提优教程江苏省高中数学竞赛第73讲不等式证明选讲教案.doc

第十三讲 不等式证明选讲 本节主要内容为证明不等式的基本方法——比较法；综合法于分析法；放缩法；放缩法；反证法；数学归纳法；数形结合以及运用函数的性质．A类例题例1 设，证明 分析：可以把不等式两边相减，通过恒等变形（例如配方，因式分解等），转化为一个能够明确确定正负的代数式． 证明：，当且仅当时等号成立． 说明：要证，最基本的方法就是证明，即把不等式两边相减，转化为比较差与0的大小，此法用的频率极高． 链接：本题可推广为都不小于1，证明：（注：要用数学归纳法）例2 设，，比较与的大小．（1982年全国高考题） 分析：显然，要比较的两个数都是正数，把它们相除考察商式与1的大小关系，同样可得出两数的大小关系，即为正数 解：由于，，同理，，因此例3 1），证明2）为任意正整数，证明 1）分析：观察欲证不等式的特点，已知中有，结论中有，这种结构特点启发我们采用如下方法． 证明：因为，所以，同理，因此，，又，故 说明：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法，综合法又叫顺推证法或由因导果法． 2）分析：从不等式的结构不易发现需要用哪些不等式的性质或事实解决这个问题，因此用分析法． 证明：要证，只需证，也就是要证，两边平方，只需证，只需证，该式对一切正整数都成立，所以成立． 说明：证明命题时，我们还常常从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实，从而得出要的命题成立，这种证明的方法叫做分析法．这是一种执果索因的思考和证明方法，在寻求证明思路时尤为有效． 当问题比较复杂时，时常把分析法和综合法结合起来使用．以分析法寻找证明的思路，用综合法叙述、表达整个证明过程． 在实际的证题思考过程中，执果索因和由因导果总是不断交替地出现在思维过程中． 链接：用此已经获证的不等式很容易证出一个新的不等式：例4 1）设是一个三角形的三条边长，，证明2）设，，比较与的大小 （1992年上海高考题改编）1） 证明：用分析法证不等式的前半部分．要证，只需证，即证，只需证，因为该不等式是我们熟知的已经成立的不等式，所以成立．又，同理，这样便有，也即．综上得 2）分析：用特殊值代入获得的印象是时，从开始，因此我们从作差入手，用放缩法完成全部结论． 解：（当时），所以又（当时），所以．综上可知时，；时， 说明：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种证法称为放缩法．比如说直接证明不等式比较困难，可以试着去找一个中间量，如果有及同时成立，自然就有．所谓“放缩”即将放大到，再把放大到，或者反过来把缩小到再缩小到，不等式证明的技巧常体现在对放缩尺度的把握上． 情景再现1. 设，证明2. 1）设，证明2）为任意实数，满足，求证3. 设，则的最小值=__________B类例题例5 设，满足1）2），，证明： 分析：从要证明的结论看，去分母是不可能的，因为去分母计算量太大，去分母后也无法利用已知条件．另外，应该注意已知条件2）实际上包含着个不等式，考虑到以上特点，因此用比较法，先作差． 证明：（依次类推）…，因此 说明：证题过程看似好长，实际上关键步骤只有一两个．从数学欣赏的角度看，本题已知，求证和证法合在一起，显得十分和谐优美．例6 1）证明：任何三个实数都不可能同时满足下列三个不等式：，， 2）设是实数且满足，证明、、中最多有两个数大于1 （第44届塞尔维亚和里山数学奥林匹克） 分析：要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰，于是考虑反证法． 1）证明：假设存在某三个实数同时满足题设的三个不等式，将它们的两端都同时平方，然后分别移项、分解因式得： （1） （2） （3）三式相乘得，这显然是不可能的，因此原命题成立． 说明：本题所得到的三个不等式（1）（2）（3），单独看哪一个看不出有什么毛病，而一旦把它们求积，矛盾便显现在眼前． 2）证明：假设三个数、、都大于1，由于中至少有一个是正的，不妨设，于是．同理可推得，因此都是正数．由，即，同理，，三式相乘得，此与已知矛盾，因此题目结论成立． 说明：反证法的根据是排中律，是用证明逆否命题成立来替代原命题成立．其难点在于提出与结论相反的假设后，如何合理地展开思路以便尽快凸现矛盾．例7 设数列满足，，证明 （2001年中国西部数学奥林匹克） 分析：这是一个有关正整数的命题，很自然地考虑用数学归纳法，注意到1001接近2001的一半，因此可以试着证明 （1） 证明：时，，命题成立．设时，（1）成立，即，当时，有，故对一切，（1）都成立，从而例8 1）为非负实数，，证明： 2）设，证明 分析：从1），2）的结构看，似乎分别与勾股定理、余弦定理有些联系，因此可以把题中的式子赋于几何意义，从而把复杂的代数不等式化为相应的较为简单的几何不等式． 1）证明：如图1）、都是正方形，其边长等于1，为线段上任一点，令，，则，，，（时等号成立）．又在形内任一点（含周界），，即 （或时等号成立）．BACMN2)ABCPDFE1) 2）证明：构造图形如图2），为等腰直角三角形，，，，，，据余弦定理，，，由平面几何知，即，当且仅当时等号成立． 链接：本题独到的证法不仅明快、利索，而且揭示了问题的真正内含．我们不难从中体会到这道题是如何编拟、设计出来的．例9 设非负实数满足，求证： （2020年西部数学奥林匹克） 分析：证明分式不等式，尽可能地不通分、不去分母（不得已而为之）．本题通过代换，转换为一个新命题，再用函数有关性质推断出要证结果． 证明：令，，则，且，（），，因此，当且仅当，即，（）时等号成立． 情景再现4. ，若，证明5. 若，．证明： （2020年新加坡数学奥林匹克）6. 已知数列中所有项都是正数，又设对于都有，证明对于都有． （1964年北京数学竞赛题）7. 设取正实数，且，求三元函数的最小值，并给出证明．（2020年湖南省高中数学竞赛题）C类例题例10 1）数列中对于任意正整数都有1） 试用和表示2） 当时，证明3） 当时，证明 （2020年全国高考江苏卷改编）分析：首先通过叠代求出数列的通项公式，再据通项公式发掘数列的性质．此时我们发现不大好求．因此应将适当放大，使放大后的数列既便于求和且和式的值又能命中（或接近）要证之结果．1） 解：由已知2） 证明：，由于，所以，故得．数列为单调递减， ，，于是时，这样便有所以3）证明：因为单调递减，所以，，，三式相加得，因此 说明：的表达式也可以先归纳然后用数学归纳法证明．2）和3）的证明都是通过放大构造成差分式，异曲同工．3）的技巧性更高一点．该题有其几何背景，有兴趣的读者可以查阅原题．如果用微积分方法证问题3），显得特别简单．例11 设，证明 （1993年全国联赛题改编） 分析：两边平方这条路不容易走通，根据已知条件，以及三个根式中减式均为，考察代换，将原命题转换为易证的新命题．由联想到三角公式（） 证明：令，，，其中，代入后原不等式化为要证，约去，并将上式全化为正余弦，即证，整理该式，即只需证 （*），我们来证明不等式（*）．因为，所以，（），至此原不等式获证． 链接：与本题相关的另外两个命题是，则有，（） 情景再现8. 设，且，求证9. 证明：对任意正数都有10. 求所有的实数，使得不等式对任意都成立． （2020年西部数学奥林匹克）习题十三A类1. 1）不查表证明 2），，，证明2. 成等差数列，，证明3. 设是8个给定的实数，且，，试证B类4. 1）在中，求证 2）当时，代数式的值在哪两个整数之间？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　（2002-2020芬兰高中数学奥林匹克）5. 若100个实数满足，证明6. 设，，已知对都有，证明： (第31届俄罗斯数学奥林匹克)7. 证明：不等式对所有正实数成立． （克罗里亚2020年数学奥林匹克）8. 设数列满足， （） 1）证明对一切正整数成立； 2）令（），判定与的大小并说明理由．（2020年高考重庆卷）C类9. 已知是正整数，且 1）证明 2） （2001年全国高考题）10. 已知为正实数，证明： （第20届伊朗数学奥林匹克）11. 设是正实数，求证： （2020年美国数学奥林匹克）12. 已知是不全为零的非负实数，求的最小值．本节情景再现解答1. 作差，，另一半同法可证．2. 1）分析法．要证，只需证，平方后即证此式成立．同理可证另一不等式．2）只要证，展开后即证，据已知不等式该式成立．3. ，因此所求最小值为，当时取得此最小值．4. 反证法：假设，又据已知，因此这是不可能的，因此5. ，同理（），个同向不等式相加便得．6. 用数学归纳法：我们有，故，即我们的结果当时成立．今设其当时成立，则，若，则从此容易看出．若，则由上式得，即得所证．7. 构造函数，并用函数性质．考察函数，易知为奇函数，并且当时在上单调递增．因此对于，且有．所以，对任意，有．同理可得，，三式相加得，所求最小值为08. 代换，令，由题设得，利用，有，同理有，，三式相加得原不等式成立．9. 反证法．若存在正实数使，那么就有，三式相乘得矛盾！故原不等式成立．10. 取特殊值，当时有；当时有，两者都能成立，得．下面证明 （1），对任意都成立．首先证明时，事实上，所以，，，四个不等式相加便得（1），故欲求的实数本节习题解答1. 1）要证，只要证，即证，此为显然．同法可证 2），，因此2. 令等差数列公差为，，（），注意到，所以，因此，这样便有，，，…，，将这个不等式相乘得3. ，而，因此，因此，当且仅当时等号成立．4. 1）设，则，且，，，故原不等式等价于，即，由平均不等式知，此式显然成立． 2），这样，，容易证明中，所以，即5. 证法一：注意到系数规律，将这100个不等式相加得，因此原式应为100个等式这样便有，…，将这100个等式分别平方后再相加得，因此 证法二：100个不等式应为等式，这样，于是有，依次代入得，，所以6. 易知，得，同理，，三个不等式相加便得7. 给定不等式等价于此式显然成立，原不等式得证．8. 1）证法一：当时，不等式成立．假设时，，当时，由于，故，．这就是说时，不等式也成立．故对任意正整数，成立．证法二：先证，由于，这样便有。