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§ 4.2 常系数线性微分方程的解法常系数线性微分方程的解法1§ 4.1 4.1内容内容回顾回顾 解的性质与结构解的性质与结构 方程方程(4.2)(4.2)的一组的一组n n个线性无关解称为它的一个个线性无关解称为它的一个基本基本 解组解组♣ n 阶齐次线性方程的所有解构成一个阶齐次线性方程的所有解构成一个 n 维线性空间维线性空间2非齐线性方程的通解等于对应齐次方程的非齐线性方程的通解等于对应齐次方程的结构结构通解与自身的一个特解之和通解与自身的一个特解之和齐线性方程的通解可由其基本解组线性表示齐线性方程的通解可由其基本解组线性表示非齐线性方程非齐线性方程齐线性方程齐线性方程非齐线性方程通解非齐线性方程通解特解特解基解组基解组表示表示关键关键常数变易法3本节要求本节要求  熟练掌握常系数齐次线性方程的求解方法熟练掌握常系数齐次线性方程的求解方法  熟练掌握常系数熟练掌握常系数非齐次线性方程非齐次线性方程的求解方法的求解方法  熟练掌握欧拉方程的求解方法熟练掌握欧拉方程的求解方法44.2.1 4.2.1 复值函数与复值解复值函数与复值解一一 复值函数的分析性质复值函数的分析性质极限极限连续连续导数导数5易验证易验证如如6的性质的性质(一一 复值函数的分析性质复值函数的分析性质二二 复值函数复值函数定义定义4.2.1 4.2.1 复值函数与复值解复值函数与复值解7三三 线性方程的复值解线性方程的复值解如果定义在如果定义在上的实变量的复值函数上的实变量的复值函数满足方程满足方程为方程的一个复值解。

为方程的一个复值解则称则称如果方程如果方程( (4.2(中所有系数中所有系数都是都是实值函数，而函数，而是方程的复数解，是方程的复数解，的的实部部，虚部，虚部和共和共轭复数函数复数函数也是方程也是方程4.2的解 定理定理8 8则则的性质的性质一一 复值函数的分析性质复值函数的分析性质二二 复值函数复值函数4.2.1 4.2.1 复值函数与复值解复值函数与复值解8定理定理9 9 若方程若方程有复数解有复数解,这里里及及都是都是实函数那么函数那么这个解的个解的实部部和虚部和虚部分分别是方程是方程和和的解94.2.2 常系数齐线性方程和欧拉方程常系数齐线性方程和欧拉方程…….(4.19)为常数其中其中下面求它的基本解组下面求它的基本解组 n 阶常系数齐次线性方程阶常系数齐次线性方程…….(4.21)结论：结论：是方程是方程(4.19)的解的充要条件的解的充要条件满足满足特征方程特征方程10下面根据特征根的不同情况分别进行讨论下面根据特征根的不同情况分别进行讨论 1)1)特征根特征根为单根的情况根的情况是特征方程（是特征方程（4.214.21）的）的n个互不相等的根，个互不相等的根，设设则相应的方程（则相应的方程（4.19）有如下）有如下n个解个解这n个解在区个解在区间的基本解的基本解组。

事事实上，上，上线性无关，从而组成方程上线性无关，从而组成方程11是方程的基本解是方程的基本解组方程方程4.19的通解可表示为的通解可表示为范德蒙范德蒙(Vandermonde)行列式行列式12如果特征方程有复根，如果特征方程有复根，则因方程的系数是因方程的系数是实常数复根将成常数复根将成对共轭的出现，设对共轭的出现，设方程的一个特征根方程的一个特征根也是一个特征根也是一个特征根则方程（则方程（4.19）有两个复值解）有两个复值解对应两个实值解对应两个实值解13例例1求方程求方程的通解解解第一步：求特征根第一步：求特征根第二步：求出基本解组第二步：求出基本解组第三步：写出通解第三步：写出通解14例例2求方程求方程的通解解解第一步：求特征根第一步：求特征根第二步：求出基本解组第二步：求出基本解组第三步：写出通解第三步：写出通解152) 2) 特征根有重根的情况特征根有重根的情况…….(4.19)…….(4.21)I.设设是是 k 重特征根重特征根显然显然是方程的是方程的 k 个线性无关的解个线性无关的解方程方程(4.19)有有 k 重零特征根重零特征根方程恰有方程恰有 k1 个线性无关的解个线性无关的解16II.设设是是 k 重特征根重特征根方程方程(4.19)恰有恰有 k 个线性无关的解个线性无关的解I.设设是是 k 重特征根重特征根方程恰有方程恰有 k 个线性无关的解个线性无关的解2) 2) 特征根有重根的情况特征根有重根的情况17181920有有 k个线性无关的解个线性无关的解有有 k 个线性无关的解个线性无关的解21基基本本解解组组重要结论方程的一个方程的一个 重特征根重特征根也是一个也是一个 重特征根重特征根22证明证明 假若这些函数线性相关，则存在不全为零的数假若这些函数线性相关，则存在不全为零的数 使得使得(4.27)假定多项式假定多项式至少有一个系数不为零，则至少有一个系数不为零，则不恒为零，不恒为零，微分微分 k1 次次23不恒为零，不恒为零，不恒为零，不恒为零，矛盾！矛盾！中函数线性无关，其构成的解本解组。

中函数线性无关，其构成的解本解组4.26)24例例3求方程求方程的通解解解第一步：求特征根第一步：求特征根第二步：求出基本解组第二步：求出基本解组第三步：写出通解第三步：写出通解25例例4求方程求方程的通解解解第一步：求特征根第一步：求特征根第二步：求出基本解组第二步：求出基本解组第三步：写出通解第三步：写出通解二重根二重根26课堂练习课堂练习：：P.164，第，第2（（1,2））作业作业：：P.164，第，第2题题(2,3,4)27可化为常系数线性方程的方程可化为常系数线性方程的方程-------欧拉欧拉(Euler) 方程方程 为常数其中其中引入自变量代换引入自变量代换28原方程原方程可化为常系数线性方程可化为常系数线性方程 设设是欧拉方程的解是欧拉方程的解, 带入原方程得到代数方程带入原方程得到代数方程用前面的方法求出后者的基本解，从而前者的基本解用前面的方法求出后者的基本解，从而前者的基本解 求解欧拉方程的过程求解欧拉方程的过程记29例例5求方程求方程的通解解解第三步：写出通解第三步：写出通解第二步：求出基本解组第二步：求出基本解组将将代入原方程代入原方程30例例6求方程求方程的通解。

的通解解解第三步：写出通解第三步：写出通解第二步：求出基本解组第二步：求出基本解组将将代入原方程代入原方程31作业作业： P.165，第3（1）32。