2020年普通高等学校招生全国统一考试试题 理科数学 (全国卷III)无答案.pdf

1 2020 年普通高等学校招生全国统一考试（III卷） 理科数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的 1.已知集合 A= * ,,,x y x yNyx，B=,8x y xy，则AB中元素个数 为 A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 2.复数 1 1 3i 的虚部是 A. 3 10 B. 1 10 C. 1 10 D. 3 10 3.在一组样本数据中， 1,2,3,4 出现的频率分别为 1 p， 2 p， 3 p， 4 p， 且 4 1 1 i i p ， 则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是 A. 1423 0.1,0.4pppp B 1423 0.4,0.1pppp C 1423 0.2,0.3pppp D 1423 0.3,0.2pppp 2 4. Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公 布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 tI（t的单位：天）的 Logistic 模型： 0.2353 1 t K I t e ，其中K为的最大确诊病例数.当 0.95I tK 时，标 志着已初步遏制疫情，则t约为（ln193） A.60 B.63 C.66 D.69 5. 设 O 为坐标原点，直线2x 与抛物线 2 :2(0)C ypx p交于 D，E 两点，若 ODOE，则 C 的焦点坐标为 A. ( 1 4 ,0) B. ( 1 2 ,0) C. (1,0) D. (2,0) 6. 已知向量 a,b 满足5a ，6b ，6a b ，则cos( ,)a ab A. 31 35 B. 19 35 C. 17 35 D. 19 35 7. 在ABC 中， 2 cos= 3 C，4AC ，3BC ,则cosB A. 1 9 B. 1 3 3 C. 1 2 D. 2 3 8. 右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积 是 A.6+4 2 B.44 2 C.62 3 D.42 3 9.已知2tantan()7 4 ，则tan A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 10.若直线l与曲线yx和圆 22 1 5 xy都相切，则l的方程为 A.21yx B. 1 2 2 yx C. 1 1 2 yx D. 11 22 yx 11. 设双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、 右焦点分别为 1 F, 2 F， 离心率为 5.P是C上一点，且 12 FPF P.若 12 PFF的面积为 4，则 a= A1 4 B2 C4 D8 12. 已知 54 58， 45 138，设 5 alog 3， 8 b=log 5， 13 clog 8，则 A.abc B.bac C.bca D.cab 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。

13. 若 x,y 满足约束条件 x0 2x0 1 y y x ，则 z=3x+2y 的最大值为_____. 14. 26 2 x) x （的展开式中常数项是______（用数字作答）. 15.已知圆锥的底面半径为 1，母线长为 3，则该圆锥内半径最大的球的体积为 ____. 16.关于函数 1 ( )sin sin f xx x 有如下四个命题： ( )f x的图像关于y轴对称. ( )f x的图像关于原点对称. ( )f x的图像关于直线 2 x 对称. ( )f x的最小值为 2. 其中所有真命题的序号是____. 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求 作答 （一）必考题：共 60 分 17.（12 分） 5 设数列 n a满足 1 3a ， 1 34 nn aan . (1) 计算 2 a， 3 a，猜想 n a的通项公式并加以证明； (2) 求数列2n n a的前 n 项和 n S. 18.（12 分) 某学生兴趣小组随机调查了某市 100 天中每天的空气质量等级和当天到某公园 锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天） ： 锻炼人次 空气质量等级 0,200（200,400（400,600 1（优）21625 2（良）51012 3（轻度污染）678 4（中度污染）720 （1） 分别估计该市一天的空气质量等级为 1,2,3,4 的概率； （2） 求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值 （同一组中的数据用该组区间 的中点值为代表） ； （3） 若某天的空气质量等级为 1 或 2，则称这天“空气质量好”；若某天的空 气质量等级为 3 或 4，则称这天“空气质量不好”。

根据所给数据，完成 下面的22列联表，并根据列联表，判断是否有 95%的把握认为一天中到 该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？ 人次400人次400 空气质量好 空气质量不好 附： ，， 19.（12 分） 如图， 在长方体ABCD- 1111 ABC D中， 点 E， F 分别在棱 1 DD， 1 BB上， 且 1 2DEED， 6 1 2BFFB. （1）证明：点 1 C在平面AEF内； （2）若2AB ，1AD ， 1 3AA ，求二面角 1 AEFA 的正弦值. 20.（12 分） 已知椭圆 C: 22 2 1 25 xy m (05)m的离心率为 15 4 ，A，B 分别为 C 的左、右 顶点. （1）求 C 的方程； （2）若点 P 在 C 上，点 Q 在直线6x 上，且|| ||BPBQ,BPBQ，求APQ 的面积. 21.(12 分) 设函数 3 ( )f xxbxc,曲线( )yf x在点 11 ( ,( )) 22 f处的切线与y轴重直, (1)求b； (2)若( )f x有一个绝对值不大于 1 的零点，证明:( )f x所有零点的绝对值都 不大于 1. （二）选考题：共 10 分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答。

如果多做，则 按所做的第一题计分 22. 选修 44：坐标系与参数方程（10 分） 在直角坐标系xOy中，曲线 C 的参数方程为 =2- - =2- 3+ x y t t t t （t 为参数且 t1） ，C 与坐标轴交于 A，B 两点. （1）求AB; （2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线 AB 的极坐 标方程. 7 23.选修 45：不等式选讲（10 分） 设, ,a b cR，0abc，abc=1. （1） 证明：0abbcca； （2） 用max, ,a b c表示, ,a b c的最大值，证明：max, ,a b c 3 4 。