南京航空航天大学-飞行器结构力学-课后习题答案.pdf

第一章弹性力学基础1-1上端悬挂、下端自由的等厚度薄板，其厚度为1,容重为P试求在自重作用下的位移分量表达式解：如图1-1建立坐标系.利用外沿y 方向均匀分布及x 方向的力平衡条件 可得，%=pQ-x)q=0了 盯=0又因为.=.(巴 一 )=卜(1 _ X)ox E E兰=一 町)=_ 借dy E E积分得=占(以-8 )+/(y)v=-l-x)y +fAx)E又由对称性%=0=人(幻=由du dv .1 2%n /()=-p ydy ox 2E综上所述有u (lx-x2)Lpuy2E 2 2E-v=_ (/_x)yE1-2写出图1-2所示平面问题的应力边界条件/1*解：上表面为力边界，X=0,y=-q,Z=0,m=o代入=一一厂 0%,=0下表面为自由边，边界条件为CT X=0；by=0；=0侧 面 为 位 移 边 界x图1-11-3矩 形 板 厚 为1试 用 应 力 函 数 xS l-3图 l-3aA解：应力函数夕=5町2满足应力函数表示的变形协调方程，可以作为解在无体力的情况下，矩形板的应力为CTd2(py2Ax(yd2(pdx10dxdy根据应力边界条件公式各边的应力边界为a d 边:c b 边:a b 边:c d 边:l(Jx+mq、=XIT、.+mcrv=Yv y/=0,zn=1/=0,m =-lI=-l,/n=0/=1,772=0 AX=-Ay=-hY=0一 AX=Ay=-hY=0X=0Y=AyX=Ax=AlI y=根据以上各边的应力边界条件，可画出矩形板的面力分布图如图l-3a。

1-4如 图1-4设三角形悬臂梁只受重力作用，梁容重为试用完全三次多项式的应力函数求解其应力分量解：设完全三次多项式应力函数为(P=Ax+Bx2y+C xy2+Dy3(1)显然应力函数满足变形协调方程v=o则应力分量:八2er.=-Xx=2C x+6Dyx dy2g2%=常 36325”d2(pdxdy=2 fix 2Cy(2)(3)(4)利用边界条件来确定应力函数中的系数根据上表面的边界条件，当y=0口 寸)产 0=0,(%)户 0=代 入(3)、(4)得A=0；B=0根据斜边的边界条件，当y=x-tana时，面力X=Y=O,即/4+，%,=X=(5)/rvv+mo=K=0其中：/=cos(N,x)=cos(90+a)=-sinam=cos(N,y)=cos a代 入(5)得-sin a(2C x+6Dx tan a)+cos a(-2C x tan a)=0(6)cosa(-px tan a)-sin a(-2C xtan a)=0(7)联 立(6)、(7)得到 p)C=-ctanof2)=-ctan26 Z3将各系数代入应力分量表达式中，得到应力各分量为av-px-c tan a-2py-c tan2 a%.=-py%=-p y ctana图1-51-5 对图1-5所示简支梁，试验证应力函数（P-A r/+坊,5+0c3y+&3 +成立，并求解各系数和应力分量。

解：由夕=Ar3y3+Cr）+出广+&3+出可知:券+*=0 n 3 4 +5B=0应力分量：crv=6Ax3y+20Bxy3+6DxySy -h3A+3hC +6 E -y/4/rA.v=0=-A fx2-Bh4-3C x2-D h2-F“4 16 4f 9 2-h2A+3C0二45 3-h4B+-h2D+F 0116 4下表面3bv=0=-hA-3hC +6E=04弯矩：hM v 1=(O=0=2-A+/?2B+2D=02 x=l联 立(1)(6)可解得(1)(*)(2)(3)(4)(5)(6)A=%5=_&；C=-A3 加 5/?3 4lhD;瑞挈E=噜;1q4/z/98%0/代 入（*）式可得各应力分量%=舞（4，-3内-町；1-6图1-6所示悬臂梁受自重作用，试用应力函数Q=Ax2y+Bx2y3+Q3+Dy5求解并将所得应力分量与材料力学的结果进行比较解：应力函数必须满足变形协调条件，满足vV=od4(p t d4(p,dA(pW dx2dy2 dy4将应力函数代入上式，得3+50=0(1)应力分量o2%=芳=6BP y+6C y+20Dy3b=-Y y=2Ay+2By3-p y)dx2o2T=-=-2Ax-6Bxy2孙 dxdy 7利用边界条件确定待定系数当y=g 时，（?）=o产 5（%）+八=得到2A+-BA2=0(2)2A+-Bh2(3)4 2联立方程（1）、（2）、（3）可解得4 =2 8 =4 D=-号4 h2 5h2在待定系数中，C还没有求出。

现根据x =0 截面上的条件来求C值；因为（c rt）x=0*0 ,应用圣维南原理得丸（因为被积函数是y的奇次函数，积分必恒等于零，此积分等式一定成立此外，尚需满足J(b)=oWy=R(6 0 +20 分 3)的=020 3 也，5 =0将各个系数代入应力分量表达式，得2 0/3 h2%=|小材料力学的解答：设载荷4 =0，故在某一截面上的弯矩为剪力为Q=phx由此得*M-7y 7=0（假设纤维间不存在挤压）zrk3-2-2y-一4Z/IK1-2此32A1%-现将弹性力学的解答化为下列形式以便于材料力学解答进行比较:巴.=”丹 即/1 _=口（与材料力学解不同）J 5 3）%=号11卜 与 材 料 力 学 解 不 同）7=经（与材料力学解一致）“Jh yyA 11-7如 图 8,已知平面圆环的应力为%=0,4=0,试检查这组2万r应力存在的可能性并阐明其边界条件体力不计）解：方 法（一）因为b,.=O,b0=0,酊0=/-y,由 =三孑=0积分得：设/的）r+力（由 二 1 济r dr r 602 r r r-=0（e）+/（e）=o7 （e）=oA于是可得 fx（，）=（asin 6+bcos。

f网=c2A即 9=（osinZ 2 c o s-8+c；（a,c为任意常数）2将O代入变形协调方程检验可知9 满足变形协调条件A 1因此为b,.=0,=0,%=-可以存在2万rA 1边界条件为：厂=时，crr=O,cro=0,Tr0=-72 aA 1r=Z?时，cr,=0,cr0=0,7 =至 51-7 题方法（二）A 1将2=0,=0,7 =f S 代入平衡方程0+0+0=0成立；由物理方程可得，将一 1,_ 1,、_ C”_ 2（1 +）一 4（1 -）1%-u a0）O,s0 （a0-uar）0,y Tr（/5E E E TIE r代入变形协调方程 2 3、z 1 a2 1 3、z 1 a 1 a2,（数+7/）为+（3 萨 一 7 石）*=（广 而+：嬴”中检验，显然成立，因此这组应力可以存在A 1边界条件为：r=时，=0,4 =0,Tr0=-2 4 aA 1一=力时，6.=0,b=0,却叁 瓦图1-8图1-101-8内半径为a、外半径为b的厚壁圆筒受压力P J乍用试求内半径和外半径的尺寸变化以及筒壁厚度尺寸变化解：参照课本3 5页“承受均布压力的厚壁圆筒”的求解1-w2 r A 八 u、c-八 u、叫=(1 +-)+2C r(l-)E r-u -u/(4一%)；a%比 b2-a2 b2-a22 Ca2qa-b2gb g2Pab2-a2 b2-a2则可得Pa(i-u2)a b+a2 uE b2-a2-u金二/a bp.E b2-a2Z1u、(F+a2bp.b2-a2(1-)a1 u,(1-M2)2 XE b2-a2。