数学《函数的对称性与周期性》教案.docx

名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载1．函数对称性与周期性学问归纳：一．函数自身的对称性结论结论 1. 函数 y = f 〔x〕 的图像关于点 A 〔a ,b〕 对称的充要条件是 f 〔x〕 + f 〔2a － x〕 = 2b证明：（必要性）设点 P〔x ,y〕 是 y = f 〔x〕 图像上任一点，∵点 P〔 x ,y〕 关于点 A 〔a ,b〕 的对称点 P‘（ 2a－ x， 2b－ y）也在 y = f 〔x〕 图像上，∴ 2b－ y = f 〔2a － x〕即 y + f 〔2a － x〕=2b 故 f 〔x〕 + f 〔2a － x〕 = 2b ，必要性得证；（充分性）设点 P〔x0,y0〕是 y = f 〔x〕 图像上任一点，就 y0 = f 〔x 0〕∵ f 〔x〕 + f 〔2a － x〕 =2b ∴ f 〔x 0〕 + f 〔2a － x 0〕 =2b ，即 2b－ y0 = f 〔2a － x 0〕 ；故点 P 0 0‘（ 2a－ x ，2b－ y ）也在 y = f 〔x〕 图像上，而点 P 与点 P‘关于点 A 〔a ,b〕 对称，充分性得征；推论： 函数 y = f 〔x〕 的图像关于原点 O 对称的充要条件是 f 〔x〕 + f 〔 － x〕 = 0a b结论 2. 如函数 y = f 〔x〕 满意 f 〔a +x〕 = f 〔b － x〕 那么函数本身的图像关于直线 x = 2 对称，反之亦然；证明 ：已知对于任意的0令 a+ x = x' , b－x0 , x0 =y0 都有 f〔a+x"x0 〕 =f〔b － x0 〕= y0就Ａ（x' ，y0 ），Ｂ（x" ，y0 ）是函数 y=f〔x〕 上的点a b明显，两点是关于 x= 2对称的；a b反之，如已知函数关于直线 x = 2对称，在函数 y = f 〔x〕 上任取一点Ｐ（a bx0 , y0 ）那么 P （x0 ,y0 ）关于 x =对称点 P ' （a+ b－ x , y ）也在函数上2 0 0故 f〔x0 〕=f〔a+ b － x0 〕 f〔a+〔x0 -a〕〕=f〔b-〔x0 -a〕〕所以有 f 〔a +x〕 = f 〔b － x〕 成立；推论 1：函数 y = f 〔x〕 的图像关于直线 x = a 对称的充要条件是 f 〔a +x〕 = f 〔a － x〕 即 f 〔x〕= f 〔2a －x〕 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载推论 2：函数 y = f 〔x〕 的图像关于 y 轴对称的充要条件是 f 〔x〕 = f 〔 － x〕结论 3. ①如函数 y = f 〔x〕 图像同时关于点 A 〔a ,c〕 和点 B 〔b ,c〕 成中心对称（ a≠b），就 y = f 〔x〕是周期函数，且 2| a－b|是其一个周期；②如函数 y = f 〔x〕 图像同时关于直线 x = a 和直线 x = b 成轴对称 （ a≠b），就 y = f 〔x〕是周期函数，且 2| a－b|是其一个周期；③如函数 y = f 〔x〕 图像既关于点 A 〔a ,c〕 成中心对称又关于直线 x =b 成轴对称（a≠b），就 y = f 〔x〕 是周期函数，且 4| a－ b|是其一个周期；①②的证明留给读者，以下给出③的证明：∵函数 y = f 〔x〕 图像既关于点 A 〔a ,c〕 成中心对称，∴f 〔x〕 + f 〔2a － x〕 =2c ，用 2b－ x 代 x 得：f 〔2b － x〕 + f [2a －〔2b －x〕 ] =2c （* ）又∵函数 y = f 〔x〕 图像直线 x =b 成轴对称，∴ f 〔2b －x〕 = f 〔x〕 代入（ * ）得：f 〔x〕 = 2c － f [2〔a － b〕 + x] （ ** ），用 2（a－ b）－ x 代 x 得f [2 〔a － b〕+ x] = 2c － f [4〔a － b〕 + x] 代入（ ** ）得：f 〔x〕 = f [4〔a －b〕 + x], 故 y = f 〔x〕 是周期函数，且 4| a－ b|是其一个周期；二． 不同函数的对称性结论结论 4. 函数 y = f 〔x〕 与 y = 2b －f 〔2a －x〕 的图像关于点 A 〔a ,b〕 成中心对称；结论 5. ①函数 y = f 〔x〕 与 y = f 〔2a － x〕 的图像关于直线 x = a 成轴对称；②函数 y = f 〔x〕 与 a－ x = f 〔a －y〕 的图像关于直线 x +y = a 成轴对称；③函数 y = f 〔x〕 与 x － a = f 〔y + a〕 的图像关于直线 x－y = a 成轴对称；定理 4 与定理 5 中的①②证明留给读者，现证定理 5 中的③设点 P〔x 0 ,y0〕是 y = f 〔x〕 图像上任一点， 就 y 0 = f 〔x 0〕；记点 P〔 x ,y〕 关于直线 x－ y = a的轴对称点为 P‘（ x， y ），就 x－ a ，∴ x－ a 代 入 y1 1 1 = a + y0 , y1 = x 0 0 = a + y 1 , y 0= x 1 0 =f 〔x0〕之中得 x1－ a = f 〔a + y1) ∴点‘（x1， y1）在函数 x－ a = f 〔y + a〕 的图像上；P同理可证： 函数 x － a = f 〔y + a〕 的图像上任一点关于直线 x － y = a 的轴对称点也在函数 y= f 〔x〕 的图像上；故定理 5 中的③成立；推论： 函数 y = f 〔x〕 的图像与 x = f 〔y〕 的图像关于直线 x = y 成轴对称；三．三角函数图像的对称性 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载函 数 对称中心坐标 对称轴方程y = sin x 〔 k π , 0 〕 x = k π +π /2 y = cos x 〔 k π +π /2 ,0 〕 x = k πy = tan x 〔k π /2 ,0 〕 无注：上表中 k ∈ Z举例例 1：定义在 R 上的特别数函数满意： f 〔10+x〕 为偶函数，且 f 〔5 － x〕 = f 〔5+x〕, 就 f 〔x〕 肯定是（ ）(A) 是偶函数，也是周期函数 〔B〕 是偶函数，但不是周期函数〔C〕 是奇函数，也是周期函数 〔D〕 是奇函数，但不是周期函数解：∵ f 〔10+x〕 为偶函数，∴ f 〔10+x〕 = f 〔10 －x〕.∴ f 〔x〕 有两条对称轴 x = 5 与 x =10 ，因此 f 〔x〕 是以 10 为其一个周期的周期函数， ∴ x=0 即 y 轴也是 f 〔x〕 的对称轴，因此 f 〔x〕 仍是一个偶函数；应选 〔A〕例 2：设定义域为 R 的函数 y = f 〔x〕 、y = g〔x〕 都有反函数， 并且 f〔x － 1〕和 g-1 〔x －2〕 函数的图像关于直线 y = x 对称，如 g〔5〕 = 1999 ，那么 f〔4〕= （ ）；（A ） 1999； （B ） 2000； （ C） 2001； （ D） 2002 ；解：∵ y = f〔x － 1〕和 y = g -1〔x －2〕 函数的图像关于直线 y = x 对称，∴ y = g -1〔x － 2〕 反函数是 y = f〔x － 1〕，而 y = g -1〔x － 2〕的反函数是 :y = 2 + g〔x〕, ∴ f〔x － 1〕 = 2 + g〔x〕, ∴有 f〔5 － 1〕 = 2 + g〔5〕=2001 故 f〔4〕 = 2001, 应选（ C）例 3.设 f〔x〕 是定义在 R 上的偶函数， 且 f〔1+x〕= f〔1 － x〕, 当－ 1≤x≤0时，f 〔x〕 = －= 1x ， 就 f 〔8.6 〕2解：∵ f〔x〕 是定义在 R 上的偶函数∴ x = 0 是 y = f〔x〕 对称轴；又∵ f〔1+x〕= f〔1 － x〕 ∴ x = 1 也是 y = f 〔x〕 对称轴；故 y = f〔x〕 是以 2 为周期的周期函数，∴ f 〔8.6 〕 = f 〔8+0.6 〕 = f 〔0.6 〕 = f 〔 － 0.6 〕 = 0.3例 4.函数 y = sin 〔2x +5〕的图像的一条对称轴的方程是（ ）2 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载(A) x = －2(B) x = －4(C) x =85(D) x =4解：函数 y = sin 〔2x +5〕的图像的全部对称轴的方程是 2x +25= k +2 2∴x =k － ,明显取 k = 1 时的对称轴方程是 x = －2 2应选 〔A〕例 5．求证 :如 f x x R 为奇函数，就方程 f x =0 如有根肯定为奇数个；证: f x 为奇函数f 0 - f0 = f 02 f 0 =0 即 x =0 是方程 f x =0 的 根如 x1 是 f x =0 的根，即f x1=0 由奇数定义得f x1f x1 =0x1 也是方程的根 即方程的根除 x =0 外成对显现； 方程根为奇数个；练习：1．设 f〔x〕 是定义在 R 上的奇函数， 且 f〔x+2〕= － f〔x〕, 当 0≤ x ≤时1，f 〔x〕 = x ，就 f 〔7.5 〕 = （ ）〔A〕 0.5 〔B〕 －0.5 〔C〕 1.5 〔D〕 － 1.5解：∵ y = f 〔x〕 是定义在 R 上的奇函数，∴点（ 0， 0）是其对称中心；又∵ f 〔x+2 〕= － f 〔x〕 = f 〔 － x〕 ，即 f 〔1+ x〕 = f 〔1 － x〕 ， ∴直线 x = 1 是 y = f 〔x〕 对称轴，故 y = f 〔x〕 是周期为 2 的周期函数；∴ 。