特殊平行四边形中考真题专练（培优篇）.pdf
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专 题 18.42特殊平行四边形中考真题专练（ 培优篇）（ 专项练习）一、单选题1. （ 2019・ 浙江湖州•中考真题）在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点， 则这条直线平分该平行四边形的面积. 如图是由5 个边长为1 的小正方形拼成的图形，尸是其中4 个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点P 的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（）「3石2D. 7102. （ 2020•浙江台州•中考真题）把一张宽为1cm的长方形纸片ABCD折叠成如图所示的阴影图案，顶点A, D 互相重合，中间空白部分是以E 为直角顶点，腰长为2cm的等腰直角三角形，则纸片的长AD （ 单位：cm）为 （ ）A. 7 + 3应 B. 7 + 4& C. 8 + 3& D. 8 + 4收3. （ 2020•浙江・ 中考真题）四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形. 当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变. 如图，改变正方形A8CO的内角，正方形A8CO变为菱形ABCD'.若 / £MB=30 ， 则菱形ABCD的面积与正方形A B C D的面积之比是（ ）V22 4 . （ 2 0 2 0 •山东泰安・ 中考真题） 如图， 矩形A 8 C £> 中， A C , 8 。
相交于点O , 过点8作卸UAC交CD于点F,交A C于点M ,过点D作D E H B F交A B于点E,交AC于点N,连接FN, E M .则下列结论：® D N = B M ；② EM//FN ；③ A E = FC；④当A 4） 时 - ，四边形Z 5 E B F 是菱形.其中，正确结论的个数是（）EA . 1 个 B . 2 个 C . 3 个 D . 4个5 . （ 2 0 2 0 . 山东泰安•中考真题）如图，点 A , B的坐标分别为A （ 2 , 0 ） , 8 （ 0 , 2 ） ,点 C为坐标平面内一点，B C = 1 , 点 M为线段AC的中点，连接 M ，则 的 最 大 值 为 （）A . 0 + 1 B . \[1+— C . 2 > / 2 + 1 D .6 . （ 2 0 2 0 ・ 湖北恩施•中考真题）如图，正方形A B C 的边长为4 , 点 E在 A B 上且8 E = 1 , FA . 5 B . 6 C . 7 D . 87 . （ 2 0 2 0 ・ 内蒙古•中考真题）如图，在 RMABC中，Z 4 C 5 = 9 0 ° , B C > A C ,按以下步骤 作图： （ 1）分别以点A B 为圆心，以大于; A 8的长为半径作弧，两 弧 相 交 于 两 点 （ 点M 在 AB的上方）； （ 2）作直线MN交A 8于点0 , 交 BC于点£ ＞ ； （ 3）用圆规在射线上截取QE = O D .连接过点。
作O尸，A C ,垂足为F , 交 AO于点G . 下列结论：® C D = 2 G F ； @ B D2- C D2 = A C2; ®S^OE = 2S^AOG；④若 AC = 6,OF + OA = 9 , 则四边形 AD8E的周长为2 5 .其中正确的结论有（ ）A. 1个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个8. （ 2020•山东东营•中考真题）如图，在正方形A8CO中，点P 是 A 8上一动点（ 不与4 B 重合），对角线AC、8£＞ 相交于点 , 过点尸分别作AC、3 D 的垂线，分别交AC、B D 于点、E、F,交 A D 、BC 于点 M、N .下列结论：①Y A P E ^ V A M E ；② P M + P N = A C ；③PE2 + PF2 = PO-; ④APOF f B N F ；⑤点在M 、N 两点的连线上. 其中正确的是（）A . ①②@④ B . ①②@⑤ C . ①②③④@ D . ③④⑤9. （ 2021・ 安徽・ 中考真题）如图，在菱形ABCO中，AB = 2 , ZA = 1 2 0 °,过菱形ABC的对称中心分别作边A8, 8C 的垂线，交各边于点E, F, G, H ,则四边形EFG” 的周长为 （) AC. 2 +后D . l + 2 > / 31 0 . （ 2 0 2 1 •安徽•中考真题）在AABC中，Z A C f i = 9 0 °, 分别过点8 , C作 Z B A C 平分线的垂线, 垂足分别为点D, E, B C的中点是M , 连接CD, M D, M E . 则下列结论错误的是（ ）A . C D = 2 M E B . M E/ / AB C. B D = C D D . ME = MD1 1 . （ 2 0 2 1 •黑龙江绥化•中考真题） 如图所示， 在矩形纸片4 8 。
中，A B = 3 , B C = 6 , 点£ 、F分别是矩形的边4X 8c上的动点，将该纸片沿直线E F 折 叠 . 使 点 B 落在矩形边A Z ） 上，对应点记为点G,点A落在“ 处，连接星 、B G 、BE, EF与 B G 交于点、 N .则下列结论成立 的 是 （ ）① B N = AB ；②当点G与点重合时E F = 3叵 ；2o 7③ △ G N F 的面积S 的取值范围是二K S < —；4 2④当cr =，时，S wr o= -.2 A - W f c OD .②④1 2 . （ 2 0 2 1 •湖南衡阳•中考真题）如图，矩形纸片A 8 C 2 A 8 = 4 , B C = 8,点 M、N分别在矩形的边A 3 c 上，将 矩 形 纸 片 沿 直 线 折 叠 ，使点C 落在矩形的边仞 上，记为点P ,点 D 落在G处，连接PC ,交MN于点Q,连接C M.下列结论：①四边形C WPN是菱形;② 点 P与点A重合时，MN = 5；③APQ用 的面积S的取值范围是4 4 S 45.其中所有正确结论的序号是（） GA . ①②③ B . ①② C . ①③ D . ②③二、填空题13. （ 2020•云南•中考真题）已知四边形4 8 8 是矩形，点 E 是矩形ABC。
的边上的点，且EA = E C .若 AB = 6, AC = 2710 , 则 的长是— .14. （ 2020・ 四川绵阳•中考真题）如图，四边形ABCD中，AB〃CD, ZABC=60°, AD=B C = C D = 4 ,点 M 是四边形ABCD内的一个动点，满足/A M D =90 ，则点M 到直线BC15. （ 2020•辽宁盘锦・ 中考真题）如图，菱形A8C的边长为4, ZA = 4 5 °,分别以点A和点B为圆心，大 于 也 的 长 为 半 径 作 弧 ，两 弧 相 交 于 两 点 ，直线交 皿 于点E ,16. （ 2020•内蒙古鄂尔多斯•中考真题）如图，已知正方形A B C D ,点 M 是边BA延长线上的动点（ 不与点A 重合） ， 且 AM .以 上 结 论 正 确 的 有 （ 把所有正确结论的序号都填上）.1 7 . （ 2 0 2 0 •辽宁葫芦岛•中考真题）一张菱形纸片A B C D 的边长为6 c m , 高AE等于边长的一半， 将菱形纸片沿直线脑V 折叠， 使点A与点B重合， 直线MN交直线C O于点尸， 则 尸的长为 c m .1 8 . （ 2 0 2 0 ・ 西藏•中考真题）如图，在矩形ABC D 中，E为 AB的中点，P为 BC 边上的任意一点，把 △尸庄沿 P E 折叠，得到△ P 3 E , 连接C F . 若 A B = 1 0 , B C = 1 2 , 则 C F的最小1 9 . （ 2 0 2 1 ・ 云南・ 中考真题）已 知 的 三 个 顶 点 都 是 同 一 个 正 方 形 的 顶 点 ，N A 3 C 的平分线与线段A C交于点 若的一条边长为6, 则点D到直线A B的距离为.2 0 . （ 2 0 2 1 . 天津•中考真题）如图，正 方 形 的 边 长 为 4,对角线A C, B £ ＞相交于点0 ,点 E , 尸分别在8 C, 8 的延长线上， 且 CE = 2 , 。 尸= 1 , G为 所 的 中 点 ， 连接 E,交 C D 于点 “，连接G"，则G ”的长为. 2 1 . （ 2 0 2 1 . 浙江杭州. 中考真题）如图是一张矩形纸片ABC O,点M 是对角线AC 的中点,点E在 边 上 ，把沿直线D E折叠，使点C 落在对角线AC 上的点尸处，连接 尸 ,E F . 若 M F = A B ,则 度.2 2 . （ 2 0 2 1 . 辽宁丹东•中考真题）如图，在矩形A 6 c o 中，连接8 过点C 作 N O 8 C 平分线班的垂线，垂足为点E,且交8 于点尸 ；过点C 作N B Z X 7 平分线 ”的垂线，垂足为点H ,且 交 于 点G ,连接HE, 若 8 c = 2&， C 0 ， 则线段H E的长度为.2 3 . （ 2 0 2 1 . 辽宁盘锦•中考真题）如图，四边形A 8 C为矩形，A B = 2 6 , 4 2&，点 P为边A B 上 一 点 . 以 P为折痕将△£ > ” 翻折，点A的对应点为点A ：连结4 V , A 4 ,交 PD于点M,点 为线段8 c 上一点，连结A Q , M Q ,则 AQ+ MQ的最小值是2 4 . （ 2 0 2 1 . 四川绵阳•中考真题）如图，在菱形A B C。 中，Z 4 = 60 ，G为 AO中点，点£在 BC 延长线上，F 、V 分别为C E、G E 中点，Z E H F = Z DGE, CF = V 7 ,则 A 8 =三、解答题2 5 . (2 0 2 1 . 甘肃武威•中考真题)问题解决：如 图 1 , 在矩形A B C 3 中，点E/ 分别在A B , 8 c边上，D E = A F , D E L A F 于点、 G .( 1 ) 求证：四边形A B C是正方形；( 2 ) 延长C B 到点使得= 判断△! /小的形状，并说明理由.类比迁移：如图2,在菱形488中，点 E , 尸分别在A 8 , 8 C边上， D E与 A 尸相交于点G ,D E = A F , Z A E D = 6 O°,AE = 6 ,BF = 2,求 E的长.图1图22 6. (2 0 2 1 •广西来宾•中考真题)【 阅读理解】如 图 1 , lt/ /l2, AABC的面积与△ O B C 的面 积相等吗？为什么？图1解：相等，在AABC和△O5C中，分别作AE_LD F 112,垂足分别为E, F.:.ZAEF = Z D F C = 90° ,AE//DF.Q“ 〃2 ,四边形AEED是平行四边形,:.AE^DF.又 Sv 瓯= ；B C A E , SMBC/BC D F ,S/XA8C = S^DBC ■【 类比探究】问题①，如图2 ,在正方形ABCD的右侧作等腰△CDE, C E = D E , AD=4,连接A E ,求 △相＞£ 的面积.解：过点E作 瓦'LCD于点尸，连接A尸 .请将余下的求解步骤补充完整.【 拓展应用】问题②，如图3 ,在正方形ABCD的右侧作正方形CEFG,点B, C, E在同一直线上，A D = 4 ,连接8。 BF, D F ,直接写出ABDF的面积. 27. (2021•辽宁盘锦•中考真题) 如图， 四边形ABCO是正方形， △ ECF为等腰直角三角形,/ECF=90 ，点 E 在 8C上，点尸在C£＞ 上，N 为 所 的 中 点 ，连结N A ,以NA, NF为邻边作口人阳^ . 连结D G , D N M R t 4 EC尸绕点C顺时针方向旋转， 旋转角为a (00＜ a ＜ 360°).( 1) 如 图 1 , 当a =0 时，D G与D N的关系为；( 2 ) 如图2 , 当0＜ 45 时，(1 ) 中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；(3)在 / ? / △ ECF旋转的过程中， 当M N”的顶点G 落在正方形ABCD的边上， 且 4B= 12,EC=5及 时 ，连结G N ,请直接写出GN的长.28. (2021 •甘肃兰州•中考真题) 已知正方形ABCE ,尸为平面内两点. 【 探究建模】( 1 )如 图1 ,当点E在边A B上时，D E 1 D F ，且5 , C ,尸三点共线. 求证：A E = C F ；【 类比应用】( 2 )如图2 ,当点E在正方形A B C D外部时，D E 1 D F ，A E 1 E F ,且E , C ,尸三点共线. 猜想并证明线段A E , CE, O E之间的数量关系；【 拓展迁移】( 3 )如图3 ,当点E在正方形A 8 C D外部时，A E L E C , AEJ.AF, D E ± B E ,且 £ > , F ,E三点共线，D E 与 A B 交于G 点 、 .若 £ > 尸=3 , AE = g，求C E的长.参考答案 I. D【 解析】【 分析】根据中心对称的性质即可作出剪痕，根据三角形全等的性质即可证得EM=DN,利用勾股定理即可求得.【 详解】如图，EF为剪痕，过点尸作FGLEA/于G.V E尸将该图形分成了面积相等的两部分，EF经过正方形A8CD对角线的交点，/. AF = CN,BF = DN.易证APME经APZW ,，EM = DN ,而 AF = MG,，EG = EM + MG = DN+AF = DN + CN = DC = \.在 RfAFGE 中，EF = yjFG2 + EG2 =A/32 + 12 = VK)故选D.【 分析】本题考查了图形的剪拼，中心对称的性质，勾股定理的应用，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键.2. D【 解析】【 分析】 如图， 过点M作MH±A'R于H ,过点N作NJ±A'W于J .想办法求出AR, RM,MN, NW, WD即可解决问题.【 详解】解：如图，过点M作MH_LAR于H ,过点N作NJ_LA，W于J. 山题意△ EMN是等腰直角三角形，EM=EN=2, M N =20• • •四边形EMHK是矩形，EK= A'K=MH= 1, KH=EM=2,VARM H是等腰直角三角形，.,.RH=MH=1, R M = 0 ,同法可证 N W =& ,题意 AR=R A，= A，W=WD=4,AD=AR+RM+MN+NW+DW=4+ 〃 + 2必 正 +4= 8 + 4夜.故答案为：D.【 分析】本题考查翻折变换，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形或特殊四边形解决问题.3. B【 解析】【 分析】如图，连接D D ', 延长C' D '交 A D 于E , 由菱形ABC' D，, 可得AB〃C' D ',进一步说明/E D ' D=30。 , 得到菱形AE=^AD;又由正方形ABCD,得到AB=AD,即菱形的高为 A B的一半， 然后分别求出菱形ABC' D '和正方形ABCD的面积， 最后求比即可.【 详解】解：如图：延长 D '交 AD 于 E；菱形 ABC' D'： .AB//C' D'V ZD / AB=30°.'./A D ' E = /D ' AB=30°.\AE=yAD又；正方形ABCD.： AB=AD,即菱形的高为A B的一半菱形ABCO的面积 为 : 4 犷 ，正方形A8C£＞ 的面积为4 4 .，菱形4 8 c o 的面积与正方形A B C D的面积之比是3 .故答案为B. 【 分析】本题主要考出了正方形的性质、菱形的性质以及含30 直角三角形的性质，其中表示出菱形ABC的面积是解答本题的关键.4. D【 解析】【 分析】通过判断△ AND丝ACM B即可证明①，再判断出△ ANETZ\CMF证明出③，再证明出△ N F M ^^M E N ,得到/FN M =N E M N ,进而判断出②，通 过 DF与 EB先证明出四边形为平行四边形，再通过三线合一以及内角和定理得到NNDO=NABD=30。 ，进而得到D E=B E,即可知四边形为菱形.【 详解】VBF1ACZBMC=90°又；DE//BF：.ZEDO=ZMBO, D E I ACZ. ZDNA=ZBMC=90°• • •四边形ABCD为矩形，AD=BC, AD〃BC, DC/7AB； ./A D B =/C B DZADB-ZEDO=ZCBD-ZMBO 即 ZAND=ZCBM在 A AND 与 ACMB乙 DNA = ZBMC = 90°V /AND = NCBMAD = BCAAND^ACMB(AAS).,.AN=CM, DN=BM ,故①正确. VAB/7CD.".ZNAE=ZMCF又, / ZDNA=ZBMC=90°/ANE=/CM F=90在△ ANE与ACM F中NANE = NCMF = 90■：， AN = CMANAE = ZMCF.'.△ANE^ACMF (ASA)； .NE=FM, A E=C F,故③正确.在△ NFM与△ MEN中FM = NE•： - ZFMN = ZENM = 90°MN = MN.'.△NFM^AMEN (SAS)ZFNM=ZEMN； .NF〃E M ,故②正确.VAE=CF； .DC-FC=AB-AE,即 DF=EB又根据矩形性质可知DF〃EB. . . 四边形DEBF为平行四边根据矩形性质可知OD=AO,当 AO=AD时; 即三角形DAO为等边三角形ZADO=60°又 YDN^AC根据三线合一可知ZNDO=30°又根据三角形内角和可知/ABD=18(T-/DAB-/ADB=30。 故 DE=EB. . . 四边形DEBF为菱形，故④正确.故①②③④正确 故选D.【 分析】本题矩形性质、全等三角形的性质与证明、菱形的判定，能够找对相对应的全等三角形是解题关键.5. B【 解析】【 分析】如图所示，取 A B的中点N , 连接ON, M N ,根据三角形的三边关系可知OM A ? = o尸 2 + ,求出OA=5得到AB=10, BC=8,再根据切》-CD? = AC? ，求出25BD=— , 即可判断④.4【 详解】由题意知：M N 垂直平分AB,，OA=OB, ED1AB,VOD-OE,，四边形ADBE是菱形，V O F L AC, 4 c B = 90 ，；.OF〃BC, AF=CF,AFG是A ACD的中位线，: . CD = 2 GF ,故①正确：:四边形ADBE是菱形，；.AD=BD,在 RS ACD 中，A D2- C D2 = A C2,，BD- - C D2 = A C2,故②正确；：FG是A ACD的中位线，. . . 点G 是 A D 的中点，,. S.Aoo = 2sM0 c，• = S«BOE，„BOE = 2S“ oc，故③正确；VAC=6,，AF=3,设 O A =x,则 OF=9-x,OA2 = O F2 + A F2,A x2 = (9-x)2+32,解得x=5, .*.AB=10,ABC=8,,: BD2-C D2 =AC2.：. BD2-(8-B £))2=62,解得B D =253 ,425，四边形4DBE的周长为- ^ '4 = 25.4故选：D.【 分析】此题考查/ 线段垂直平分线的作图方法，菱形的判定及性质定理，勾股定理，三角形的中位线的判定及性质，三角形中线的性质，这是一道四边形的综合题.8. B【 解析】【 分析】①根据题意及正方形的性质，即可判断VAPE史 4W E；②根据VAP比 V4WE及正方形的性质，得 ME=EP=AE= 1 M P ,同理可证PF=NF=yNP,根据题意可证四边形OEPF为矩形， 则OE=PF,则OE+AE=PF+PE=NF+ME=AO, A O =| AC,故证明PM + PN = AC；③根据四边形PEOF为矩形的性质，在直角三角形OPF中，使用勾股定理，即可判断；④ABNF是等腰直角三角形，而 P 点是动点，无法保证APOF是等腰直角三角形，故④可判断；⑤连接MO、N O ,证明OP=OM=ON,根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，即可证明.【 详解】• • •四边形ABCD正方形，AC、BD 为对角线，； ./M AE=/EAP=45°,根据题意 MP_LAC,故NAEP=NAEM=90。 ， NAME=NAPE〃5 ，在三角形VA PE与AA M E中，ZAEP = ZAEM■ AE=AEZEAP = ZEAM 故①正确；.,.AE=ME=EP=gMP,同理，可证aPBF丝△NBF, PF=FN=yNP,Y 正方形ABCD中，AC1BD,又门 \ 1_1_八 （ 2, PN±BD,Z PEO= Z EOF= Z PFO=90°,四边形PEOF为矩形，，PF=OE,OE+AE=PF+PE=NF+ME=AO,XVME=PE=1MP,FP=FN=1NP, OA= |AC,PM+PN=AC,故②正确；• . •四边形PEOF为矩形，； .PE=OF,在直角三角形OPF中，O F2 + PF2 = P O2,PE2 + PF2 = P O2，故③正确；•••△BNF是等腰直角三角形，而 P 点是动点，无法保证APOF是等腰直角三角形,故④错误；连接MO、NO,在AOEM和AOEP中，O E = 0E- N O E M = N O E PE M = EP.,.△OEM^AOEP, OM=OP,同理可证△ OFP丝△OFN, OP=ON,又：/MPN=90°,OM=OP=ON, ，M,N,P在以O为圆心，OP为半径的圆上，又•； NMPN=90。 ，AMN是圆O的直径，. •. 点在M、N两点的连线上.故⑤正确.故选择B.【 分析】本题主要考查儿何综合问题，掌握正方形、矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解答本题的关键.9. A【 解析】【 分析】 依次求出OE=OF=OG=OH,利用勾股定理得出E尸和0E的长，即可求出该四边形的周长.【 详解】'：HFA_BC,EG±AB.： ./BEO=NBFO=96°,' ：ZA=120°,ZB=60°,：.ZEOF=\20°, NEOH=60 ,由菱形的对边平行，得 ，FL A ,EG , CO,因为点是菱形ABCD的对称中心，•••0点到各边的距离相等，即OE=OF=OG=OH,： .Z OEF= N OF£=30°, Z OEH= Z OHE=60°,N HEF= N EFG= N FGH= N EHG=90°,所以四边形EFGH是矩形；设 OE=OF=OG=OH=x,：.EG=HF=2x, EF = HG = --=后,如图，连接A C ,则AC经过点O,可得三角形ABC是等边三角形，ZBAC=60°, AC=AB=2, AOA=1,ZAOE=30°,：.AE=~,2.'.x=OE==x/3~~T. ••四边形 E F G H 的周长为 EF+FG+GH+HE= 2 c x + 2x = 2>/3x^l + 2 x ^ = 3+ 73 .2 2故选A.【 分析】 本题考查了菱形的性质、 矩形的判定与性质、 等边三角形的判定与性质、 勾股定理、直角三角形的性质等内容， 要求学生在理解相关概念的基础上学会应用， 能分析并综合运用相关条件完成线段关系的转换，考查了学生的综合分析与应用的能力.10. A【 解析】【 分析】 设 4 )、 BC交于点”， 作于点F ,连接E F .延长AC与 8力并交于点G .由题意易证^CAE=^FAE(SAS), 从而证明ME为VCBF中位线， 即ME//AB , 故判断B 正确；又易证AAGD=AABE>(ASA),从而证明。 为 8G 中点. 即利用直角三角形斜边中线等于斜边一半即可求出 8 = 8£> ,故判断C 正确； 由N/7DM + / / 汨M =90 、 / 〃 CE+NCHE = 90 和N D H M = A C H E 可证明 N H D M = N H C E .再由 N H E M + Z E H F = 90°、Z E H C = Z E H F 和NEWC+N〃 CE = 90 可推出 Z H C E = Z H E M ,即推出 ,即 = 故判断D 正确；假设C» = 2 M E ,可推出CD = 2M E>,即可推出NDCM =30 .由于无法确定ZDCM的大小，故CD = 2ME不一定成立，故可判断A 错误.【 详解】如图，设 AB C 交于点H ,作于点F , 连接E F .延长AC与 并 交 于 点 G. 是 ZBAC 的平分线，HF 1. AB, HC1AC,：.HC=HF,：.AF^AC.AF = AC.•.在 VC4E 和 中，, /C A E =/ 网后，AE = AE： .^CAE^FAE(SAS),CE = FE, ZAEC=ZAEF=90°,A C , E、尸三点共线,，点 、E为CF中点.•••M为8 c中点，:.ME为V C R F中位线，:.MEH A B ,故B正确，不符合题意；'ZGAD = NBAD,：在△AG£> 和 AABD 中，， AD=ADNAOG = 4 0 8 = 90°" G O 三AABO(ASA),：.GD = BD = -BG , 即 O 为 8G 中点.2•.,在 ABCG 中，ZBCG = 90° ,：.CD = -BG ,2：.CD = B D ,故C正确，不符合题意；ZHDM + ZDHM = 90° , ZHCE+ZCHE = 90°, ZDHM = ACHE , N H D M = ZHCE.V H F L A B ，MEI I AB,/. H F A. ME,： .A H E M + Z E H F = 90° .是ZBAC的平分线，/. Z E H C = ZEHF.' ：N E H C + N H C E = 9 0。 ,： .Z H C E = Z H E M ,Z H D M = A H E M ,:• M D = M E ,故D正确，不符合题意；• . •假设 CO = 2ME,C D = 2 MD,. , . 在 R/ACDM 中，Z D C M = 30° .• . •无法确定4 0/的大小，故原假设不一定成立，故A错误，符合题意.故选A.【 分析】本题考查角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，三角形中位线的判定和性质以及含30 角的直角三角形的性质等知识，较难. 正确的作出辅助线是解答本题的关键.11. D【 解析】【 分析】①根据题意可知四边形BFGE为菱形，所以EF_LBG且BN=GN,若BN = A B ,则BG=2AB=6,又因为点E是A D边上的动点，所以3 时，最小面积S = ；S 菱 形C MP S =；x4x4 = 4 ,当尸点与A点重合时，S 最大为S = l x5x4 = 5 ,得出答案.4【 详解】解：① 如 图 I ,图1 PM PCN,：. "M N = ZMNC,, • •折叠，ZMNC=ZPNM , NC=NP：. 4PMN = ZPNM ,PM = PN,:.PM=CN,：. MP//CN,四边形CNPM为平行四边形，•/ CN = NP,，平行四边形CNPM为菱形，故①正确，符合题意；②当点尸与A重合时，如图2 所示图2设 BN = x ,则 AN = MC = 8— x ,在心AA3N 中，AB2 + BN2 = AN2,即4? + / = ( 8 -X)2 ,解得：x = 3,CN =5, AC = si AB2 + BC2 = 4>/5 .CQ = ^AC = 245 ,又：四边形CNPM为菱形，:. ACLMN , R.MN = 2QN , ，QN = ^CN2-CQ1 =45：. MN = 2QN = 2 M ,故②错误，不符合题意.③当M N过点、时，如图3所示:(M)图3此时，C N最短，四边形C M / W的面积最小，则S最小为S = ； 5菱 次9s = ；x4x4 = 4,当P点与A点重合时，C N最长，四边形C M P N的面积最大，则S最大为S = !X5X4 = 5,/ . 4< S < 5,故③正确，符合题意.故答案为：①③.【 分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、折叠问题、勾股定理的综合应用，熟练掌握菱形的判定定理与性质定理、勾股定理是解决本题的关键.1 3 . B或空3 3【 解析】【 分析】 根据E 4 = E C ,则E在A C的中垂线上， 作A C的中垂线交DC4 8于耳, 巴，交A C于。 所以：如图的昂当都符合题意，先证明四边形A E °E 2是菱形，再利用菱形的性质与勾股定理可得答案.【 详解】解： -.EA = EC,二 .E在A C的中垂线上，作A C的中垂线交CAB于£ , E2,交A C于 所以：如图的 心 当 都符合题意，・ .•矩形4BCDAB//DC..・.NCEQ = /AE2 ,・ ・ • 04 = 0C, ZA0E2 = /COE1,.,.△A0E旁 ACOE],0E2 = 0Ex,- OA = OC,AC±ElE2,四边形AgCG是菱形，/. AE{ = E、C = CE)= A区，- ：AB = 6, AC = 2 M ，ZABC = 90° ,BC = ^( 2Vl(j)2-62 =V4 = 2,;.AD = 2,设 DE、= x ,则 CE( = AE[ = 6 — x,.-.(6-JV)2=X2 + 22,AC, _ _ j 8_10..AE2 = AE} = 6 -- =—, DE2EI故答案为： | 或 返 .3 3【 分析】本题考查的是矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理的应用，线段的垂直平分线的性质，掌握以上知识是解题的关键.14. 36-2【 解析】【 分析】取 AD的中点O , 连接0 M ,过点M 作 M ELBC交 BC的延长线于E , 点点。 作OF_LBC于 F , 交 C D 于 G , 则 OM+MENOF.求出OM, O F即可解决问题.【 详解】解: 取A D 的中点0 , 连接0 M ,过点M 作 M E1BC交 BC的延长线于E ,点点0 作 OF_LBC于 F , 交 CD 于 G , 则 OM+MEX5F.VZAM D=90°, AD =4, OA=OD,.•.0M =yA D =2,；AB〃CD,，N G C F=/B =60°,； ./D G O = /C G E = 30°, ；AD=BC,.•.ZD AB=ZB=60°,...NADC=NBCD=120°,...NDOG=3( r=N D G O ,； .DG = DO=2,VCD=4,； .CG=2,.• .0 G = 2 6 ，G F = G ，0 F = 3 6 ,.♦.MENOF- 0 M = 3 6 - 2,. . . 当O, M, E 共线时，M E的值最小，最小值为36-2.【 分析】本题考查解直角三角形，垂线段最短，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型.15. 2 6【 解析】【 分析】连接B E ,由垂直平分线的性质和等腰直角三角形的性质，得 BE=AE=2夜 ， 再得NEBC=90。 ，利用勾股定理即可求出C E的长度.【 详解】解：连接B E ,如图：山题意可知，M N垂直平分AB,； .AE=BE,NEBA = ZA = 45°, 则ZAEB=90°,在等腰直角三角形ABE中，AB=4,.'.BE=AE=2>/2，；四边形ABCD为菱形，AAD/7BC, ••.ZEBC=ZAEB=90°,在 RtZkBCE中，由勾股定理，则CE =也 ? + ( 2扬 2 = 2 屉；故答案为：2面 ■【 分析】 本题考查了菱形的性质， 垂直平分线的性质， 勾股定理， 等腰三角形的判定和性质,解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确得到NEBC=/AEB=90 .1 6 .①②③④【 解析】【 分析】①正确. 证明NADM=30 ，即可得出结论.②正确. 证明ADHM是等腰直角三角形即可.③正确. 首先证明四边形CEMD是平行四边形，再证明，DM >CD即可判断.④正确. 证明NAHMVNBAC=45 ，即可判断.【 详解】解：如图，连接DH, HM.由题可得，AM=BE,.\AB=EM =AD,, 四边形ABCD是正方形，EH1AC,； .EM=AD, ZAHE=90°, NMEH = NDAH=45°= NEAH,A EH= AH,.'.△MEH^ADAH (S A S ),； ./M H E = /D H A , MH = DH,.,.ZMHD = ZAHE=90°, ADHM是等腰直角三角形，.•.D M =V ^H M ,故②正确；当NDHC=60。 时，ZADH=60o-45°=15°, .".ZADM =45°- 15°=30°,...Rt^ADM 中，DM=2AM,即 D M =2B E ,故①正确；：CD〃EM, EC//DM,. . . 四边形CEMD是平行四边形，VDM>AD, AD=CD,••.DM>CD,四边形CEMD不可能是菱形，故③正确，: 点 M 是边BA延长线上的动点（ 不与点A 重合），且 AMVAB,ZAHM ，则NA8C的平分线为正方形ABCD的对角线，D 为对角线交点,过点/） 作垂足为凡当 AB=BC=6,则 DF=^BC=3；当 AC=6f则 A8=8c二 % ; 3 五.•. 尸 =工8 = 逑；2 2如图，若N8AC=90 ，过点作J_8c于尸，：8平分 N ABC,:.NABD=NCBD, AD=DF,又 NBA庆/BFD=90 , BD=BD,:.△BAD*ABFD (A A S),：.AB=BF,当 AB-AC-6,则 / =用+62=6后BF=6, CF= 6& - 6，在正方形48EC 中，ZACB=45°,丛CDF是等腰直角三角形，则 CF=DF=AD=6丘-6 ：当 BC=6,则 AB= AC = ^ = 3\[2，同理可得:6 -3 立 ， 综上：点 到直线AB的距离为：3 或 迈 或 65历- 6 或6 - 3 0，故答案为：3 或 浮 或 6 0 - 6 或6-3夜.【 分析】本题考查了正方形的性质，角平分线的定义，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，知识点较多，解题时要结合题意画出符合题意的图形，分情况解答.2 0 .叵2【 解析】【 分析】先作辅助线构造直角三角形，求 出 C” 和 M G的长，再 求 出 的 长 ，最后利用勾股定理求解即可.【 详解】解: 如图， 作 OKJ_8C,垂足为点K,• • •正方形边长为4,：.OK=2, KC=2,：.KC=CE,., •。 ”是^ OKE的中位线CH=-OK = \,2作 G M LC d 垂足为点M,: G点为EF中点,...6加是八尸CE的中位线，GM=^CE = 1, M C = ^ F C = 1 ( C Z ) + £ > F ) = ^ x( 4 + l) = |,5 3：.MH = MC-HC = 一一1 = - ,2 2 在 R t4 M H G 中,G H = \lM H2 + MG2 =故答案为：叵2【 分析】本题综合考查了正方形的性质、三角形中位线定理、勾股定理等内容，解决本题的关键是能作出辅助线构造直角三角形， 得到三角形的中位线， 利用三角形中位线定理求出相应线段的长，利用勾股定理解直角三角形等.21. 18【 解析】【 分析】连 接 设 利 用 折 叠 与 等 腰 三 角 形 的 性 质 ，用 x 的代数式表示出ZADC= 9 0° ,列出方程解方程即可.【 详解】连接设ND4F=x根 据 矩 形 的 基 本 性 质 可 知AD/ / BC, ZBCD= ZADC= 9 0°/ . ZM DA= ZDAF= x, Z A C B = Z D A C = x：.ZDM F= 2 x•••△ 。 七折叠得到4 DFE： . DF= CD= ABf D E L FC, Z F D E = Z C D E又 M F= AB： ・M F = D F： . / M DF= 2 xV ZBCD=ZACB+ZACD=90°, ZEDC+ZFCD=90°J Z C D E = Z A C D = x：.Z F D E = Z C D E = x NADC= NADM+NMDF+ Z FDE+ Z CDE=x+2x+x+x=5x=90°.•.x=18°故 ND4F=18°故答案为18.【 分析】本题考查了矩形的折叠问题，能够做出合适的辅助线用ND4F表示出NAQC是解题关键.223--丽j 2【 解析】［ 分析］ 先证明 ABE8ABEF , 可得 CE=FE, 8 /= 8C = 2 & ，同理：CH=GH, DG= CD =近,从而得，E=； G F ,再利用勾股定理得加” 而，进而即可求解.【 详解】解：；8£平 分 / ，NCBE=NFBE,'：CF±BE,： .NBEC=NBEF=90°,又 "： BE=BE,^BEC=^BEF,:.CE=FE, BF= BC = 2尤同理：CH=GH, DG=CD = O ,是ACG尸的中位线，：.HE=-GF,2；在矩形 A8CO中，BC = 2近 ,CD = O , BD= 7BC2 + CD2 = V10，GF= BF+ DG-BD= 3^2 - V1O ,... HE. 3 6 -M2【 分析】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，中位线的性质，推出“ E 是A C G F的中位线，是解题的关键.23. 4>/2【 解析】【 分析】如图，作点A 关于BC的对称点T , 取 4。 的中点R , 连接87, QT, RT, R M .想办法求出KM, R T ,求出例T 的最小值，再根据0A + QA/=QM +Q7^M T,可得结论.【 详解】解：如图，作点A 关于8 c 的对称点T,• . •四边形ABCO是矩形，ZRAT=90°,,:AR=DR=五 ,AT=2AB=4y/3 ,RT= V/V?2 + AT2 = 7( V2)2+(4V3)2 = 5夜 ,VA, 4 关于 P 对称，：.AA'±DP,：. ZAMD=90°,,: AR=RD,: .R M * A D = 4 i，'：MT>RT-RM,：.MT>4^2, •••MT的最小值为4应 ，QA + Q M = Q T + QM>MT,： .QA+QM>4^2 ,AQA+QM的最小值为4亚.故答案为：4 0 .【 分析】本题考查翻折变换，矩形的性质，解宜角三角形等知识，解题的关键是求出何了的最小值，属于中考常考题型.24. 4【 解析】【 分析】连接C G ,过点C作CM LA /),交 的 延 长 线 于M ,利用平行线的性质和三角形中位线定理可得 CG= 2 HF= 2, 由 AB// CO,得 N C D M = NA= 60°,设 D M = x,则 C A 2 x,C M = 6X, 在心ZkCMG中，借助勾股定理得C G = [ G M2 + C M 。 = = 2 不，即可求出x的值，从而解决问题.【 详解】如图，连接C G ,过点C作CM LAO,交AD的延长线于M,, : F 、，分别为CE、G E 中点,• . F H 是公CEG的中位线，： .HF=^CG,• • •四边形ABC是菱形，AD//BC, AB//CD,Z.DGE = Z.E,• ・ • 4EHF= /DGE,NE=NEHF, ： .HF= EF=CF,CG= 2 HF = 2币,:.AB 11 CD,・ • . N C D M = Z A = 6 0 ° ,设 D M = x ,则 CD= 2 x, C M- > / 3 x,・ ・ •点G为 AD的中点,A D G = xf G M = 2 x,在即aCMG中，由勾股定理得：C G =』G M、CM2 =y[ix = 2 币,•'-x=2 ,AB = CD= 2 x= 4 .故答案为：4 .【 分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，有一定综合性，作辅助线，构造直角三角形，利用方程思想是解题的关键.2 5 .问题解决： （ 1 ）见解析； （ 2 ）等腰三角形，理由见解析；类比迁移：8【 解析】【 分析】问题解决： （ 1 ）证明矩形A 8 c 。 是正方形，则只需证明一组邻边相等即可.结合D E ± A F和Z D A E = 9 0 °可知N B A F = Z A D G,再利用矩形的边角性质即可证明^ A B F ^ D A E ,即 4 ? = AO,即可求解；（ 2 ）由 （ 1 ）中结论可知A E = 3F,再结合己知3 / / = AE,即可证明,从而求得ZWm 是等腰三角形；类比迁移：由前面问题的结论想到延长C 8 到点”，使得8 〃 = 4 E = 6,结合菱形的性质，可以得到A A B H W A I M E , 再结合已知/回 =6 0 可得等边 W / r ， 最后利用线段B F 长度即可求解.【 详解】解：问题解决：（ 1 ）证明：如 图 1,：四边形A 8 C D 是矩形，:.ZABC = A D A B = 90° .:.ZBAF + Z G A D = 90°. ・ ・ ・ DE _L A尸 , . . . ZADG + ZGAD = 90 .ZBAF = ZADG.图 1又・. , AF = DE,；.AABF^ADAE,:. AB = AD .，矩形ABC。 是正方形.(2) △A /m 是等腰三角形.理由如卜：v AB = AD, ZABH = NDAE = 90°, BH = AE ,:.&ABH义&DAE,:. AH = DE .又• 「 OE = ，A” = AF , 即zMWF是等腰三角形.类比迁移：如图2 , 延长CB到点，，使得3 " = AE = 6 , 连接AH.• . •四边形A 6 a ＞ 是 菱形，/. AD 〃 BC, AB = AD,.\ ZABH = ABAD .•/ BH = AE,:. W B H A D A E .AH = DE, ZAHB = ZDEA = 60°.图 2又•jDE = AF,:. AH = AF .ZAHB = 60°,:.^AHF 是等边三角形，:.AH = HF,:.DE = AH = HF = HB + BF = 6+2 = 8.【 分析】本题考查正方形的证明、菱形的性质、三角形全等的判断与性质等问题，属于中档 难度的几何综合题.理解题意并灵活运用，做出辅助线构造三角形全等是解题的关键.2 6 .① 八 " £ = 4 ；② S,皿. =8 .【 解析】【 分析】 ①过点E 作_LCD于点F , 连接Ak , 可得所 〃 4 ) , 根据材料可知S ^ADE = SMF ,再由等腰三角形性质可知。 尸= g C D ,即可求出②连接C E ,证明BD〃C E ,即可得5,即「 =5 / 4，由此即可求解.【 详解】解：①过点E 作 EFLC D 于点F , 连接A尸，, 在正方形 A8C中，Z A D C = 9 0° ,EF/ / AD.•・ • °q ^ADE ―~ 0q ^ADF，•: CE = DE, E F L C D ,： . D F = - CD,2, / 在正方形ABC中，A D = C D = 4 ,SAAOE = %AOF = ；AO*OF = ；X4X2 = 4；②5 "力尸8 ,过程如下：如解图3 , 连接CE, 丫在正方形A B C正方形CE F G中，，NBDC = NFCG = 4 5 ,： .CF/ / BD,■ c ― q, • - * “BDC，•在正方形 A B C中，AD = BC = CD = 4 , Z B C D = 9 0°,♦ • • "
G L O N ； ( 2 )成立，理由见解析；( 3 ) G N = 7&或 1 3五【 解析】【 分析】( 1 )如图1中，连接A E , AF, CN.证明△ GAD咨4 N C D ( 5 A S) ,推出DG= DN,N A D G = N C D N ,推出 N G £ W= / A CC= 9 0 ，可得结论；( 2 )如图2中， 作直线E F交A Z)于J ,交B C于K ,连接C M证明△ G A丝△N CO ( SA S) ,推出 D G = D V, Z A D G = Z C D N ,推出N G D V= / A CC= 9 0 ，可得结论；( 3 )分两种情形：如图3 - 1中，当点G落在A D上时，如图3 - 2中，当点G落在A 8上时，分别利用勾股定理求出G N即可.【 详解】解：( 1 )如 图1中，连接A E , AF, CN. G图1丁四边形ABC是正方形，：.AB=AD=CB=CDf 广=90 ，*：CE=CF,:・BE=DF,/\ABE^/\ADF (SAS),：.AE=AFf*：EN=NF,：.ANA.EFf CN=NF=EN,■: CE=CF, EN=NF,：・CN工EF,A A, N, C 共线，丁四边形ANFG是平行四边形，ZANF=90°,・• ・四边形ANFU是矩形，:・AG=FN=CN, ZGA/V=90°,VZDCA=ZDAC=45°,:.NGAD=/NCD=45。 ,:•△GADmXNCD (SAS),:・DG=DN, NADG=/CDN,： .ZGDN=ZADC=90°f:,DG1DN, DG=DN.故答案为：DG上DN, DG=DN；( 2 )结论成立.理由：如图2中，作宜线E/ 交4于 人交BC于K ,连接V . 图2V 四边形ANFG是平行四边形，J.AG//KJ, AG=NF,： .ZDAG=ZJ,： .NJ=NCKE,•：CE=CF, EN=NF,:・CN=NE=NF=AG, CN1EF,： ./ECN=/CEN=45 ,：. N EKC+ N ECK= N ECK+ N DCN,： .ZDCN=ZCKEf： .ZGAD=ZDCN,•：GA=CN, AD=CD,:A G A D经/\NCD (SAS),:・DG=DN, ZADG=ZCDN9：.ZGDN=ZADC=90°9:.DGLDN, DG=DN；( 3 ) 如图3 / 中，当点G 落在A上时,图3-1,「 △ECN是等腰直角三角形，EC=572 , :.EN=CN=NF=5,V四边形ANFG是平行四边形，：.AG=NF=5,'：AD-CD=i2,:.DG=DN=7,，G N = 7 及 .如图3 - 2中，当点G落在AB匕 时 ,同法可证，CN=5,■:丛DAGQ 丛 DCN,：.AG=CN=5,：.BG=AB-AG^1, BN=BC+CN= 1 7 ,.1. GN = 4BGr + BN2 = > / 72 + 1 72 = 1 3匹综上所述，满足条件的G N的值为70或1 3 0【 分析】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型.2 8 . ( 1 )见解析；( 2 ) AE + CE = OD E ；理由见解析( 3 ) 4夜【 解析】【 分析】( 1 )根据正方形性质以及题意证明V A D E m C D F即可得出结论：( 2 )根据已知条件证明AAOE乌AC D F(A 4S),然后证明△ & 方 为等腰直角三角形即可得出结论；( 3 )先证明学AZMF(MS),得 出 为 等 腰 直 角 三 角 形 ，根据勾股定理以及等腰直角三角形的性质求出C“， £ ”的长度，即可得出结论.【 详解】 解：（ 1） • ・•四边形43CO是正方形，B, C ,尸三点共线,DC = ZHZZME = Z£）CF = 90o,• ； D E t D F ，：. ZADC = ZEDF = 90°,：. ZADE = NCDF,在“ IDE和ACDF中，ZDAE = ZDCFDA = DC ,ZADE = ZCDF： .^ADE^CDF(ASA),：. AE = CF ;( 2) - ： D E 1D F ，四边形ABC。 是正方形,: .ZADC = ^EDF = 90°,AD = CD.：. ZADE = NCDF,V AE±EF, DE 上 DF,：. ADEF + ZF = 90°, ZAED + A.DEF = 90°,・・・ZAED = NF,在石和△ 口 » 中，AA DE = NCDF, ZAED = ZF ,AD = CD：. ^A D E ^C D F (A A S)：. DE = DF,AE = CF,J 为等腰直角三角形，.*• EF = 6DE、即 AE+CE=4ID E\( 3 )过点D作DH上CE 丁点、H ,连接 DE・.• ZDFA = ZFAE+ZFEA = 9（r-i-ZFEAf*： ZAEB = ZFEA^ZDEB = 90° + ZFEAfZAEB = ZDFA,丁 ABAE = 900-ZFAB,ZDAF = 900-ZFAB,，ZBAE = ZD AF.在 △ 囱 ! £ 和 MDAF中，NBAE = NDAF< ABEA = ZDFA ,BA = DA：. ^BAE^DAF（AAS\/. DF = BE = 3, FA = EA = & ,V AE=E4 = >/2J&M ±AE.J △ £ < £ 为等腰直角三角形，EF = 42xy[2 = 2，在用" ）£8 中，DE = 3 + 2 = 5,3E = 3,•*• £>8 = 5/52+32 =南 ,V 8。 是正方ABCO对角线，AD = CD = ^ =后,V2・ ・• ZFEA = 45°： .Z£>£C = 45°,石为等腰直角三角形，DH = E H = -^ 2 ,2?.在 Rt^DHC 中，CH = ^D C2-D H - = | ^ , CE = CH + EH=-y[2+--Jl = 442 .2 2【 分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形判定与性质，熟知性质定理是解本题的关键. 。
