第11讲阿氏圆最值模型(解析版).docx

中考数学几何模型11：阿氏圆最值模型在前面的“胡不归”问题中，我们见识了 “kPA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P 点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．【模型来源】“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA： PB=k (kHl)，则 满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆.这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故 称“阿氏圆”.如图1所示，①O的半径为R,点A、B都在©O夕卜，P为©O上一动点，已知模型建立】2连接PA、PB，则当“PA+ — PB”的值最小时，P点的位置如何确定?522解决办法：如图2,段OB上截取OC使OC二2R,则可说明厶BPO与APCO相似，则有2PB二PC5 52故本题求“PA+ 2PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点， 故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小技巧总结】计算PA + k PB的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形问题：在圆上找一点P使得PA + k PB的值最小，解决步骤具体如下:1. 如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP, OBOP2. 计算出这两条线段的长度比竺二kOBOC PC3. 在OB上取一点C,使得°C二k，即构造厶POMs^BOP，则-C二k , PC = k PBOP PB4. 则PA + k PB =PA + PC > AC，当A、P、C三点共线时可得最小值例题1.如图，在RtAABC中，ZC=90°, AC=4, BC=3,以点C为圆心，2为半径作圆C,分别交AC、BC于D、E两点，点P是圆C上一个动点，则1 pa + pb的最小值为【分析】这个问题最大的难点在于转化1 PA，此处P点轨迹是圆，注意到圆C半径为2, CA=4,2 连接CP,构造包含线段AP的厶CPA,在CA边上取点M使得CM=2, 连接 PM，可得△ CPAs^CMP,故 PA： PM=2:1,即 PM二 1 pa2问题转化为PM+PB三BM最小值，故当B, P, M三点共线时得最小值，直接连BM即可得込3变式练习>>>1. 如图1,在RTAABC中，ZACB=90°, CB=4, CA=6，圆C的半径为2,点P为圆上一动点，连接 AP,BP,求① AP +1BP，② 2AP + BP，③-AP + BP，④ AP + 3BP 的最小值.2 3［答案］：①二何,②=2后，③二237，④二20.牌答丄如图2,连按CP,因为CP=2, AC=5f BC=4,简单推算得—工二丄，而题 AC 5 CS 2目中是求“丄P丄恥”其中的“居丄J 故舍弃在肚上取点，应用"―=丄J 所以在 2 2 C8 2住上取…点6使CD寸,则有目二罟■ = 无论P如何移动，，MCD与MCPL Jc t, £J £jx 上始皱相fcL按丹胪 始线成立.所吐貝pQrPtIP*PD・其中水。

为定点，故水P、 上 j—rD三点共线时最小，AP+ ^BP =AP+PD=AD= ^AC2 + CD2 = a/57 (思考工若求囚尸十 ^PA 呢？)例题2.如图，点C坐标为(2,5),点A的坐标为(7,0),©C的半径为y10,点B在OC 上 一动点,OB £ AB的最小值为 .［答案］：5.变式练习>>>2. 如图，在平面直角坐标系xo y中，A(6,-l), M(4,4)，以M为圆心，2迈为半径画圆，O为原点,P是OM 上一动点，则PO+2PA的最小值为 ^［答案］：10.例题3.如图，半圆的半径为1, AB为直径，AC、BD为切线，AC=1, BD=2, P为起上一动点，求 -^-PC+PD的最小值.D小值为5 ； ■迈PD+4PC的最小值为10■.迈A 0 B【解答】解：如图当A、P、D共线时，PC+PD最小.理由：2 连接PB、CO, AD与CO交于点M, ・.・AB=BD=4，BD 是切线，.・.ZABD=90°，ZBAD=ZD=45°， TAB是直径，・・・ZAPB=90°, ・・・ZPAB=ZPBA=45°，・・・PA=PB，PO丄AB, •・・AC=PO=2, AC〃PO,・・・四边形AOPC是平行四边形， ・・・0A=0P,ZA0P=90°,・・・四边形AOPC是正方形， ・・・PM= ' PC,・ PC+PD=PM+PD=DM,2 2• DM丄C0,・・・此时PC+DP最小=AD-AM=2•迈.2 2 2变式练习>>>3. 如图，四边形ABCD为边长为4的正方形，①B的半径为2, P是OB 上一动点，贝V PD+丄PC的最2A D【解答】解：①如图，连接PB、在BC 上取一点E,使得BE=1.•・・PB2 = 4, BE・BC=4,.・・PB2=BE・BC,・・. = ,VZPBE=ZCBE,BC PB.••△PBEs^CBE,・•・ = =,.・・PD+ PC=PD+PE,PC BC 2 2• PE+PDWDE,在 RtADCE 中，DE= ；/ + 护=5,・・・PD+ PC的最小值为5.2②连接DB，PB，在BD上取一点E，使得BE時，连接EC，作EF丄BC于F•・・PB2 = 4, BE・BD= X4迈=4,・・・BP2=BE・BD,2・•・ = ,・.・ZPBE=ZPBD,・・・APBEsADBP,BD BP・ PE = PB =1 2 ・PF= : 2 PDPD BD 4 4・••卫PD+4PC=4 C PD+PC)=4 (PE+PC),4• PE+PC三EC ,在 RtAEFC 中，EF= , FC= , .\EC=-,2 2 2・••卫PD+4PC的最小值为10立.故答案为5 , 10立例题4.如图，已知正方ABCD的边长为6 ,圆B的半径为3 ,点P是圆B上的一个动点，则pd 1 pc2 的最大值为 ．【分析】当P点运动到BC边上时,此时PC=3 ,根据题意要求构造1 pc ,在BC上取M使得此时PM= 32 2则在点P运动的任意时刻，均有PM=1 pc，从而将问题转化为求PD-PM的最大值.连接PD ,对于2 △PDM , PD-PMVDM ,故当 D、M、P 共线时,PD-PM=DM 为最大值152变式练习>>>4. (1)如图1 ,已知正方形ABCD的边长为9 ,圆B的半径为6,点P是圆B上的一个动点，那么 PD+ 的最小值为—/106— , PD-， 的最大值为—■.;106_.3 3 (2)如图2 ,已知菱形ABCD的边长为4 , ZB=60° ,圆B的半径为2,点P是圆B上的一个动点,图1图9解答】解：(1)如图3中,在BC 上取一点G ,使得BG—4.那么PD+*pc的最小值为—仝 J，PD - yPC的最大值为—T3T.・PE — 3 BC• — ^™, ^™,BG 4 2 PB 6 2型=匹，・.・zpbg=zpbc, BG PB••△PBGs^CBP,•.匹=^=2,.・.PG=£pc,PC PB 3 3・.PD+ZPC=DP+PG,3.•DP+PG 三DG,・••当D、G、P共线时，PD+寻PC的值最小，最小值为DG「•齐界=；!耳 ・.・pd-£pc=pd-pgwdg,3当点P在DG的延长线上时，PD-Ipc的值最大，最大值为DG=i'!^. 故答案为/m, -..Tos..PB(2)如图4中，在BC 上取一点G,使得BG=1,作DF丄BC于F.==9 = =2BG 1 PB 2VZPBG=ZPBC,BG PB•••△PBGs^CBP,• — —1PC PB 2• PG—丄PC ,2 ・・.PD+丄PC—DP+PG ,2 •••DP+PG三DG，•当D、G、P共线时,PD+LPC的值最小,最小值为DG ,2 在 RtACDF 中，ZDCF—60° , CD—4 , •・DF—CD・sin60°—9T3 , CF—9 , 在 RtAGDF 中，DG— — ■ / 37• PD-丄PC—PD-PGWDG ,2当点P在DG的延长线上时，PD-IPC的值最大(如图9中)，最大值为DG—i祈.2 故答案为［予，i可.例题5.如图，抛物线y=-X2+bx+c与直线AB交于A (-4,-4),B(0, 4)两点，直线AC： y= -1 x-6交y轴于点C.点E是直线AB 上的动点，过点E作EF丄x轴交AC于点F,交抛物线于点2G．(1) 求抛物线 y=-x2+bx+c 的表达式；(2) 连接GB, EO,当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；(3) ①在y轴上存在一点H,连接EH, HF,当点E运动到什么位置时，以A, E, F, H为顶点的四 边形是矩形？求出此时点E, H的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M1为OE 上一动点，求1AM+CM它的最小值.2【解答】解：(I)：'点A(-4,-4),B(0,4 )在抛物线y=-X2+bx+c上,16-4b + c=- 4 ・( c = A-・• • , • <(2) 设直线AB的解析式为y=kx+n过点A, B,[ n = 4b =- 2=「，・•・抛物线的解析式为y=-x2-2x+4；• [一=一 4 •冷=--I•八 ? • • ?设 E (m , 2m+4), ・・G(m,•・•四边形GEOB是平行四边形，・•- m2 - 2m+4 -2m- 4=4 ,・・m二(3) ①如图1 ,£ 二 2・•・直线AB的解析式为y=2x+4,-m2 - 2m+4),・・・EG=0B=4,-2,・・・G(-2,4)；由(2)知,直线AB的解析式为y=2x+4，•设E (a , 2a+4),••直线 AC： y=- 1 x - 6 ,・・・F(a , - 1 a-6),设 H(0 , p),••以点A , E , F , H为顶点的四边形是矩形，1 x - 6,2•・•直线AB的解析式为y=2x+4，直线AC： y=1(2a+4 - a -6),2・・・AB丄AC,・・・EF为对角线，1111(- 4+0) = (a+a), (- 4+p)=2 2 2 2・・・a=-2, P= - l,・・・E(-2,0).H(0,-l)；②如图 2,由①知，E(-2,0),H(0,-1),A(-4,- 4),・・・PE二・・・EH=J5, AE=2j5，设AE交©E于G,取EG的中点P, 连接PC交©E于M,连接EM,・・・EM二EH=「，逓・ PE = T = 1 ME_ 75 2TZPEM二ZMEA,..ME _ = 1 ・ PE _ ME = 1• = — — , • • ——,AE 2J5 2 ME AE 2PE ME 1 •••△PEMs^MEA,... PE 二 ME =1ME AE 21 1・・・PM二1 AM,.： 1 AM+C M 的最小值=PC，设点 P (p, 2p+4),2 2VE(-2,0),APE2= (p+2) 2+ (2p+4) 2=5。