含参变量的积分.ppt

第三节第三节一、含参变量的有限积分一、含参变量的有限积分 二、含参变量的无穷积分二、含参变量的无穷积分 含参变量的积分含参变量的积分 第十二章第十二章 一、含参变量的有限积分一、含参变量的有限积分上的连续函数, 则积分记作u 称为参变量, 上式称为含参变量的有限积分含参变量的有限积分.含参变量积分的性质 定理定理1.(连续性连续性) 上连续,则函数— 连续性, 可积性, 可微性 : 确定了一个定义在 上的函数, 在区间也连续.证证:在闭区域R上连续, 所以一致连续, 即只要就有有 这说明定理定理1 表明表明,定义在闭矩形域上的连续函数,其极限运极限运 算与积分运算的顺序是可交换的算与积分运算的顺序是可交换的. 同理可证, 上连续, 则含参变量的积分定理定理2. (可积性可积性)上连续,推论推论: 在闭矩形域上连续函数f(x,y), 其累次积分可交换即定理定理2表明表明,定义在闭矩形域上的连续函数,关于不同关于不同变数的积分变数的积分(简称累次积分简称累次积分)可交换积分次序可交换积分次序.求积顺序,定理定理3. (可微性可微性)都在矩形证证: 令函数, 因上式左边的变上限积分可导, 右边 有被积函数及其偏导数在闭矩形域上连续 时, 导数与积分运算是可以交换次序的导数与积分运算是可以交换次序的 .定理定理3说明说明,变量外,积积分上、下限也含有参分上、下限也含有参变变量量，即但对应唯一一个积分（值）则它仍是区间的函数，设 .一般情况，含参变量的有限积分，除被积函数含有参 下面给出函数在区间的可微性.定理定理4. 都在矩形域而函数与在区间可导，，有则函数在区间可导，且求函数的导数(y>0).例例1.解：解：，暂时固定，，使显然，被积函数与在矩形域都连续， 根据定理2，有例例2.解解: 由被积函数的特点想到积分:例例3.解解: 考虑含参变量 t 的积分所确定的函数显然, 由于故因此得例例4.解解: 例例5.分小时, 函数的 n 阶导数存在, 且证证: 令 在原点的某个闭矩形邻域内连续, 由定理5 可得即同理于是二二.含参变量的无穷积分含参变量的无穷积分1.含参变量的无穷积分的定义含参变量的无穷积分的定义设二元函数f(x,u)在区域有定义。

无穷积分都收敛， 即都对应唯一一个无穷积分（值）. 于是，是区间的函数，表为 称为含参含参变变量的无量的无穷积穷积分分，，有时也简称无无穷积穷积分分，u u是是参参变变量量. .2.含参变量无穷积分一致收敛的定义含参变量无穷积分一致收敛的定义设，无穷积分收敛. 若有则称无穷积分在区间I一致收一致收敛敛证明：无穷积分在区间[a,b](a>0)例例6.一致收敛.证明证明:设A>0,无穷积分(u看作常数)已知a≤u≤b,有使不等式成立，解得取于是，有即无穷积分在区间[a,b](a>0)一致收敛.3.含参变量无穷积分一致收敛的判别法含参变量无穷积分一致收敛的判别法定理定理5 (柯西一致收敛准则）柯西一致收敛准则） 无穷积分在区间 I I一致收敛,有定理定理6(优函数判别法优函数判别法)若有 ,且无穷积分收敛， 则无穷积分在区间I I一致收敛.例例7.证明:无穷积分在区间一致收敛(a>0).证明：证明： 有有 因为无穷积分收敛,所以无穷积分从而无穷积分收敛，也收敛,根据定理6,则无穷积分在区间一致收敛(a>0).例例8.证明无穷积分在R一致收敛.证证明：明：，有，有.而无穷积分收敛,则无穷积分在R一致收敛.说明说明:虽然用定理6判别某些无穷积分一致收敛很简便,但此定理的应用局限在无穷积分必是绝对收敛,若无穷积分是一致收敛,同时又是条件收敛,则不能用定理6来判别.定理定理7. 若函数f(x,u)在区间， 连续且在D有界,即,有无穷积分在区间I一致收敛.即即:4.含参变量无穷积分的性质含参变量无穷积分的性质定理定理8(连续性连续性)★★注意注意:定理定理 9 (可积性可积性)即即(积分次序可交换积分次序可交换)可微性定理表明在定理条件下,求导运算和积分运算可以交换.即定理定理10 (可微性可微性)即 注意注意:例例9.证明： 证明证明:已知有 而无穷积分收敛 . 根据定理6，无穷积分在区间一致收敛， 根据定理9，交换积分次序，有 。