效用、损失和风险.doc

第三章 效用、损失和风险(Utility,Loss and Risk)本章重要参照文献：60，56，86，87，92，129，156，169，183，184§3—1 效用的定义和公理系统一、引言·为什么要引入效用 决策问题的特点：自然状态不拟定——以概率表达； 后果价值待定： 以效用度量1.无形后果，非数字量(如信誉、威信、出门带伞问题的后果)需以数值度量；2.虽然是数值量(例如货币)表达的后果，其价值仍有待拟定，后果的价值因人而异例一：同是100元钱，对穷人和百万富翁的价值绝然不同；对同一种人，身无分文时的100元，与已有10000元再增长100元的作用不同，这是钱的边沿价值问题例二： 上图作为商业、经营中实际问题的数学模型有普遍意义有人觉得打赌不如礼物,即 *由上面两个例子可知：在进行决策分析时，存在如何描述(体现)后果的实际价值，以便反映决策的人偏好顺序(preference order)的问题 *偏好顺序是决策人的个性与价值观的反映，与决策人所处的社会、经济地位，文化素养，心理和生理(身体)状态有关。

* 除风险偏好之外，还时间偏好 i, 折扣率 ii,其她 而效用(Utility)就是偏好的量化，是数(实值函数).Daniel Bernoulli 在1738年指出： 若一种人面临从给定行动集(风险性展望集)中作选择的决策问题，如果她懂得与给定行动有关的将来的自然状态，且这些状态浮现的概率已知或可以估计，则她应选择对多种也许后果的偏好的盼望值最高的行动 二、效用的定义 1.符号 i,AB(即APB)读作A优于B：(Prefer(ed) A to B) AB(即ARB) A不劣于B A～B(即AIB) A无差别于B (Indifference) ii, 展望(prospect): 也许的前景 即多种后果及后果浮现概率的组合 P=(…… ) 既考虑多种后果 (consequence) 又考虑了多种后果的概率(probability or likelihood)分布 所有P的集合记作p iii,抽奖(lottery)与拟定当量 若 ~ ( ; )则称 拟定性后果 为抽奖 ( ; ) 的拟定当量2.效用的定义(A) 在集合p上的实值函数u，若它和p上的优先关系一致，即: 若 p ,  iff u()≥u() 则称u为效用函数三、效用存在性公理 理性行为公理 Von Neumann-Morenstern, 1994 [169]·公理1 连通性 (Connectivity)又称可比性 p, 则  or ~ or ·公理2 传递性 (Transitivity) p, 若, 则 ·公理3 替代性公理 ( 加等量时优先关系不变) 若p,  且 0 < a < 1 则 对任何∈p ,必有 a+(1-a) a+(1-a)或者体现成：,a>b 则 a+(1-a)  b+(1-b) 即二种后果中，决策人所偏好的后果浮现机会较大的状况是决策人所爱慕的。

·公理4 持续性公理 ---- 偏好的有界性若  则 存在 0b使 a+(1-a)   b+(1-b) 由 a+(1-a)  可知 不是无穷劣,即 u()>-¥ 由  b+(1-b) 可知 不是无穷优, 即 u()< ¥虽然是死亡，亦不至于无穷劣例：i,过马路 若死亡为无穷劣，则不能过马路 ii,狂犬病疫苗 上述公理看来是合乎理性的，事实上并不尽然.例：Allais 悖论（Paradox 〕例如，1953年Allais在一次学术会议上提出如下问题，请效用理论权威Svage回答Savage的回答是A组宁择i， B组宁择ii，Allais指出：B组的i, ii, 均以0.89的$500,000 取代0.89的 $0，即与A组的i,ii,相相应，照公理3、A、B两组中i,ii,的优先关系应当不变 Savage当时语塞·效用的公理化定义 在上述公理系统中，若p上存在实值函数u，使i, f 当且仅当 u() ＞u() ii. u(α, ; 1-α, )= αu() +(1-α)u()iii, 对满足上述条件的 , 必有 () =b( )+c , 其中 b, c ∈, b＞0则u(P)称为(基数)效用函数*有关线性：将ii. u(α, ; 1-α, )= αu() +(1-α)u() 推广到一般,若∈p ;≥0 , i=1,2,…m; =1; 则 u( )= u()四、基数效用与序数效用 (Cardinal & Ordinal Utility)基数：实数：1，2，3,π序数：第一，二，…，4，3，2，1·区别：1.基数效用定义在展望集p上(考虑后果及其概率分布),是实数; 序数效用定义在后果集C上，不波及概率，可以是整正数2.基数效用反映偏好强度：(正线性变换下唯一) 原数列可变换为:b+c, 2b+c, 3b+c, πb+c; 其中 b, c ∈, b＞0.而序数效用不反映偏好强度，(保序变换下唯一), 原序数列可变换为 16,9,4,1;或 8,6,4,2,或10,7,6,1等.·序数效用的存在性公理1.连通性(可比)2.传递性3.对任何拟定的后果x，优势集与劣势集均为闭集。

教材：P29 §3.1)§3.2 效用函数的构造一、离散型的概率分布 后果元素有限·各后果效用设定的环节 NM法 由公理4: 若f f ,则可找到 0<α<1, 使~α+(1-α) 第一步： 选定 , Î C , 使f 令 u()=0, u()=1 所选择的 、 应使比较易于进行.第二步：对ff ,求α(0<α<1), 使 ~α+(1-α) 则 u()=u(α+(1-α))= αu()+(1-α)u()第三步：若p, 求α(0<α<1), 使~α+(1-α) 则u()=u(α+(1-α) )=αu()+(1-α)u( ) \ u( )=α/(α-1)第四步：若 f, 求α(0<α<1), 使 ~α+(1-α) 则u()=u(α+(1-α))= αu() \ u()=1/α第五步：一致性校验 设 ff 且 ,, 已知， 由 ~α+(1-α) 求得u’() 若 u’() 与已知的 u() 不符，则反复进行二、三、四步，直到一致性校验通过.例 设 fff一、u()=0, u()=1二、~0.7+0.3 u()=0.7三、~0.4+0.6 u ()=0.4校验 设~0.4+0.6 u’()=0.66≠0.7 反复二、三、若u () 不变 u ()=0.5 则通过校验.二、持续型后果集·当C为持续变量时,u(c)是光滑的，因此可分段构造，求特性点的效用，再连成光滑曲线例1.每天学习时间的效用曲线 在10～12小时／日 处 效用最大 8小时／日处效率最高(效用／小时) 例2.见讲义P31之例·注意：效用的唯一性(在正线性变换下唯一)使效用的值域为整个实轴，而不必限于[0,1]§3.3 风险与效用一、效用函数涉及的内容1.对风险的态度 风险厌恶(Risk Aversion) 风险中立(Risk Neutralness) 风险追求(Risk Proneness) 即有冒险倾向 以上是初期对风险的解释(Pratt C.,1964)2.对后果的偏好强度 钱的边沿价值：设某人既有积蓄为0，增长800地的作用(价值)与有了800元后再加1200元相等,则此人的财富的价值函数是凹函数。

若她觉得800元~(0.5,0; 0.5,), 则与其说此人是风险厌恶不如说她是相对风险中立为此有必要对拟定性后果的偏好强度加以量化3.效用表达时间偏好十分复杂，我们在第八章再简介二、可测价值函数 ——拟定性后果偏好强度的量化定义： 在后果空间X上的实值函数v，对ω，x, y, z∈X有i, ωxyz当且仅当υ(ω)-υ(x)≥υ(y)-υ(z), 且ii, v对正线性变换是唯一拟定的 则称υ为可测价值函数阐明：i，ωxyz表达ω,x之间偏好强度之差超过y,z之间偏好强度之差, ii,由定义之ii，可测价值函数具有基数性质但与基数效用不同：VF不反映DMer的风险态度 iii，它定在后果空间上，能起序数效用的作用但又与OUF不同：能反映后果的偏好强度.三、相对风险态度 设 效用函数u和测价值函数v在X上都是单调递增，且持续二次可微1.风险的局部测度 ì > 0 u在x 处凹, 风险厌恶 r(x)=-u”(x)/u’(x) í = 0 u在x 处线性, 风险中立 î < 0 u在x 处凸, 风险追求2.偏好强度的局部测度 >0 在x处有递减的边沿价值 m(x)=-v”(x)/v’(x)=0 在x处有不变的边沿价值 <0 在x处有递增的边沿价值3.真正的(相对)风险态度的定义 若m(x)＜r(x)称为在X'区内相对风险厌恶 m(x)=r(x)称为在X'内相对风险中立 m(x)=r(x)称为在X'内相对风险追求四、风险酬金 kE(x)-S 这是决策人为了避免风险而顾意损失的金额 k=f(v,P) 五、钱的效用1.性质 i, 单调递增：愈多愈好 有界：全世界财富总量局限性$, u()与u()几乎无差别 ii, x较小(相对于决策人资产而言)时,u(x)近乎线性 iii, x>0时u(x)一般是凹的 递减的边沿价值 风险厌恶 x>0与x<0的形状不同, 负债较多有追求风险的倾向.2.钱的效用曲线的构成 设某人既有1000元存款(某商店有资产10万，公司有1000万等等) i, NM法(见§3.2) 运用 ～ α+(1-α。