解析几何中的常见陷阱问题.docx

解析几何中的常见陷阱剖析解析几何知识是数与形的绝妙结合，形（曲线）的定性分析可以借助数（曲线的方程）来定 量求解；数的定量求解可以借助形来寻找途径但在数与形的相互补充中常常会有些细节在 不经意中被我们忽视,习惯称之为陷阱陷阱一、曲线方程或有关公式中的字母与参数的取值要求例1直线l经过点P （1, 2）且在坐标轴上截距相等，求其方程xy【错解】由题意设直线方程为一+上二1，代入P（1，2）可得a二3aaxy所以直线方程为-+ 3二1，即x + y二3直线的截距式方程【错因分析】直线过原点时在坐标轴上截距也相等，此时不能设xy+ —abxy【正解】①当直线在坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为一+上二1, aaxy代入P（1，2）可得a = 3，所以直线方程为—+ — = 1，即x + y = 3②当直线经过坐标原点时，设其方程为y二kx,代入P（1，2）可得k = 2所以直线方程为y二2x 综上可得直线方程为x + y二3或y二2x【小结】解析几何中有些公式和曲线的方程对参数有取值范围要求，如直线的截距式方程x y x2 y 2+ 二1中要求a • b丰0 ；椭圆方程——+】=1中的a2丰b2 ；直线的斜率公式 a b a 2 b2y — yk =厶 1中的x丰x等。

要求在解题过程中做到全面性和纯粹性，防备漏解或增解x —x 1 221陷阱二、直线的斜率不存在情况例2求过点A（2，-1）且与圆（x — 3》+（y — 2》二1相切的直线方程【错解】设直线方程为y +1 = k— 2）,即kx — y — 2k —1 - 03k — 2 — 2k —11 4因为直线与圆相切，所以 =1，解得k =Jk2 +1 3所以直线方程为y +1 = — 0 — 2），即4x — 3y —11 = 0 【错因分析】在设直线方程的点斜式方程时没有考虑直线斜率不存在的情况【正解】①当直线的斜率存在时，设直线方程为y +1 = k （x — 2）,即kx — y — 2k — 1 = 03k - 2 - 2k -11 4因为直线与圆相切，所以 二1,解得k/k2 +1 3所以直线方程为y +1二40 - 2),即4x — 3y —11二0②当直线的斜率不存在时，直线的方程为x二2综上得切线方程为4x - 3y -11二0与x二2【小结】在设直线方程的点斜式方程与斜截式方程时，如果题中没有说明直线斜率的存在情 况，一般要对斜率存在与否进行讨论陷阱三、曲线方程非标准形式给出例3 (2009陕西卷)“m > n > 0 ”是“方程mx2 + ny2二1表示焦点在y轴上的椭圆”的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件【错解】答案:D【错因分析】没把椭圆方程的非标准形式化为标准x2 y 2【正解】将方程mx2 + ny2 = 1转化为 —+令二1,根据椭圆的定义，要使焦点在y轴上必mn1 1 1 1须满足一> 0, > 0,所以一 > —，故选Cm n n m【小结】高中所学的圆锥曲线方程都是标准方程，相应的性质也是在标准方程情况下的性质解题时要审清题目，化非标准为标准再求解。

陷阱四、忽略曲线方程中变量本身的取值范围例4 P是椭圆扌+ * = 1右准线上不同于点A(4,0)的任意一点,若直线AP、BP分别与椭圆相交于异于A、B的点M、N,试说明点B与以MN为直径的圆的位置关系.【错解】解:设M(x y)，因为点M在椭圆上，所以y2二3 (4- x2) 0 0 0 4 0又M点异于顶点A、BQ P、A、M三点共线得P(4 6 y、4, 6 y 12, .x + 2 丿0x + 2丿 o 7从而 BM = (x — 2, y ) BP =06y2• — 4 +x + 2o所以 BM • BP = 2 x2 — 4 + 3 y 2)x + 2 0 00将①式代入②式化简得BM • BP二5(2 - x )20所以(I)当2- x0 > 0时BM • BP > 0,于是ZMBP为锐角，从而ZMBN为钝角，故点B在以 MN 为直径的圆内(II) 当2 - x < 0时BM • BP < 0,于是ZMBP为钝角，从而ZMBN为锐角，故点B在以0MN 为直径的圆外(III) 当2 — x = 0时BM • BP = 0,于是ZMBP为直角，故点B在以MN为直径的圆上.0【错因分析】没有注意到椭圆中的Ix 52【正解】设M(x y)，因为点M在椭圆上，所以y2 = 3(4 — x2) ①0 0 0 4 0又M点异于顶点A、B，所以-2 < xo < 2二 6 y由P、A、M三点共线得P 4, 一吃(x + 2 0从而BM =(xo-2, y °)BP=(2,6 y ) 0x + 2丿0C 2 — 4 + 3 y 200- -r , 6 y 2所以 BM • BP = 2 x — 4 + —0 x + 20将①式代入②式化简得BM • BP = 5(2-x0)因为2 — x > 0,所以BM • BP > 0,于是ZMBP为锐角，从而ZMBN为钝角，故点B在以 0MN 为直径的圆内.【小结】在解析几何中要注意曲线方程中变量x或y自身的取值范围。

陷阱五、求离心率取值范围中,忽视离心率本身的范围x2 y 2例5 F「F2分别是椭圆-+ b- = l(a > b > 0)的两个焦点,当离心率在什么范围内取值时,椭圆上总有点P,使 PF丄PF12【错解】设卩(xi, yi)，则由PF1丄PF2二x2 + y； — c2 = 0,令x = a cos y = b sin 0,所以 a 2 cos2 0 + b 2 sin2 0 = c 2,所以 c 2 cos2 0 = c 2 — b 2 > 0, 1 1 _所以c > b,e2 =二=」^ > 1,所以e >空，a2 c2 +b2 2 2故离心率取值范围为 十,+ s_ 2 丿【错因分析】忽视椭圆的离心率为G,i)的范围【正解】设卩仗”),则由PF】 PFxa cos,yb sin ,a2 Cos211令C2C21cb,e2,ea2C2 b22又e0,1・•・离心率取值范围为x2 y2 c2 01 1 ,b2 sin2 c2 , c2 cos2 c2 b2 0,【小结】圆锥曲线的统一定义是以离心率的取值范围不同而区分不同类型的曲线，所以离心 率的取值范围是一个隐藏条件陷阱六、忽略图形的对称性而造成解的重复x2例6以椭圆y y2 1的上顶点B为直角顶点作椭圆的内接等腰三角形ABC,这样的直角三角形是否存在?若存在,有几个;若不存在,说明理由.【错解】假设能够构成等腰三角形ABC,其中B(0,1)由题意知BA与BC的斜率一定存在且1 1:y x 1,k不为o,故设Ia ：ykX ,则】BCy则 x2kx 1y2 1A( 8k1 4k28k21 4k 2l),所 以 | AB |8|k JI k2同理BC ||BC |k|4 k2 14k2,当k 0时,k 当k0时,k所以这样的直角三角形存在且有6个【错因分析】注意到 BA 与 BC 的斜率互为负倒数， k 的个数。

正解】假设能够构成等腰三角形 ABC,0时的三角形个数就是最终三角形不为o,故设lBA ：yBAkx ,则lBC:y其中B(0,1)由题意知BA与BC的斜率一定存在且 1Xk1注意到BA与BC的斜率互为负倒数，不妨y设k 0,贝U x2kx l8ky2 1A(1 4k28k2l 4k 21),所以|AB|朴■1 k21 4k2 '同理BC |乙，由|AB|BC |k|4 k2 1 4k2,解得k = 1,所以这样的直角三角形存在且有3个【小结】圆锥曲线都具有对称性，在求解时依据其对称性，求出其一种情况时另一情形也就 随之唯一确定陷阱七、用“点差法”求中点弦所在直线方程需验解y2例7 已知双曲线x2 - — = 1与点P(l,l),过P点作直线l与双曲线交于A、B两点，且P为A、B 的中点,这样的直线是否存在?【错解】设AS y) Be 2, y 2)，则 0,即k g2J3 2433 〒，丁丿时, 直线与双曲线有有两个公共点(2)当 A = 4C — 3k 2)二0,即k = ±半时，直线与双曲线有且只有一个公共点【错因分析】当二次项系数1-k2二0时，不能用判别式来判断，此时直线与双曲线的渐 近线平行，与双曲线只有一个交点X 2 — y 2 = 4 I j[正解】由 5 1 — k2 ^X2 + 2k2 x — k2 — 4 = 0[y 二 k(x-1)(1) 当1 — k 2 主 0&。