王进明 初等数论 习题解答.docx

本文格式为Word版，下载可任意编辑王进明 初等数论 习题解答 王进明 初等数论 习题及作业解答 P17 习题1-1 1，2(2)(3), 3，7，11，12为作业 1．已知两整数相除，得商12，余数26，又知被除数、除数、商及余数之和为454．求被除数. 解：a?12b?26,a?b?12?26?454,12b?26?b?12?26?454, (12?1)b?454?12?26?26?390,b=30, 被除数a=12b+26=360. 这题的后面片面是小学数学的典型问题之一——“和倍” 问题： 商为12,说明被除数减去余数后是除数的12倍，被除数减去余数后与除数相加的和是除数的（12+1）倍，即454?12?26?26?390是除数的13倍. 2．证明：(1) 当n∈Z且n?9q?r(0?r?9)时，r只可能是0,1,8; 证：把n按被9除的余数分类，即：若n=3k, k∈Z，那么n?27k, r=0； 若n=3k +1, k∈Z，那么n?(3k)?3(3k)?3(3k)?1?9k(3k?3k?1)?1,r=1； 若n=3k－1, k∈Z，那么n?(3k)?3(3k)?3(3k)?1?9(3k?3k?k?1)?8,r=8. 332323322333n3n2n??的值是整数。

(2) 当 n∈Z时，326n3n2n2n3?3n2?n32??=证 由于，只需证明分子2n?3n?n是6的倍数 32662n3?3n2?n?n(2n2?3n?1)?(n?1)n(2n?1) ?(n?1)n(n?2?n?1)=n(n?1)(n?2)?(n?1)n(n?1). 由k! 必整除k个连续整数知：6 |n(n?1)(n?2),6 |(n?1)n(n?1). 或证：2!|(n?1)n, (n?1)n必为偶数.故只需证3|(n?1)n(2n?1). 若3|n, 鲜明3|(n?1)n(2n?1)；若n为3k +1, k∈Z，那么n－1是3的倍数，得知 (n?1)n(2n?1)为3的倍数；若n为3k－1, k∈Z，那么2n－1=2(3k－1)－1=6k-3, 2n－1 是3的倍数. 综上所述，(n?1)n(2n?1)必是6的倍数,故命题得证 (n?1)n(2n?1)222=0+1+2+?+(n-1)2,整数的平方和必为整数 6(n?1)n(2n?1)－当 n∈Z时，-n∈Z+, 从而同样推得为整数，故命题得证 6又证：(3) 若n为非负整数，那么133|(11n+2+122n+1)． 证明：利用11n+2+122n+1=121×11n +12×144 n =133×11n +12×(144 n－11 n)及例5的结论． (4)当m，n，l∈N+时，(m?n?l)!的值总是整数 m!n!l!证明：(m?n?l)!=(m?n?l)(m?n?l?1)?(n?l?1)(n?l)(n?l?1)?(l?1)?l! 由k!必整除k个连续整数知：m!|(m?n?l)(m?n?l?1)?(n?l?1), n! |(n?l)(n?l?1)?(l?1)，从而由和的整除性即证得命题。

(5)当a，b∈Z且a ≠－b，n是双数时，?a?b?|(a?b)； nn(6)当a，b∈Z且a ≠－b，n是单数时，?a?b?|(a?b)． nn解：利用例5结论：若a ≠ b，那么?a?b?|(a?b)．令b=－b*, 即得 nn或解： a = (a+b)－b， (5) 当n为双数时，由二项式开展 nan?bn??a?b?b?b? ????n??a?b??n?a?b?nn?1b?????1?n?1n?a?b?bn?1，证得6) 当n为单数时类似可得 3．已知a1，a2，a3，a4，a5，b∈Z,且 ?ai?152i?b2，说明这六个数不能都是奇数． 解：若这六个数都是奇数，设ai?2ki?1,ki?Z,i?1,2,3,4,5，那么 ?a??(2k?1)2iii?1i?1552?4?ki(ki?1)?5，由于2|ki(ki?1)，所以8 | 4?ki(ki?1), i?155i?1?ai?152i?8q?5,q?Z, 而b2?(2k?1)2?4k(k?1)?1，b2?8q*?1，k,q*?Z， 即等式左边被8除余5, 而右边被8除余1, 故不成能这六个数都是奇数。

4．能否在下式的各□内填入加号或减号，使下式成立；能的话给出一种填法，否那么，说明理由 1□2□3□4□5□6□7□8□9=10 不能，由于等式左边有单数个单数，它们的和差只能是奇数，而等式右边10为偶数或解：无论各□内填入加号或减号，1□2□3□4□5□6□7□8□9+1+2+3+4+5+6+7+8+9总是偶数，而1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,因此的结果1□2□3□4□5□6□7□8□9确定是奇数 5．已知：a，b，c均为奇数．证明ax?bx?c?0无有理根 证：若有有理根，记为 2ppp,p,q互质，代入方程有a()2?b??c?0 q 即ap?bpq?cq?0，这是不成能的，由于p,q互质，二者不成能同时为偶数 若p为偶数，那么ap?bpq为偶数，但cq是奇数，它们的和不成能为0; 若q为偶数，那么bpq?cq为偶数，但ap是奇数，它们的和也不成能为0 6．在黑板上写出三个整数，然后擦去一个，换成其他两数之和加1，持续这样操作下去，结果得到三个数为35，47，83．问原来所写的三个数能否是2，4，6? 解：不能．由于原来所写的三个数若是2，4，6，每次操作后剩下的三个数是两偶一奇． 7．将1-—99这99个自然数依次写成一排，得一多位数A＝1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011…97 98 99，求A除以2或5、4或25、8或125、3或9、11的余数分别是多少? 解：由数的整除特征，2和5 看末位，∴ A除以2余1，A除以5余4；4和25 看末两位，∴ A除以4余3，A除以25余24；8和125看末三位，∴ A除以8余3，且除以125余24；3和9看各位数字的和，1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9=45，A全体数字的和等于450, ∴ A除以3和9都余0，A除以11的余数利用定理1. 4, 计算奇数位数字之和－A 的偶数位数字之和．奇数位数字之和1+3+5+7+9+(0+1+…+9) ×9，偶数位数字之和2+4+6+8+(1+2+…+9) ×10，两者之差为－40，原数除以11的余数就是－40除以11的余数：4. 8．四位数7x2y能同时被2，3，5整除，求这样的四位数． 解：同时被2，5整除，个位为0，再考虑被3整除，有4个：7020，7320，7620，7920． 9．从5, 6, 7, 8, 9这五个数字中选出四个不同的数字组成一个四位数，它能同时被3, 5, 7整除，那么这些四位数中最大的一个是多少？ 被5整除，个位必为5. 5+6+7+8=26, 5+6+7+9=27 ,5+6+8+9=28,5+7+8+9=29中唯27能被3整除，应选出的四个不同的数字是5, 6, 7,9,但不同排序有9765,9675,7965,7695,6975,6795, 从最大的开头试除，得9765=7×1395，那么要求的就是9765了。

10． 11．1至1001各数按以下的格式排列成表，像表中所示的那样用—个正方形框住其中的9个数，要使9个数的和等于(1)2022，(2)2529，(3)1989，能否办到?如能办到，写出框里的最小数与最大数．如办不到，说明理由． 222222181522?291623?31017244111825?51219266132027?71421 28?99599699799899910001001解：设框里居中心的数为x,那么9个数的和等于9x. (1) 9不能整除2022，∴和等于2022办不到；(2) 9x=2529，x=281，是所在行第一个数，∴和等于2529办不到；(3) 9x=1989，x=221，和等于1989能办到，框里的最大数为x+8=229，最小数为x－8=213． 12．证明：7(或11或13) |anan?1?a3a2a1a0的特征是：7(或11或13) 整除 |anan?1?a3?a2aa| 10解答：由于7×11×13=1001谐“一千零一夜”）而 anan?1?a3a2a1a0=7×11×13×a2a1a0?(anan?1?a3?a2a1a0)×1000． 或 anan?1?a3a2a1a0?anan?1?a3?7?11?13?(anan?1?a3?a2a1a0) ∴ 附）广西师范大学赵继源主编的《初等数论》习题1—1中的片面题目 (与上面一致或好像的题目不列，以下各章节同) 3．已知a，b，c中，有一个是2022，有一个是2022，有一个是2022，试判断(a—1)×(b—2)×(c—3)的奇偶性，并说明理由． 6．24|62742??,求?,?. 9. 是否存在自然数a和b，使a2－b2 = 2022成立? 11．证明：当n∈Z时，6 | n(n＋1)(2n＋1)． 12．已知：f?x??ax?bx?c，f (0)，f (－1)，f (1)，x均为整数．证明：f?x??Z. 2 解答： 3．偶数．由于a，b，c中，有三个奇数，所以a－1，c－3中至少有一个是偶数． 6．只需3|62742??,且8|62742??，即3|(???),且8|??，先考虑??0,2,4,6,8,有5组解 ????0,???2,???4,???7,???9, ???????0;???4;???8;???2;???6.9．不存在．利用a2－b2 =(a－b)(a + b)，而a－b，a + b的奇偶性一致．而2022=2×1001. 11．用数学归纳法或n(n+1)(2n+1)= n(n+1)(n+2)+(n－1)n(n+1)，利用整除的根本性质(13)． 12．由f (0)，f (－1)，f (1)，x均为整数可得c, a+b, a－b均为整数. 进而知2a，2b为整数. 分类议论(k∈Z): x=2k时，由2a，2b为整数f (x)鲜明为整数; x=2k+1时，f (2k+1) = 4ak(k+1) + 2bk + a + b + c, 可知f (x)依旧为整数。

习题1-2 1. 用试除法确定以下各数中哪些是质数？哪些是合数？1987，2027，2461，17357 解：1987?45, 2027≈45.022, 用质数试除到43，可知两者是质数， 2461≈49.61, 用质数顺次试除，试除时，用数的整除特征考虑：2，3，5鲜明不能整除它，由上节第12题结论，357－17= 340，340不能被7，11，13整除，再用17，23考虑，2461÷23=107, 2461是合数用类似思路顺次试除17357，到17，得分解式17357=17×1021，17357是合数 2. 当 n 是什么正整数时，f1(n)?n?4，f2(n)?n?5n?9n+8n2+4n +1, f3(n)= n4 4543－18n2+45, f4(n)= n4+ n2+1, f5(n)?3n?4n?1的值是质数？是合数？ 2解：f1(n)?n?4n?4?4n?(n?2)?(。