是以点C为直角顶点的直角三角形，则4＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥(a＋b)2－22＝，∴(a＋b)2≤8，据此有a＋b≤2，∴△ABC的周长a＋b＋c≤2＋2.三角形满足两边之和大于第三边，则a＋b>2，∴a＋b＋c>4.综上可得，△ABC周长的取值范围是(4,2＋2]．10．如图1，在平面多边形ABCDE中，四边形ABCD是正方形，△ADE是正三角形．将△ADE所在平面沿直线AD折叠，使得点E达到点S的位置(如图2)．若二面角S－AD－C的平面角θ∈，则异面直线AC与SD所成角的余弦值的取值范围是(　　)A. B.C. D.答案　D解析　方法一　如图，过点S作SO⊥AD交AD于点O，过点O作OG∥CD交BC于点G，则∠SOG是二面角S－AD－C的平面角，所以∠SOG＝θ∈.过点O作ON∥SD交SA于点N，作OM∥AC交CD于点M，则M，N分别为CD，SA的中点，连接MN，则∠MON或其补角为异面直线AC与SD所成的角．设AB＝2，则ON＝1，OM＝.记AC与OG的交点为Q，SO的中点为P，连接PQ，连接MQ并延长交AB于点W，取WQ的中点R，连接NP，NR，则四边形NPQR为平行四边形，所以NR＝PQ，在△OPQ中，PQ2＝OP2＋OQ2－2OPOQcos θ＝＋1－21cos θ，因为WM⊥OQ，WM⊥SO，OQ∩SO＝O，OQ，SO⊂平面POQ，所以WM⊥平面POQ，又PQ⊂平面POQ，所以WM⊥PQ，所以WM⊥NR，在Rt△MNR中，MN2＝RM2＋NR2＝＋＋1－21cos θ＝4－cos θ，所以|cos∠MON|＝＝＝.因为θ∈，cos θ∈，所以∈，故选D.方法二　如图，取AD的中点O，BC的中点G，连接OG，则OG⊥AD，以OG所在直线为x轴，OD所在直线为y轴，过点O且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系．设AB＝2，则A(0，－1,0)，C(2,1,0)，D(0,1,0)．因为△SAD为正三角形，O为AD的中点，连接SO，所以SO⊥AD，又OG⊥AD，所以∠SOG是二面角S－AD－C的平面角，即∠SOG＝θ，S(cos θ，0，sin θ)，＝(2,2,0)，＝(cos θ，－1，sin θ)，cos〈，〉＝.又θ∈，所以cos θ∈，所以cos〈，〉∈，所以异面直线AC与SD所成角的余弦值的取值范围是.11．若(i是虚数单位，a∈R)是纯虚数，则a＝________，|(2a＋1)＋3i|＝________.答案　　解析　因为＝＝，又为纯虚数，所以2a－1＝0且2＋a≠0，解得a＝，则(2a＋1)＋3i＝2＋3i，所以|(2a＋1)＋3i|＝|2＋3i|＝.12．已知随机变量ξ的分布列为ξ012P则E(ξ)＝________，D(2ξ－1)＝________.答案　　解析　由已知可得E(ξ)＝0＋1＋2＝，D(ξ)＝2＋2＋2＝，∴D(2ξ－1)＝4D(ξ)＝.13．设直线l1：x－2y＋1＝0的倾斜角为α，直线l2：x－my＋1＝0的倾斜角为β，满足α＋β＝，且l2截圆C：x2＋y2－4x－2y－p＝0所得的弦长为6，则m＝________，p＝________.答案　3　4解析　因为直线l1：x－2y＋1＝0的倾斜角为α，所以l1的斜率k1＝tan α＝，因为直线l2：x－my＋1＝0的倾斜角为β，且满足α＋β＝，所以l2的斜率k2＝＝tan β＝tan＝＝＝，所以m＝3，则l2：x－3y＋1＝0，又圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝p＋5，由此可知直线l2：x－3y＋1＝0过圆心(2,1)，则所截弦长为2＝6，故p＝4.14．若实数x，y满足则2x－y的最小值为________；若不等式y2－xy≥ax2有解，则实数a的取值范围是________．答案　1　解析　依题意，由实数x，y满足画出可行域如图中阴影部分(含边界)所示，其中A(1,1)，B(3，－1)，C(3,3)，由z＝2x－y得y＝2x－z，作出直线y＝2x并平移，可知当直线过点A(1,1)时，zmin＝21－1＝1.对不等式y2－xy≥ax2，分离参数后可得a≤＝2－有解，即a≤max，结合图形及的几何意义可得∈，则2－＝2－∈，故a≤.15．2018年某县为检查“精准扶贫”的落实情况，对甲、乙、丙三个镇进行重点调研，甲镇最多派3个人，乙镇最多派2个人，丙镇只派1个人．调研工作组由3男2女组成，由于该县位于偏远山区，因此女同志不单独调研，每个镇至少派1个人，则不同的分配方法有________种．答案　18解析　分析知有2种分配途径：(1)甲镇派2个女同志，则必有1个男同志，有C种分配方法，另2个男同志分别分配在乙镇和丙镇，分配方法有A种，此时分配方法的总数为CA＝6；(2)甲镇派1个女同志，乙镇派1个女同志，共A种分配方法，3个男同志只能每镇派1个，共有A种，又AA＝12，所以共有12种分配方法．又12＋6＝18，所以共有18种分配方法．16．已知函数f(x)是奇函数，且在R上是减函数，若实数a，b满足则(a－1)2＋(b－1)2≤1所表示的图形的面积是________．答案　＋1解析　由得∵f(x)是奇函数，且在R上是减函数，∴作出不等式组表示的平面区域(图略)，∴(a－1)2＋(b－1)2≤1所表示的图形为以点(1,1)为圆心，1为半径的半圆和一个三角形，∴其表示的图形的面积是＋1.17．已知O为坐标原点，双曲线－＝1(a>0，b>0)上任意两点A，B满足OA⊥OB，且O到直线AB的距离为c，则该双曲线的离心率为________．答案　解析　方法一　显然直线OA，OB的斜率均存在，且不为0，设直线OA的方程为y＝kx，则直线OB的方程为y＝－x，与双曲线方程联立，得得y2＝，所以|OA|2＝，同理|OB|2＝＝，如图，作OH⊥AB交AB于点H，由|OA||OB|＝|AB||OH|，得|OH|＝，即＝＋，因而＝＋，∴＝－，又c2＝a2＋b2，从而得＝，∴e＝ ＝.方法二　设|OA|＝m>0，|OB|＝n>0，设直线OA的倾斜角为α，则可取直线OB的倾斜角为＋α，因而A(mcos α，msin α)，B，即B(－nsin α，ncos α)，∵A，B均在双曲线上，∴－＝1，且－＝1，∴＋＝－，∵c＝mn，∴＝＋＝－，又c2＝a2＋b2，从而得＝，∴e＝＝.10。