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16种求极限的方法及一般题型解题思路分享.doc

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  • 卖家[上传人]:大米
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  • 上传时间:2024-02-13
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    • 一方面说下我的感觉,如果高等数学是棵树木得话,那么极限就是她的根,函数就是她的皮树没有跟,活不下去,没有皮,只能枯萎,可见这一章的重要性为什么第一章如此重要?各个章节本质上都是极限,是以函数的形式体现出来的,因此也具有函数的性质函数的性质表目前各个方面:一方面对极限的总结如下:极限的保号性很重要,就是说在一定区间内函数的正负与极限一致极限分为一般极限,尚有个数列极限,(区别在于数列极限是发散的,是一般极限的一种)      解决极限的措施如下:(我能列出来的所有列出来了!你还能有补充么?)  1、等价无穷小的转化,(只能在乘除时候使用,但是不是说一定在加减时候不能用,前提是必须证明拆分后极限仍然存在,e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等价于Ax等等所有熟记(x趋近无穷的时候还原成无穷小)  2、洛必达法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个措施)一方面她的使用有严格的使用前提!必须是X趋近而不是N趋近!(因此面对数列极限时候先要转化成求x趋近状况下的极限,固然n趋近是x趋近的一种状况而已,是必要条件(尚有一点数列极限的n固然是趋近于正无穷的,不也许是负无穷!)必须是函数的导数要存在!(如果告诉你g(x),没告诉你与否可导,直接用,无疑于找死!!)必须是0比0无穷大比无穷大!固然还要注意分母不能为0。

      洛必达法则分为3种状况:0比0无穷比无穷时候直接用;0乘以无穷,无穷减去无穷(应为无穷不小于无穷小成倒数的关系)因此无穷大都写成了无穷小的倒数形式了通项之后这样就能变成第一种的形式了;0的0次方,1的无穷次方,无穷的0次方对于(指数幂数)方程措施重要是取指数还取对数的措施,这样就能把幂上的函数移下来了,就是写成0与无穷的形式了,(这就是为什么只有3种形式的因素,LNx两端都趋近于无穷时候她的幂移下来趋近于0,当她的幂移下来趋近于无穷的时候,LNX趋近于0)  3、泰勒公式(具有e的x次方的时候,特别是具有正余弦的加减的时候要特变注意!)E的x展开sina,展开cosa,展开ln1+x,对题目简化有较好协助  4、面对无穷大比上无穷大形式的解决措施,取大头原则最大项除分子分母!!!看上去复杂,解决很简朴!  5、无穷不不小于有界函数的解决措施,面对复杂函数时候,特别是正余弦的复杂函数与其她函数相乘的时候,一定要注意这个措施面对非常复杂的函数,也许只需要懂得它的范畴成果就出来了!  6、夹逼定理(重要对付的是数列极限!)这个重要是看见极限中的函数是方程相除的形式,放缩和扩大  7、等比等差数列公式应用(对付数列极限)(q绝对值符号要不不小于1)。

        8、各项的拆分相加(来消掉中间的大多数)(对付的还是数列极限)可以使用待定系数法来拆分化简函数  9、求左右极限的方式(对付数列极限)例如懂得Xn与Xn+1的关系,已知Xn的极限存在的状况下,xn的极限与xn+1的极限时同样的,由于极限去掉有限项目极限值不变化  10、两个重要极限的应用这两个很重要!对第一种而言是X趋近0时候的sinx与x比值第2个就如果x趋近无穷大,无穷小均有对有相应的形式(第2个事实上是用于函数是1的无穷的形式)(当底数是1的时候要特别注意也许是用地两个重要极限)  11、尚有个措施,非常以便的措施,就是当趋近于无穷大时候,不同函数趋近于无穷的速度是不同样的!x的x次方快于x!快于指数函数,快于幂数函数,快于对数函数(画图也能看出速率的快慢)!!当x趋近无穷的时候,她们的比值的极限一眼就能看出来了  12、换元法是一种技巧,不会对单一道题目而言就只需要换元,而是换元会夹杂其中  13、如果要算的话四则运算法则也算一种措施,固然也是夹杂其中的  14、尚有对付数列极限的一种措施,就是当你面对题目实在是没有措施,走投无路的时候可以考虑转化为定积分一般是从0到1的形式。

        15、单调有界的性质,对付递推数列时候使用证明单调性!  16、直接使用求导数的定义来求极限,(一般都是x趋近于0时候,在分子上f(x加减某个值)加减f(x)的形式,看见了要特别注意)(当题目中告诉你F(0)=0时候f(0)导数=0的时候,就是暗示你一定要用导数定义!  函数是表皮,函数的性质也体目前积分微分中例如她的奇偶性质她的周期性尚有复合函数的性质:  1、奇偶性,奇函数有关原点对称偶函数有关轴对称偶函数左右2边的图形同样(奇函数相加为0);  2、周期性也可用在导数中在定积分中也有应用定积分中的函数是周期函数积分的周期和她的一致;  3、复合函数之间是自变量与应变量互换的关系;  4、尚有个单调性再求0点的时候也许用到这个性质!(可以导的函数的单调性和她的导数正负有关):o再就是总结一下间断点的问题(应为一般函数都是持续的因此间断点是对于间断函数而言的)间断点分为第一类和第二类剪断点第一类是左右极限都存在的(左右极限存在但是不等跳跃的的间断点或者左右极限存在相等但是不等于函数在这点的值可取的间断点;第二类间断点是震荡间断点或者是无穷极端点(这也阐明极限虽然不存在也有也许是有界的)。

        下面总结一下,求极限的一般题型:  1、求分段函数的极限,当函数具有绝对值符号时,就很有也许是有分状况讨论的了!当X趋近无穷时候存在e的x次方的时候,就要分状况讨论应为E的x次方的函数正负无穷的成果是不同样的!  2、极限中具有变上下限的积分如何解决嘞?说白了,就是说函数中目前具有积分符号,这样个符号在极限中太麻烦了你要想措施把它搞掉!  解决措施:  1、求导,边上下限积分求导,固然就能得到成果了,这不是很容易么?但是!有2个问题要注意!问题1:积分函数能否求导?题目没说积分可以导的话,直接求导的话是错误的!!!!问题2:被积分函数中既具有t又具有x的状况下如何解决?  解决1的措施:就是措施2微分中值定理!微分中值定理是函数与积分的联系!更重要的是她能去掉积分符号!解决2的措施:当x与t的函数是互相乘的关系的话,把x看做常数提出来,再求导数!!当x与t是除的关系或者是加减的关系,就要换元了!(换元的时候积分上下限也要变化!)  3、求的是数列极限的问题时候:夹逼或者分项求和定积分都不可以的时候,就考虑x趋近的时候函数值,数列极限也满足这个极限的,当所求的极限是递推数列的时候:一方面:判断数列极限存在极限的措施与否用的单调有界的定理。

      判断单调性不能用导数定义!!数列是离散的,只能用前后项的比较(前后项相除相减),数列极限与否有界可以使用归纳法最后对xn与xn+1两边同步求极限,就能出成果了!  4、波及到极限已经出来了让你求未知数和位置函数的问题      解决措施:重要还是运用等价无穷小或者是同阶无穷小由于例如:当x趋近0时候f(x)比x=3的函数,分子必须是无穷小,否则极限为无穷,尚有洛必达法则的应用,重要是由于当未知数有几种时候,使用洛必达法则,可以消掉某些未知数,求其她的未知数  5、极限数列波及到的证明题,只懂得是要构造新的函数,但是不太会!!!  :o最后总结一下间断点的题型:  一方面,碰见间断点的问题、持续性的问题、复合函数的问题,在某个点与否可导的问题重要解决措施一种是画图,你能画出反例来固然不可以了,你实在画不出反例,就有也许是对的,特别是那些考概念的题目,难度不小,对我而言证明很难的!我就画图!!我要能画出来固然是对的,在这里就要较好的理解一阶导的性质2阶导的性质,函数图形的凹凸性,函数单调性函数的奇偶性在图形中的反映!(在这里特别要注意分段函数!(例如分段函数导数存在还相等但是却不持续这个性质就比较特殊!!应为一般的函数都是持续的);  措施2就是举出反例!(在这里也是特别要注意分段函数!!)例如一种函数是个离散函数,尚有个也是离散函数她们的复合函数与否一定是离散的嘞?答案是NO,举个反例就可以了;  措施3上面的都不行那就只得用定义了,重要是写出公式,持续性的公式,求在某一点的导数的公式  :o最后了,总结一下函数在某一点与否可导的问题:  1、一方面函数持续不一定可导,分段函数x绝对值函数在(0,0)不可导,我的理解就是:不可导=在这点上图形不光滑。

      可导一定持续,由于她有个前提,在点的邻域内有定义,如果没有这个前提,分段函数左右的导数也能相等;  重要考点1:函数在某一点可导,她的绝对值函数在这点与否可导?解决措施:记住函数绝对值的导数等于f(x)除以(绝对值(f(x)))再乘以F(x)的导数因此判断绝对值函数不可导点,一方面判断函数等于0的点,找出这些点之后,这个导数并不是百分百不存在,因素很简朴分母是无穷小,如果分子式无穷小的话,绝对值函数的导数仍然存在啊,因此还要找出f(a)导数的值,不为0的时候,绝对值函数在这点的导数是无穷,因此绝对值函数在这些点上是不可导的啊  考点2:到处可导的函数与在,某某些点不可导但是持续的函数互相乘的函数,这个函数的不可导点的判断,直接使用导数的定义就能证明,我的理解是f(x)持续的话但是不可导,左右导数存在但是不等,左右导数事实上就是X趋近a的2个极限,f(x)乘以G(x)的函数在x趋近a的时候,f(x)在这点上的这2个极限乘以g(a),当g(a)等于0的时候,左右极限乘以0固然相等了,乘积的导数=f(a)导数乘以G(a)+G(a)导数乘以F(a),应为f(a)导数乘以G(a)=0,前面推出来了,因此乘积函数在这点上就可导了。

      导数为G(a)导数乘以F(a)来源:考研论坛。

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