数学归纳法经典例题及答案.doc

数学归纳法（2016.4.21）一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是：（1）证明当 取第一个值 （如或2等）时结论正确； （2）假设当 时结论正确，证明时结论也正确． 综合（1）、（2），……注意：数学归纳法使用要点： 两步骤,一结论二、题型归纳：题型1.证明代数恒等式例1．用数学归纳法证明：证明：①n=1时，左边，右边，左边=右边，等式成立．②假设n=k时，等式成立，即：． 当n=k+1时．这就说明，当n=k+1时，等式亦成立，由①、②可知，对一切自然数n等式成立．题型2.证明不等式例2．证明不等式 (n∈N)．证明：①当n=1时，左边=1，右边=2．左边<右边，不等式成立．②假设n=k时，不等式成立，即．那么当n=k+1时，这就是说，当n=k+1时，不等式成立．由①、②可知，原不等式对任意自然数n都成立．说明：这里要注意，当n=k+1时，要证的目标是，当代入归纳假设后，就是要证明：．认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标．题型3.证明数列问题例3 (x＋1)n＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋an(x－1)n(n≥2，n∈N*)．(1)当n＝5时，求a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5的值．(2)设bn＝，Tn＝b2＋b3＋b4＋…＋bn.试用数学归纳法证明：当n≥2时，Tn＝.解：　(1)当n＝5时，原等式变为(x＋1)5＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋a4(x－1)4＋a5(x－1)5令x＝2得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝35＝243.(2)因为(x＋1)n＝[2＋(x－1)]n，所以a2＝Cn2·2n－2bn＝＝2Cn2＝n(n－1)(n≥2)①当n＝2时．左边＝T2＝b2＝2，右边＝＝2，左边＝右边，等式成立．②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，等式成立，即Tk＝成立那么，当n＝k＋1时，左边＝Tk＋bk＋1＝＋(k＋1)[(k＋1)－1]＝＋k(k＋1)＝k(k＋1)＝＝＝右边．故当n＝k＋1时，等式成立．综上①②，当n≥2时，Tn＝.。