考研数学复习资料考研数学高分基础班讲义.pdf

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2、极限的存在性质(1)(迫敛定理)1)(数列型)设 an bn 00 M00”82)(函 数 型)设/(x)g(x)8 n-+1 n+2 n-+n(2)单调有界的数列必有极限例子 证明痣 力2+后,，2+亚+血,极限存在并求之注解(1)设数列%由%M =/(%)确定，令y=x),若/(x)0,则数列 七 单调，其 中 当%与 时，数列%单调减少；当 8情形二：数列 七 有上界，则lim%存在，令lima“=A,则A即为数列 a“的上界，A”一 8 一 8是所有上界中最小的上界3、运算性质(1)四则运算性质设 lim/(x)=A,limg(x)=B,则1)lim/(x)g(x)-lim/(x)limg(x)=AB；2)lim f(x)g(x)=lim/(x)lim g(x)=AB；3)-klim f(x)-kA；4)l i m 皿 =g(x)hmg(x)B(2)复合运算性质1)设 lim/()=A,limg(x)=a,则 lim/g(x)=AM-a X-与X-A02)设 limy(w)=/(a),lim g(x)=a,则 lim fg(x)=/lim g(x)=/(a).ua J-A0 X-XQ x-.r04、无穷小的性质(1)无穷小的一般性质1)有限个无穷小之和或之积是无穷小。

2)有界函数与无穷小之积是无穷小3)常数与无穷小之积是无穷小2)等价无穷小的性质1)a a；若 a 0,则4若 a 夕，0 y,则&/2)若 a a,且 lim 存在，则 lima a a3)设a 1 4,0 f 0,则尸的充分必要条件是P=a+o(a)3)当x-0时常用的等价无穷小1)x sin x tan 尤arcsin x arctan x e 1 ln(l+x)/a2)1 cos x-,1 cos x-x o 3)(1+x)1 ax2 25、几个重要极限sin X(LX 1(1)lim-=1 o (2)lim(l+x)x=e o (3)lim-=lnx-0 x x f 0 x f 0 x二、连续与间断()基本概念1、连续(1)函数在一点连续一若lim/(x)=/(X)，称/(x)在x=x()点处连续注解/(x)在点x=x0处 连 续 的 充 分 必 要 条 件 是 0)=/(玉)+0)=/*0)2)函数在闭区间上连续一若函数/(x)在(./)内点点连续，且/(a)=/(a+0),f(b)=f(b-O),称/(x)在 a,切上连续，记为/1(x)C注解(1)初等函数有定义的地方都连续。

2)若/(x)e Ca,h,则(x)Ie C a,b2、间断及分类(1)若/(0),/(0)都存在且间断，称x=a为/(x)的第一类间断点若fa 0)=f(a+0)(H/(a),称x=a为函数/(x)的可去间断点;若/(a 0)K/(a+0),称x=a为函数/(x)的跳跃间断点2)若/(a 0),/(a+0)至少有一个不存在，称x=a为函数/(x)的第二类间断点二）闭区间上连续函数的性质1.（最值定理）设f（x）e Ca,b，则/（x）在相,刃上取到最大值和最小值2.（有界定理）设/（X）e Ca,b ,则/（x）在a,句上有界3.（零点定理）设/（x）e Ca,切，且/（a）/S）0,则存在（a,b）,使得了）=04.（介值定理）（1）设/（x）e Ca,W，且.”分别为函数/（X）在句上的最小值与最大值,则对任意的 总存在使得/（4）=2 )设/(%)e Ca,b,且/(a)#f(b),不 妨 设 /(a)0,&0,c 0)on oc2、求下列极限1(1)li m(l+s i nx 2卜0 s.r2)(mj 叶K1 +s i n x J(3)li m|co s X T 3X3、求下列极限li mx-0J 1 +tanx -J l+s i nxx(l-co s x)4、设*=l,x“+1+J l_ x“=0,证明数列 x,J收敛，并求li m%。

n oo5、设 X)=vln(1 +X),x 0X0,x =0J 1 +x J l X 八-,-l x 0,讨论/（x）在x =0处的连续性6、讨论/（X）的连续性17、设/(x)Ca,+o o),且 li m/(x)=4 ,证明：/(x)在a,+8)上有界X T+X8、设 fx)e Ca,b,证 明：对 任 意 的 七 e a,b i 0(1 z 0 +与A v f 0-若、物 ,存 在 称此极限为y =/(x)在 点 处 的 左 导 数 记为/(X)若1、吧,W存在，称此极限为y=/(x)在点x=x0处的右导数，记为/(x0).y=/(x)在点x =/处可导的充分必要条件是(%)与/；(x0)都存在且相等2)函数y =/(x)在x =x 0处导数的等价定义/U)=5包=l im B+W(死=.加T A 力f h X T Xx-x0(3)若y =/(九)在x =/处可导，则y =/(九)在x =/处连续，反之不对反例/(X)=1 x l,显然/(x)在x =0处连续，但/(x)=1 x 1在x =0处不可导4)取绝对值可保持连续性，不一定保持可导性问题I设夕盟 +);/一 )存 在,问 广是否存在？解答：尸(。

)不一定存在，如/(x)=1 ，取2,x =0问题2设li m八3f(2)存在，问/，(2)是否存在？2、可微一设y =X)为定义于上的函数，x0 G ,A y =/(x0+A r)-/(x0),若A y =A A x +o(A x),称 y =/(x)在尢=/处可微，记 dy =A A x,或者 dy =A dx问题1函数y =/(x)在 =/处何时可微(或可微的条件)？问题2若函数y =/（外在尤=/处可.微，A =?二、求导数三大工具（一）基本公式1、(C)r=0 o2、(x )=a x T,特别地 W）三）复合函数求导链式运算设 y =/（），=（x）都是可导函 数,则 y =/火幻 可导，且3=2 半=/（）PM=f p（x）-（p（x）-ax du ax 注解（1）原函数与其反函数一阶导数与二阶导数之间的关系设 y =/（X）为二阶可导函数，且/）W0,=0（）为=/的反函数，则=（p（y）=-=2一，即原函数与其反函数导数之间为倒数关系,dy dy尸 dx,d d ldx.X.d(、,.)：d S (y)_ f(x)_/(X)一 /(x)dy1 dy dy dyldx fx)(2)设/(x)在x =a处连续，若l i m 1 =A,则。

xa x-a (=A(3)设/(x)是周期可导函数，则;(x)也是周期函数；若/(x)为奇函数，则r(x)是偶函 数;若/(X)为偶函数,则广(X)是奇函数4)可导与连续可导的区别：所谓/(x)在某个区域内可导即/(x)在该区域内处处有导数，但不能保证了 (X)为连续函数,2,1/、x si n,x w Ox如 f(x)=0,x =0三、求导类型1、显函数求导数sin2?、例 1 设 y =e +l n(t a n 2 x +se c x),求 y ；例2设丁=%加、求y；例 3 设 y =x (0),求 y2、参数方程确定的函数的导数设y =/(x)由确定，其中夕,皆二阶可导，求 生 及 苗 一y-材(f)dx dx例i设4x =l n(l +f)dy nd2y,求 上-及 一彳y=a rc t a n t dx dx3、隐函数求导数例-设 匹=3盯+2 x,求 崇4、分段函数求导数例 1 设/(x)=0例 2 设 y(x)=l n(l +x),x 0ax+b,x 0,当0 1 x x l b时，有/(x)0,当0 1 X-X o l /(%),称尤0为/(X)的极小 点,/(X o)为/(X)的极小值。

2、函数极值点处导数的可能情况情形一：尸(情形二：/(a)0结论：若 x =a为/(x)的极值点，则/(a)=0 或/(a)不存在二)中值定理定 理 1 (罗尔中值定理)设/(x)满足 /(理 e C a,6；(2)/(理 在(a,6)内可导;(3)f(a)=f(b),则存在J e(a,b),使得 广 =0定理 2 (La g ra ng e 中值定理)设/(x)满足：(1)f(x)eCa,b；(2)/(x)在(a,6)内可导，则存在J e伍力)，使得/修)=2二b-a 注解(1)拉格朗日中值定理又称为微分中值定理，其等价形式有f(b)-f(a)=fa+0(b-a)(b-a),其中0 夕 12)自由a 力确定，且微分中值定理的端点可以为变量定理3 (Ca u c h y 中值定理)设/(x),g(x)满 足:(1)f(x),g(x)eCa,b；(2)/(x),g(x)在(a,6)内可导；(3)g(x)0,xe(a,b),则 存 在)(a,b),使得/3）-/rg S）-g（a）g，C）定理4（Taylor中值定理）设/（x）在x=X的邻域内有直到 +1阶导数，则有/(x)=/(x)+/(/)+2(一 )2+.+：_*_/)，+(),且4(x)=/田)(n+1)!（x-x0）其中自介于X。

与X之间若一，则 称 小）=/（2+分+&3为马克劳林公式，其中R“（x）=/叫(0)(n+1)!用(0 6 0,/(0)=0,证明：对任意的0/0有f(a)+f(b)0,/(q)=3,/(a)=2,证明尤)在(0,+oo)内有且仅有一个零点思路二：使用如下定理得到的不等式定 理 设/(x)在他,切上二阶可导，则有(1)若/(x)0,则/(x)2/(X o)+_ f(X o)(x X o)，等号成立当且仅当 x=x0;(2)若/(x)0,且 1加 =1,证明：f(x)x.x.O x例 2 设/(x)e Ca,b,且 1r(x)0 ,取 X a,&(l /),设 0(1 4 i W)且h +k2 T-i-kn=1 ,证明:f(kXi+k2x2+-+knxn)kif(xl)+k2f(x2)+-+knf(xn)中值定理部分例题选讲题型一：证明尸)(4)=0常见思路：(1)罗尔定理；(2)极值法1、设/(x)e C0,3,在(0,3)内可导，且/(0)+/(1)+/(2)=3,/(3)=1,证明：存在J e(0,3),使 得/=02、设/(x)在0,1 上三阶可导，/(1)=0,令(x)=x3/(x),证明：存在e(O,l),使得”0=0。

3、设/(x)e Ca,回，在 色力)内可导，且 月(”)()0),在()内可导，证 明:存 在J,(a C)，使得/=(2 2、设。