空气动力学：量纲理论基础.ppt

量纲理论基础量纲理论基础Ø每个物理量都有它的量每个物理量都有它的量纲，量，量纲分分为基本量基本量纲和和导出量出量纲两大两大类Ø力学中常力学中常选用的一用的一组基本量基本量纲为质量量M，，长度度L和和时间T；；或者或者选用力用力F，，长度度L和和时间TØ量量纲齐次性原理次性原理 量量纲理理论的基的基础是量是量纲齐次性原理，它可以表述次性原理，它可以表述为：表达：表达物理物理规律的函数关系（或方程式）中，每一律的函数关系（或方程式）中，每一项都必都必须具有具有相同的量相同的量纲，称，称为量量纲齐次式比如我次式比如我们熟悉的牛熟悉的牛顿第二第二定律定律F=ma•π定理及其定理及其计算步算步骤：：π定理叙述定理叙述为：如果一个物理：如果一个物理过程由程由n个物理量个物理量组成的量成的量纲齐次方程次方程g( (a1,a2,…an)=0)=0所描述，而所描述，而这n个物理量的量个物理量的量纲是根据是根据r个基本量个基本量纲定定义的，的，则该方程一定可以方程一定可以转化成化成( (n-m) )个无量个无量纲量之量之间的关系式的关系式f(π1,π2,…π(n-m))=0=0，其中，其中m是是n个物理量量个物理量量纲矩矩阵的秩，的秩，满足足m<=r。

这( (n-m) )个无量个无量纲量量是相互独立的，它是相互独立的，它们由由m个重复出个重复出现的物理量乘上另一个的物理量乘上另一个物理量物理量组成计算步算步骤如下：如下：<1><1>列出量列出量纲齐次性方程中所有次性方程中所有n个物理量；个物理量；<2><2>选定基本量定基本量纲中的一中的一组；；量纲理论基础量纲理论基础<3><3>列出所有列出所有n个物理量的量个物理量的量纲，确定在其中出，确定在其中出现的基本的基本量量纲数数r；；<4><4>求求n个物理量的量个物理量的量纲矩矩阵的秩，即在各的秩，即在各π中重复出中重复出现的物理参数的个数的物理参数的个数m；；<5><5>选定定m个物理参数，它个物理参数，它们必必须包括所有基本量包括所有基本量纲，，与剩下的与剩下的n-m个物理量逐一个物理量逐一组成无量成无量纲数数π；；<6><6>确定各无量确定各无量纲数，得到数目数，得到数目为n-m的无量的无量纲量完量完备系下面将分下面将分别举例来例来应用量用量纲齐次原理和次原理和π定理量纲理论基础量纲理论基础例一、例一、实验观察表明：当小球作定常察表明：当小球作定常绕流流时，影响阻力，影响阻力D的的因素有来流速度因素有来流速度u、流体密度、流体密度ρ、、动力粘性系数力粘性系数μ和小球的和小球的直径直径d。

求解：求解：量量纲关系关系为：：根据量根据量纲齐次原理得：次原理得：结果用果用 表示：表示：引入无量引入无量纲数：数：量纲理论基础量纲理论基础例二、例二、试验表明，在表面表明，在表面张力的作用下，液体沿毛力的作用下，液体沿毛细管上升管上升的高度的高度 与管道的直径与管道的直径 D、液体的比重、液体的比重γ和表面和表面张力系数力系数σ有关求解：求解：<1><1> 4 4个物理量个物理量<2><2>MLT<3><3>给出各参数的量出各参数的量纲其中出其中出现基本量基本量纲的数目的数目为r=3=3DγσLL量纲理论基础量纲理论基础<4><4>量量纲矩矩阵：：m是量是量纲矩矩阵的秩，即最高的秩，即最高阶非零行列式的非零行列式的阶，由于，由于故故m= =2DγσM0011L11-20T00-2-2量纲理论基础量纲理论基础<5><5>选用用D和和γ为重复出重复出现的参数，其他参数一一与它的参数，其他参数一一与它们组合合形成无量形成无量纲数数π，本，本问题的无量的无量纲完完备系共有系共有n-m=2=2个无量个无量纲数。

数<6><6>确定各无量确定各无量纲数：数：它它们组成了成了该问题的无量的无量纲量完量完备系本问题无量无量纲量量间的关系的关系为：：量纲理论基础量纲理论基础1.1.流流动动相相似似：：对对应应时时刻刻、、对对应应点点上上的的所所有有物物理量成比例理量成比例•几何相似几何相似(geometric similitude) •运动相似运动相似(kinetic similitude)•动力相似动力相似(dynamic similitude) 流动相似及相似准数流动相似及相似准数2. 2. 特征参量与无因次量特征参量与无因次量 若流动相似，则若流动相似，则对应时刻、对应点上所有对应时刻、对应点上所有物理量成比例物理量成比例 物理量的无因次量相等物理量的无因次量相等 对应相等对应相等——相似准数相似准数特特征征物物理理量量：：流流动动中中具具有有代代表表性性的的物物理量理量——L, U0, r r0，， …无因次量：无因次量：物理量与其特征量之比物理量与其特征量之比 3. 3. 流动相似（定理）流动相似（定理）含义含义含义含义1 1 1 1：所有相似流动的解是相似的，其无因次解相等。

所有相似流动的解是相似的，其无因次解相等所有相似流动的解是相似的，其无因次解相等所有相似流动的解是相似的，其无因次解相等含义含义含义含义2 2 2 2：所有的相似流动：所有的相似流动：所有的相似流动：所有的相似流动 → → → → 一个无因次流动一个无因次流动一个无因次流动一个无因次流动流动相似及相似准数流动相似及相似准数4.NS方程相似的充要条件取特征量：取特征量：无因次化：无因次化：图8.1.1 几何相似对应相等对应相等——相似准数相似准数流动相似及相似准数流动相似及相似准数NS方程无量纲方程无量纲5. 相似准数的物理意义ReReReRe数：数：数：数：惯性力与粘性力量级之比，惯性力与粘性力量级之比，反映粘性影响的相似准数反映粘性影响的相似准数 圆管：圆管：Re<2000 —— Laminar Re>2000 ——TurbulentRe<2000Re=104Re=106 圆柱绕流：圆柱绕流：Karman vortex street 产生、涡列振荡周期，粘性阻力产生、涡列振荡周期，粘性阻力 自由射流：自由射流：流动相似及相似准数流动相似及相似准数FrFrFrFr数：数：数：数：惯性力与重力量级之比，惯性力与重力量级之比，反映重力影响的相似准数。

反映重力影响的相似准数StStStSt数：数：数：数：局部力与对流惯性力量级之比，局部力与对流惯性力量级之比，反映非定常性的准数反映非定常性的准数 Periodical motion：：Propeller test：：   ——螺旋桨的进速系数、进速、转速（转螺旋桨的进速系数、进速、转速（转/ /分）和直径分）和直径 兴波与兴波阻力兴波与兴波阻力Fr—无因次航速无因次航速 流动相似及相似准数流动相似及相似准数空泡数：空泡数： （（ —液体饱和蒸汽压）液体饱和蒸汽压） EuEu数：数：压力和惯性力量级之比，压力和惯性力量级之比，反映压力影响的相似准数反映压力影响的相似准数 Mach数：数： 流速流速 V 与声速与声速 a 之比之比（反映气体压缩性）（反映气体压缩性）亚声速流动：亚声速流动： ——飞机钝头尖尾形，飞机钝头尖尾形， 时压缩性忽略时压缩性忽略跨声速流动：跨声速流动： ——气流呈气流呈“凝固凝固”现象超声速流动：超声速流动： ——激波、激波阻力，飞机机身、机翼尖头尖尾形。

激波、激波阻力，飞机机身、机翼尖头尖尾形 流动相似及相似准数流动相似及相似准数。