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大学概率论必背公式大学概率论必背公式 一、一、 概率概率 1. 加法公式： 对任意两事件 A、B，有 P(A B)＝P(A)＋P(B)－P(AB) 2. 设 A、B 是 中的两个事件，且 P(B)> 0，称 )()()|(BPABPBAP 为事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率 事件 A、B 的概率乘法公式： )()|()(BPBAPABP P(ABC)＝＝P(C|AB)P(B|A)P(A) 3. 全概率公式： 设 B1，…, Bn 是的一个划分，且 P(Bi )>0， (i＝1，…，n)，则对任何事件 A，有 niiiniiBAPBPABPAP11)|()()(＝)( 注：全概率公式应用范围 随机试验可以看成分两阶段进行， 且第一个阶段的试验结果是不确定的， 我们需要求的是第二阶段的结果发生的概率，这时候用全概率公式 4. 贝叶斯公式： 设 B1，…, Bn 是的一个划分，且 P(Bi ) > 0，(i＝1，…，n)，则对任何事件 A，有 ),...,1(,)|()()|()()()|()()|(1njBAPBPBAPBPAPBAPBPABPniiijjjjj 注：贝叶斯公式应用范围 随机试验可以看成分两阶段进行， 且第一个阶段的试验结果是不确定的， 但第二个阶段的某个结果是已知的，我们需要求的是第二阶段的这个结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，这时候用贝叶斯公式 5. 设 A、B 是两事件， P(B)>0,若 P(A)＝P(A|B) 则称事件 A 与 B 相互独立。

若 A,B 独立，且 P(A)>0, P(B)>0，则 A,B 一定相容 6.贝努力概型： (1) E n 中成功 k 次的概率(即 n 重贝努里试验中 A 发生 k 次的概率)是 ,)1()(knkknnppCkP )0(nk （2）中首次成功发生在第 k 次试验的概率(即可列重贝努里试验中 A 首次发生在第 k次试验的概率)是 ,...)2 ,1(,)1(1kppk (3) 中第 r 次成功发生在第 k 次试验的概率(即可列重贝努里试验中 A 发生 r 次需要 k 次试验的概率)是 ,)1(11rrkrkppC)kr1( 二、二、离散性离散性随机变量及其分布随机变量及其分布 1. ,2,1},{的分布律..kxXPpXvrkk 或 或 2. 分布律的性质 1(2)1.kkp 3. 几个常见的离散型分布 （1）(0－1)分布(两点分布) （2）几何分布( G(p) ) 一次试验中只考虑某事件 A 出现或不出现，设 P(A)=p， P(A)=1-p现重复独立地做试验，一旦 A 发生就立即停止试验 以 X 表示 A 首次发生所需的试验次数，则其分布率为： 称 X 服从参数为 p 的几何分布。

（3）二项分布 ( B(n, p) ) 以 X 记 n 重贝努里试验中 A 发生的次数，则其分布率为： (1)0,,()1,,()kkn knppknP X kC 称 X 服从参数为(n，p)的二项分布，记为 X~B(n，p) （4）泊松泊松(Poisson)分布分布 ( P( ) ) 若随机变量 X 的所有取值为一切非负整数，且其分布律为： 其中  > 0 为常数，称 X 服从参数为的泊松(Poisson)分布，记为 X~P( ) 查表查表 （5）二维离散型随机变量(X, Y )的分布律，或随机变量 X 与 Y 的联合分布律： 4. 边缘分布律： 若随机变量 X 与 Y 的联合分布律为 则称 为(X, Y )关于 X 的边缘分布律； 称为(X, Y )关于 Y 的边缘分布律 ,!)1(lim      ekppCkknnknknn＝＝ 5. 一维离散型随机变量函数的分布律 设 X 一个随机变量，若 y＝g(x)是一元单值实函数，则 Y＝g(X )也是一个随机变量 其中 g(xk )有相同的，其对应概率合并。

三、三、随机随机性随机变量及其分布性随机变量及其分布 1. 密度函数 对于随机变量 X，若存在非负可积函数 f (x)，(-，使对任意实数 x，都有     xduufxXPxF)()()(＝＝＝＝ 则称 X 为连续型随机变量，f (x)为 X 的概率密度函数，简称概率密度或密度函数 记为 X～ f (x) , (-  < x <+ ) 2. 密度函数的性质 (3) 若 x 是 f (x)的连续点，.)()(dxxdFxf （4） （5） 对  b   R，若 X～ f (x)，(-， 则 P{X=b}＝0即：连续型随机变量取单点值的概率为零 3. 几个常用的连续型分布 （1）均匀分布 U(a , b) 则称 X 在(a , b)内服从均匀分布记为 X ~ U(a , b) ()( )baP aXbf u du＝bxbxaabaxaxxF,1,,0)( (2). 指数分布( )E 则称 X 服从参数为的指数分布 0,00,1)(xxexFx (3) 正态分布(高斯(Gauss)分布) 其中其中 > 0 ，， 为实数，则称为实数，则称 X 服从参数为服从参数为( ，， )的的正态分布正态分布, 三个特性： i. 其图形关于直线 x = 对称； 参数的正态分布称为标准正态分布， 其密度函数表示为 .,21)(22xexx N(0, 1)的性质：      1,02      4. 联合分布函数 设(X , Y )是二维随机变量，(x , y )  R^2, 则称 F(x , y )=P{X   x , Y  y } 为(X , Y )的分布函数，或 X 与 Y 的联合分布函数。

联合分布函数 F( x, y )具有如下性质： (1)非负规范  5. 边缘分布 6. 二维连续型随机变量及其密度函数 联合密度 f (x , y )的性质  7. 边缘密度函数 8. 条件密度函数 ||( , )1 (),( )( , )2 (),( )X YYY XXf x yfx yYyXfyf x yfy xXxYfx）称为下的条件密度函数）称为下 的条件密度函数 性质：性质：设(X, Y )～ f (x, y), (x, y)  R2, fX(x), fY(y)分别为 X 与 Y 的边缘密度，则 X 与 Y 相互独立等价于 f (x, y) ＝ fX(x) fY(y)，对任意(x, y)  R2 9.密度函数： 连续型随机变量函数的密度函数 （1）一维变量-分布函数法  （2）多个随机变量函数的密度函数-分布函数法 （3）几个常用函数的密度函数 a. 和的分布 若 X 与 Y 相互独立，则 Z＝X＋Y 的密度函数 称为连续型随机变量的卷积公式 .)()(＝)()()(或dxxzfxfdyyfyzfzfYXYXZ  b. 极大(小)统计量的分布  四、四、随机变量的数字特征随机变量的数字特征 1、离散型随机变量的数学期望 离散型随机变量 X，其分布律为： 数学期望 E(X)是一个常数,而非变量．它是一种以概率为权的加权平均值 （1）X ~（0—1）分布 （2）X~B（n，p）二项分布 （3）X~    （或（或    ））Poisson 分布 2. 连续型随机变量的数学期望 ,2 ,1,}{kpxXPkk （1）X~U(a，b)均匀分布 其概率密度函数为： （2）指数分布 X 服从参数为的指数分布，其概率密度函数为： （3）正态分布 3、对于 r.v.X 的函数的数学期望 elsewherebxaabxf,0,1)(一维： 二维： 4、数学期望的性质 5、方差是衡量随机变量取值与其均值的偏离程度的一个数字特征。

若 E(X)存在，则称 E[XE(X)]2 为 r.v. X 的方差，记为 D(X),或 Var(X). D(X )=E(X 2 ) [E(X )]2. （1）两点分布： （2）X~B（n，p）二项分布 （3）X~（或）Poisson 分布 （4）X~U(a，b)均匀分布 （5）指数分布 概率密度函数为 )1()(pnpXD  （6）正态分布正态分布 X ~ N( ) 6、方差的性质 7、协方差 若 r.v. X 的期望 E(X )和 Y 的期望 E(Y )存在, 则称 E{[XE(X )][YE(Y )]}为 X 与 Y 的协方差,记为 Cov(X, Y ). 即 Cov(X, Y )=E{[XE(X )][YE(Y )]}. 常用公式 Cov(X, Y )=E(XY ) E(X )E (Y ) 8、相关系数： 若 r.v. X，Y 的方差和协方差均存在, 且 D(X )> 0, D(Y )> 0，则 称为称为 X 与与 Y 的相关系数的相关系数. X 与 Y 不相关 Cov(X, Y )=0  E(XY )= E(X )E (Y )。

8、矩 （1）k 阶原点矩阶原点矩 E(X k ), k=1, 2, … 而 E(|X|k)称为 X 的 k 阶绝对原点矩； （2）k 阶中心矩阶中心矩 E[XE(X )]k, k=1, 2, … 而 E|X-E(X )|k 称为 X 的 k 阶绝对中心矩； 2,   数学期望、方差、协方差等都是一些特殊的矩 五、五、样本及抽样分布样本及抽样分布 1、常用统计量 （1）样本均值（样本平均数） （2）样本方差 （3）k 阶样本矩 2、抽样分布 统计量的分布称为抽样分布 （1） 2—分布分布 性质： A. 可加性 若若 1 ~  2(n1)，， 2~  2(n2 )，， 1，，  2独立，则独立，则 1 +  2 ~  2(n1+n2 ) B. 期望与方差 若若  ~  2(n)，则，则 E( )= n，，D( )=2n （2）t—分布 若若   ~ N(0, 1),   ~  2(n),  与与 独立，则独立，则 t (n)称为自由度为 n 的 t—分布 性质： A. f (t )关于 t =0(纵轴)对称。

f (  t )= f (t ) B. f (t )的极限为 N(0，1)的密度函数，即 （3）F—分布 若若 1 ~ 2(n1)，，  2~ 2(n2)，， 1，，  2独立，则独立，则 F(n1, n2)称为第一自由度为称为第一自由度为 n1 ，第二自由度为，第二自由度为 n2的的 F—分布 性质： 3、正态总体的抽样分布 六、六、参参 数数 估估 计计（重（重& &难）难） 1、矩估计法 用样本矩作为总体同阶矩的估计，从而解出未知参数的方法称为矩估计法或矩法  2、极大似然估计法 (1) 解似然方程法解似然方程法 称为未知参数称为未知参数  j的似然方程若该方程有解，则其解就是的似然方程若该方程有解，则其解就是  (2) 直接法直接法 由似然方程解不出 j 的似然估计时，可由定义通过分析直接推求 解：X 的概率密度为： 3、无偏性无偏性 .的无偏估计量是ˆ则称)ˆ(若,的估计量为),,(ˆˆ设1EXXn 4、正态总体参数的区间估计正态总体参数的区间估计（双侧）（双侧） （（1）单正态总体均值的置信区间）单正态总体均值的置信区间 .的置信区间求出,,，由观测值给定),，(，，设 121~niidnxxNXX A.已知已知 B. 未知未知 （（2））. 单正态总体方差的置信区间单正态总体方差的置信区间（经管类非（经管类非重点重点）） A. 未知未知 B. 已知已知  即得即得 2和和的置信度为的置信度为 1  的置信区间分别为的置信区间分别为 七、七、假假 设设 检检 验验（略）（略） 综上有单个正态总体的检验表： 1、:的假设检验关于均值 2、 :的假设检验关于均值2 。