2章函数的极限.ppt

第二章,函数的极限,第二章 函数的极限,有人说，极限的思想是微积分的灵魂这句话形象地表明了极限概念的重要性微积分的大多数概念和运算，就是建立在极限概念的基础上如果在微分和积分的过程中，你见不到极限，那是因为在用极限建立起概念和运算的规则后，我们便沉浸在这些概念和规则之中，而忘记了它们本质上来自于极限概念本章主要介绍极限的概念和计算理解极限概念，灵活的运用各种方法计算极限是本章的重点2.1 极限的概念,2.2 无穷小量与无穷大量,2.3 极限的计算,2.4 用两个重要极限求极限,2.5 用等价无穷小量替换和变量替换求极限,2.1,2.1 极限的概念,函数的极限要研究：随着自变量的变化，函数的变化趋势自变量的变化方式有六种，分别是：,其中：表示,x,从,x,0,的两侧趋于,x,0,，读作“当,x,趋于,x,0,”；,表示,x,从,x,0,的右侧趋于,x,0,，读作“当,x,趋于,x,0,右”；,表示,x,从,x,0,的左侧趋于,x,0,，读作“当,x,趋于,x,0,左”相应的，函数的极限也就有六种情况我们重点介绍两种情况，其余情况只作简单介绍2.1.1,x,x,0,时，函数,f,(,x,),的极限,x,x,0,时函数,f,(,x,),的极限表示，随着,x,无限趋于,x,0,，函数,f,(,x,),的变化趋势。

定义 2.1.1,若随着,x,无限趋于,x,0,，,f,(,x,),无限趋于常数,A,(,见图,2.1,-,1),，,图2.1,-,1,2.1,则称当,x,趋于,x,0,时，,f,(,x,),的极限是,A,，记为,当,x,x,0,，,f,(,x,),A,或,上式中的,lim,是英语,limit(,极限,),一词的缩写上式读作,“当,x,趋于,x,0,时，,f,(,x,),的极限是,A,”例,2.1.1,求 解：,例,2.1.2,求 解：,2.1,解：,例,2.1.2,求 见图,2.1,-,2,图2.1,-,2,以后，对于函数的极限，我们不再先写出函数是什么，然后再写出极限式，而是直接在极限符号右边，写上函数的表达式例如，表示当,x,2,时，函数,f,(,x,)=2,x,2,+2,的极限2.1,定义 2.1.2,当,x,从,x,0,的右侧趋于,x,0,时，若,f,(,x,),无限趋于常数,A,(,见图,2.1,-,3),，称,f,(,x,),在,x,0,处的右极限为,A,，记为,或,f,(,x,0,+0)=,A,图2.1,-,3,2.1,将定义中的“右”改为“左”就给出左极限的定义,(,见图,2.1,-,4),。

f,(,x,),在,x,0,处的左极限记为,或,f,(,x,0,-,0),图2.1,-,4,2.1,这样，函数在一点,x,0,处的极限就有三种情况：,x,从右侧趋于,x,0,(,见图,2.1,-,3),，,x,从左侧趋于,x,0,(,见图,2.1,-,4),，,x,从,x,0,两侧以任意方式趋于,x,0,(,见图,2.1,-,1),下述定理指出了三种情况的关系定理 2.1.1,即，函数在,x,0,处极限存在的充要条件是：,左极限存在，右极限存在，并且左右极限相等当函数在,x,0,处两侧性态不一样，或表达式不一样，通常用上述定理确定函数在,x,0,处的极限2.1,例,2.1.4,求 所以,不存在图2.1,-,5,见图,2.1,-,5,2.1,例,2.1.5,求 解：,2.1,2.1.2,x,时，函数,f,(,x,),的极限,定义 2.1.3,x,时函数,f,(,x,),的极限就是：,随着,|,x,|,无限变大，函数,f,(,x,),的变化趋势若随着,|,x,|,无限变大，,f,(,x,),无限趋于常数,A,，见图,2.1,-,6,则称当时，,f,(,x,),的极限是,A,，记为,当，,f,(,x,),A,或,图2.1,-,6,2.1,例,2.1.6,求 。

解：,见图,2.1,-,6,例,2.1.7,求 图2.1,-,7,见图,2.1,-,7,2.1,类似的，当,x,朝正方向无限变大时，若,f,(,x,),无限接近于常数,A,，则称当时，,f,(,x,),的极限是,A,，记为,当,x,朝着负方向无限变大时,若,f,(,x,),无限接近于常数,A,，则称当时，,f,(,x,),的极限是,A,，记为,2.1,2.1.3,数列的极限,设数列的通项公式为,y,(,n,)=,f,(,n,),数列可以看作是定义在正整数集合上的函数当函数的自变量是正整数时，人们习惯于把自变量,n,写成下标，即,y,n,=,f,(,n,),例如，,对于数列，自变量,n,的变化方式只有一种，即,n,+,，但人们习惯于记成,n,，由于没有其它情况，这样记也不会产生混乱例,2.1.8,例,2.1.9,2.1,2.2 无穷小量与无穷大量,2.2.1,无穷小量,定义 2.2.1：,函数,(,包括数列,),的变化趋势，有两种重要情况，一是趋于,0,，趋于,0,的量叫无穷小量；一是趋于,，趋于,的量叫无穷大量对无穷小量和无穷大量的分析，将给极限的计算带来方便若,则称当,x,x,0,时，,f,(,x,),为无穷小量,即：极限为,0,的量叫无穷小量。

对于自变量的其它几种变化过程，可类似地叙述上述定义2.2,例如：,注,1,对于函数,f,(,x,),0,，由于在自变量的任何变化过程中，都有,lim0=0,，所以，在任何变化过程中，都可以看作是无穷小量注,2,说一个变量,f,(,x,),是无穷小量，必须指明自变量的变化过程，不指明自变量的变化过程，而说,f,(,x,),为无穷小量，是没有意义的2.2,例如：,当,x,-,时,e,x,为无穷小量；,当,x,+,时,e,x,为无穷大量若只说“,e,x,为无穷小量”，显然是没有意义的无穷大量的概念将在下面段中给出无穷小量有下述定理所说的运算性质：,定理 2.2.1：,(1).,有限个无穷小量的和，仍是无穷小量；,(2).,有限个无穷小量的积，仍是无穷小量；,(3).,有界量与无穷小量的积，仍是无穷小量注意：限定词“有限个”是必须有的，不能去掉，没有了“有限个”这个限定词，结论一般不成立2.2,2.2.2,无穷小量的阶,定义 2.2.2：,设,即当,x,x,0,时,f,(,x,),g,(,x,),都是无穷小量,若,称：当,x,x,0,时，,f,(,x,),是比,g,(,x,),高阶的无穷小量，,记成,f,(,x,)=o(,g,(,x,)(,当,x,x,0,),通常也顺序读作：,f,(,x,),等于小欧,g,(,x,),。

若,称：当,x,x,0,时，,f,(,x,),是与,g,(,x,),同阶的无穷小量记作,f,(,x,)=,O,(,g,(,x,)(,x,x,0,),读作“,f,(,x,),等于大欧,g,(,x,),”2.2,若,称：当,x,x,0,时，,f,(,x,),是与,g,(,x,),等价的无穷小量记作,f,(,x,),g,(,x,)(,当,x,x,0,),例如：因为,所以当,x,x,0,时，,x,3,是比,x,2,高阶的无穷小量因为,所以当,x,0,时，,4,x,2,+,x,3,是与,x,2,为等价的无穷小量2.2,2.2.3,无穷大量,定义 2.2.3：,当,x,x,0,，若,f,(,x,),的绝对值,|,f,(,x,)|,可以无限变大，称,当,x,x,0,时，,f,(,x,),为无穷大量，记作,见图,2.2,-,1,、图,2.2,-,2,图2.2,-,2,图2.2,-,1,2.2,注意：,上式不能说成是“,f,(,x,),的极限是,”，因为函数的极限总是指“一个数”，而,不是一个数当,x,x,0,，,|,f,(,x,)|,，是极限不存在的一种情况类似地可说,以及自变量的其它几种变化过程的情况。

2.2,无穷大量有如下运算性质：,(1).,两个正无穷大量的和，仍为正无穷大量；,(2).,两个负无穷大量的和，仍为负无穷大量但不能说：,两个无穷大量的和，仍为无穷大量,例如,当两个无穷大量的方向相反,其和可能不再是无穷大量例如，,当,x,时，,f,(,x,),与,g,(,x,),都为无穷大量，,但,f,(,x,),+g,(,x,),却为无穷小量3).,两个无穷大量的积仍为无穷大量2.2,2.2.4,无穷大量与无穷小量的关系，极限与无穷小量的关系,定理,：,定理,：,下述两条定理，是常用得到的，其结论也很自然无穷大量的倒数，是无穷小量；,无穷小量的倒数，是无穷大量符号“,”读作“当且仅当”于是，若,则,f,(,x,)=,A,+,其中，,=,f,(,x,),A,(,当,x,x,0,时,),为无穷小量利用这一性质分析极限，有些情况下是很方便的2.2,2.3 极限的计算,2.3.1,用四则运算法则求极限,定理 2.3.1：,极限的计算是微积分的基本技能极限计算有很多方法和技巧，应该注意不断地总结和归纳，以不断提高极限计算的能力下述定理给出了极限的四则运算法则：,设,两个极限存在，,则：,(1).,(2).,(3).当,2.3,证：只证明第,(2),条，其余两条可类似证明。

0,设,要证,只需证,这由下面的推导可见证毕,2.3,在使用极限的四则运算法则时，应注意其使用的条件，那就是,都存在，以及商的极限中，,忽视,了这些条件，计算就可能出问题在这些条件都满足的前提下，,这个定理可简单地说成：,和、差、积、商的极限，等于极限的和、差、积、商,利用这些法则，可把较复杂的函数的极限，化为一些简单的函数的极限例,2.3.1,求极限,解：,2.3,2.3,例,2.3.2,求极限,解：,例,2.3.3,求极限,解：,例,2.3.2,求极限,解：,2.3,2.3.2,用两边夹定理求极限,定理 2.3.2：,(,两边夹定理,),若,(1),g,(,x,),f,(,x,),h,(,x,),(2),g,(,x,),A,，,h,(,x,),A,(,当,x,+,),则,f,(,x,),A,(,当,x,+,),在几何上，定理所阐述的事实几乎是显然的见图,2.3,-,1,图2.3,-,1,在自变量的其它变化方式下，定理的结论仍然成立例如,若,(1),g,(,x,),f,(,x,),h,(,x,),(2),g,(,x,),A,，,h,(,x,),A,(,当,x,x,0,),则,f,(,x,),A,(,当,x,x,0,),两边夹定理的使用方法：用简单夹复杂。

2.3,解：,记,f,(,n,)=,例,2.3.5,找两个简单的函数夹住,f,(,n,),将,f,(,n,),中每一项根号下变化着的数字,1,2,3,n,都看作,n,，,f,(,n,),被缩小，即有,2.3,f,(,n,),将,f,(,n,),中每一项根号下变化着的数字,1,2,3,n,都看作,1,，,f,(,n,),被放大，即有,f,(,n,),于是有,2.3,由两边夹定理,有,使用两边夹定理求极限，技巧比较高，但你也不必为此担心，我们只是在,2.4,中用一下这个定理，在之后的内容中，再没有使用这个定理f,(,n,),而当,n,时，有,2.4,用两个重要极限求极限,两个重要极限是指：,2.4.1,重要极限,2.4,之所以是两个重要极限，是因为好多极限，都可化归到这两个极限上来计算对于函数,当,x,0,时,分子、分母都趋于,0,四则,运算法则不适用以下采取两边夹的处理方法，也就是找两个函,数,h,(,x,),g,(,x,),，把,夹起来，即,2.4,若有,h,(,x,),1,，,g,(,x,),1,，则也有,由于,f,(,x,),是偶函数，只须考虑,x,0,的情况在图,2.4,-,1,所示的单位圆上，有,(1),图2.4,-,1,S,表示面积。

注意圆的半径,OA,为,1,，,代入,(1),式，有,2。