高中全程复习方略配套课件13.1平行截割定理与相似三角形.ppt

第一节 平行截割定理与相似三角形 ……………………三年三年1 1考考 高考指数高考指数:★:★★★★★内内 容容要要 求求A AB BC C相似三角形的判定与性质定理相似三角形的判定与性质定理√√射影定理射影定理√ √ 1.1.平行截割定理平行截割定理(1)(1)平行线等分线段定理及推论：平行线等分线段定理及推论：定理定理: :如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条任一条( (与这组平行线相交的与这组平行线相交的) )直线上截得的线段直线上截得的线段 . .推论推论1 1：经过梯形一腰中点而平行于底边的直线：经过梯形一腰中点而平行于底边的直线 . .推论推论2 2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必 . .也相等也相等平分另一腰平分另一腰平分第平分第三边三边(2)(2)平行线分线段成比例定理及推论：平行线分线段成比例定理及推论：定理定理: :两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段对应线段 . .推论：平行于三角形一边的直线截其他两边推论：平行于三角形一边的直线截其他两边( (或两边的延长线或两边的延长线) )所得的对应线段所得的对应线段 . .成比例成比例成比例成比例【即时应用】【即时应用】如图，在四边形如图，在四边形ABCDABCD中，中，EF∥BC,FG∥AD,EF∥BC,FG∥AD,则则 = = . .【解析】【解析】由由EF∥BCEF∥BC得得 由由FG∥ADFG∥AD得得 故故 答案：答案：1 12.2.相似三角形的判定定理及推论相似三角形的判定定理及推论(1)(1)定理：定理：①① 对应相等的两个三角形相似；对应相等的两个三角形相似；②②两边两边 且且 相等的两个三角形相似；相等的两个三角形相似；③③三边三边 的两个三角形相似的两个三角形相似. .(2)(2)推论：推论：如果一条直线与三角形的一条边如果一条直线与三角形的一条边 ，且与三角形另两条边相，且与三角形另两条边相交，则截得的三角形与原三角形相似交，则截得的三角形与原三角形相似. .两角两角对应成比例对应成比例夹角夹角对应成比例对应成比例平行平行【即时应用】【即时应用】(1)(1)如图，已知如图，已知△ABC△ABC中，中，P P是是ABAB上的上的一点，连结一点，连结CPCP，则下列条件：，则下列条件：①∠1=∠B①∠1=∠B，，②∠2=∠ACB,②∠2=∠ACB,③③ACAC2 2= =APAP··ABAB，，④④ ，能满足，能满足△ACP△ACP与与△ABC△ABC相似的是相似的是 ( (填序号填序号).).(2)(2)判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确( (请在括号内打请在括号内打““√√””或或“×”“×”).).①①所有的等腰三角形都相似所有的等腰三角形都相似. ( ). ( )②②所有的等边三角形都相似所有的等边三角形都相似. ( ). ( )③③所有的等腰直角三角形都相似所有的等腰直角三角形都相似. ( ). ( )④④所有的直角三角形都相似．所有的直角三角形都相似． ( ) ( )【解析】【解析】(1)(1)由图形知，两个三角形有一个公共角由图形知，两个三角形有一个公共角∠A∠A，根据相，根据相似三角形的判定定理，只要再有另一对对应角相等或夹似三角形的判定定理，只要再有另一对对应角相等或夹∠A∠A的对的对应边成比例，则两个三角形相似，因此能满足应边成比例，则两个三角形相似，因此能满足△ACP△ACP与与△ABC△ABC相相似的条件是似的条件是①②③.①②③.(2)①(2)①所有等腰三角形不一定相似，故错所有等腰三角形不一定相似，故错;②;②符合三边对应成比符合三边对应成比例，故相似，正确；例，故相似，正确；③③符合两边对应成比例，夹角相等，故相符合两边对应成比例，夹角相等，故相似，正确似，正确;④;④所有的直角三角形不一定相似所有的直角三角形不一定相似, ,故错故错. .答案：答案：(1)①②③ (2)①(1)①②③ (2)①×× ②√ ③√ ④ ②√ ③√ ④××3.3.相似三角形的性质定理相似三角形的性质定理相似三角形的对应线段的比等于相似三角形的对应线段的比等于 ; ;相似三角形的面积比等于相似三角形的面积比等于 . .相似比相似比相似比的平方相似比的平方【【即时应用即时应用】】如图，梯形如图，梯形ABCDABCD中，中，AB∥CDAB∥CD，，EFEF过过对角线的交点对角线的交点O O，且，且EO∶OFEO∶OF＝＝1∶21∶2，，则则AB∶DCAB∶DC＝＝ ，，OC∶CAOC∶CA＝＝ ，，△△AOBAOB的周长的周长∶△∶△CODCOD的周长＝的周长＝ ，，S S△COD△COD∶S∶S△AOB△AOB＝＝ ，，S S△COD△COD∶S∶S△ABC△ABC＝＝ ．．【【解析解析】】由条件可证由条件可证△△OAB∽△OCD, △OAF∽△OCE,OAB∽△OCD, △OAF∽△OCE,故故AB∶DCAB∶DC＝＝OA∶OC=FO∶EO=2∶1, OC∶CAOA∶OC=FO∶EO=2∶1, OC∶CA＝＝1∶3,1∶3,于是于是△△AOBAOB的周长的周长∶△∶△CODCOD的周长＝的周长＝2∶1,2∶1,S S△COD△COD∶S∶S△AOB△AOB＝＝1∶4;1∶4;因因DO∶OB=EO∶OF=1∶2,DO∶OB=EO∶OF=1∶2,故故S S△BOC△BOC=2S=2S△DOC△DOC, ,从而从而S S△ABC△ABC=6S=6S△DOC△DOC得得S S△COD△COD∶S∶S△ABC△ABC＝＝1∶61∶6答案：答案：２２∶∶1 1∶3 2∶1 1∶4 1∶61 1∶3 2∶1 1∶4 1∶64.4.直角三角形射影定理直角三角形射影定理直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在 上射影与上射影与__________的乘积，斜边上的高的平方等于的乘积，斜边上的高的平方等于 在在 上上射影的乘积射影的乘积. .斜边斜边两条直角边两条直角边斜边斜边斜边斜边【【即时应用即时应用】】如图，已知如图，已知Rt△ABCRt△ABC的两条直角边的两条直角边ACAC，，BCBC的长分别为的长分别为3 cm3 cm，，4 cm4 cm，以，以ACAC为直为直径的圆与径的圆与ABAB交于点交于点D D，则，则BDBD＝＝ cm.cm.【【解析解析】】连结连结CDCD，则，则CD⊥AB,CD⊥AB,由直角三角形射影定理可得由直角三角形射影定理可得BCBC2 2=BD=BD··BA,BA,又又BC=4 BC=4 cm,BAcm,BA= = =5 (cm),=5 (cm),所以所以BD=BD= cm.cm.答案：答案： 相似三角形的判定与应用相似三角形的判定与应用 【【方法点睛方法点睛】】1.1.证明三角形相似的方法证明三角形相似的方法(1)(1)已知有一角相等时，可选择判定定理已知有一角相等时，可选择判定定理1 1或判定定理或判定定理2;2;(2)(2)已知有二边对应成比例时，可选择判定定理已知有二边对应成比例时，可选择判定定理2 2或判定定理或判定定理3;3;(3)(3)判定直角三角形相似时，首先看是否可以用判定直角三角判定直角三角形相似时，首先看是否可以用判定直角三角形相似的方法形相似的方法( (斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似形相似) )来判定，如果不能，再考虑用判定一般三角形相似的来判定，如果不能，再考虑用判定一般三角形相似的方法来判定．方法来判定．2.2.相似三角形的判定定理的作用相似三角形的判定定理的作用(1)(1)可以用来判定两个三角形相似；可以用来判定两个三角形相似；(2)(2)间接证明角相等、线段成比例；间接证明角相等、线段成比例；(3)(3)间接地为计算线段的长度及角的大小创造条件．间接地为计算线段的长度及角的大小创造条件．【【例例1 1】】(2011(2011··陕西高考改编陕西高考改编) )如图如图, ,∠B∠B＝＝∠∠D D，，AE⊥BCAE⊥BC，，∠∠ACDACD＝＝9090°°，，且且ABAB＝＝6 6，，ACAC＝＝4 4，，ADAD＝＝1212，求，求BEBE之长之长. .【【解题指南解题指南】】本题条件中，已知两角相等，且有直角与垂直，本题条件中，已知两角相等，且有直角与垂直，所以考虑证两三角形相似，利用对应边成比例来计算边长所以考虑证两三角形相似，利用对应边成比例来计算边长. .【【规范解答规范解答】】在在Rt△ADCRt△ADC中，中，CDCD＝＝ ；；在在Rt△ADCRt△ADC与与Rt△ABERt△ABE中，中，∠∠B B＝＝∠∠D D，，所以所以△△ADC∽△ABEADC∽△ABE，，故故 ，， 【【反思反思··感悟感悟】】在三角形中，有关线段在三角形中，有关线段( (角角) )的计算问题，主要的计算问题，主要有下列方法：有下列方法：(1)(1)若所求线段若所求线段( (角角) )与已知线段与已知线段( (角角) )在同一三角形中，则证其在同一三角形中，则证其为等腰三角形；为等腰三角形；(2)(2)若所求线段若所求线段( (角角) )与已知线段与已知线段( (角角) )在两个三角形中，则其一在两个三角形中，则其一是通过全等三角形证所求线段是通过全等三角形证所求线段( (角角) )与已知线段与已知线段( (角角) )相等，或所相等，或所求线段求线段( (角角) )等于已知线段等于已知线段( (角角) )之和或差；其二是之和或差；其二是利用相似三角形证所求线段与已知线段成比例，利用相似三角形证所求线段与已知线段成比例，或所求角等于对应的已知角，从而求之或所求角等于对应的已知角，从而求之. . 相似三角形性质的应用相似三角形性质的应用 【【方法点睛方法点睛】】相似三角形性质的应用相似三角形性质的应用(1)(1)有关三角形的面积关系，主要有两类：有关三角形的面积关系，主要有两类：①①当两个三角形相似时，用相似三角形的面积比等于相似比的当两个三角形相似时，用相似三角形的面积比等于相似比的平方来转化三角形的面积；平方来转化三角形的面积；②②当两个三角形同当两个三角形同( (等等) )高或同高或同( (等等) )底时，用三角形的面积之比底时，用三角形的面积之比等于底边之比或对应高之比来转化三角形的面积．等于底边之比或对应高之比来转化三角形的面积．(2)(2)相似三角形的面积比等于相似比的平方，计算时不要丢掉相似三角形的面积比等于相似比的平方，计算时不要丢掉平方；若从面积比求相似三角形的相似比，则要注意开平方平方；若从面积比求相似三角形的相似比，则要注意开平方. .【【例例2 2】】如图，在如图，在△△ABCABC中，点中，点D D、、E E分别是边分别是边ABAB、、ACAC的中点，的中点，DFDF过过ECEC的的中点中点G G并与并与BCBC的延长线交于点的延长线交于点F F，，BEBE与与DFDF交于点交于点O O．若．若△△ADEADE的面积为的面积为S,S,求四边形求四边形BOGCBOGC的面积．的面积．【【解题指南解题指南】】本题条件中已知本题条件中已知““中点中点””，联想到三角形的中位，联想到三角形的中位线定理，从而可得平行线段，再得相似三角形，从而根据相似线定理，从而可得平行线段，再得相似三角形，从而根据相似三角形的性质计算所求图形的面积三角形的性质计算所求图形的面积. .【【规范解答规范解答】】∵∵点点D D、、E E分别是边分别是边ABAB、、ACAC的中点，的中点，∴∴DE∥BCDE∥BC且且DE=DE= BC,BC,∴△ADE∽△ABC∴△ADE∽△ABC，其相似比为，其相似比为 ，面积比为，面积比为 ，，∵△∵△ADEADE的面积为的面积为S S，，∴△∴△ABCABC的面积为的面积为4S4S，四边形，四边形DBCEDBCE的面积为的面积为3S3S．．∵∵D D是边是边ABAB的中点，的中点，∴ ∴ 又又∵∵DE∥BCDE∥BC，，∴△∴△DEG∽△FCG, DEG∽△FCG, 而而G G为为ECEC中点，中点，故相似比为故相似比为1 1，即，即DE=FC,DE=FC,同理同理△△DEO∽△FBODEO∽△FBO，而，而BF=3DE,∴BO=3EOBF=3DE,∴BO=3EO，，∴∴S S△DOB△DOB= = ∵ ∵AE=EC=2EGAE=EC=2EG，，∴∴S S△DEG△DEG= = , ,∴S∴S四边形四边形BOGCBOGC=S=S四边形四边形BCEDBCED-S-S△DOB△DOB-S-S△DEG△DEG 【【反思反思··感悟感悟】】高中几何证明选讲中的相似三角形性质是根据高中几何证明选讲中的相似三角形性质是根据初中相似三角形性质初中相似三角形性质: :““对应角平分线、对应中线、对应高、对应角平分线、对应中线、对应高、对应周长的比等于相似比对应周长的比等于相似比””而得到的，例如根据而得到的，例如根据““三角形面积三角形面积等于三角形的一边与这边上的高乘积的一半等于三角形的一边与这边上的高乘积的一半””而推导得而推导得 ““相相似三角形的面积比等于相似比的平方似三角形的面积比等于相似比的平方””, ,所以证题时所以证题时, , 应多多应多多联想到相似三角形的相关性质联想到相似三角形的相关性质. .  直角三角形中射影定理的应用直角三角形中射影定理的应用【【方法点睛方法点睛】】直角三角形中成比例线段问题的解决方法直角三角形中成比例线段问题的解决方法(1)(1)如图，如图，Rt△ABCRt△ABC中，若中，若CDCD为高，为高，则有则有CDCD2 2=BD=BD··ADAD，，BCBC2 2=BD=BD··ABAB，，ACAC2 2=AD=AD··ABAB，利用上面等积式和，利用上面等积式和勾股定理，已知图中的任意两条线段，可求出其余四条线段勾股定理，已知图中的任意两条线段，可求出其余四条线段. .(2)(2)直角三角形中出现斜边上的高这一条件时，射影定理是经直角三角形中出现斜边上的高这一条件时，射影定理是经常使用的结论，注意灵活运用常使用的结论，注意灵活运用. . 【【例例3 3】】已知：如图，在直角三角形已知：如图，在直角三角形ABCABC中，中，∠∠BACBAC＝＝9090°°，，ABAB＝＝ACAC，，D D为为BCBC的中点，的中点，E E为为ACAC上一点，上一点，点点G G在在BEBE上，连结上，连结DGDG并延长交并延长交AEAE于于F F，，若若∠∠FGEFGE＝＝4545°°．．(1)(1)求证：求证：BDBD··BCBC＝＝BGBG··BEBE；；(2)(2)求证：求证：AG⊥BE.AG⊥BE.【【解题指南解题指南】】(1)(1)欲证乘积式，即证比例式，因此将此四边放欲证乘积式，即证比例式，因此将此四边放置于两个相似三角形中证之；置于两个相似三角形中证之；(2)(2)因本题条件中具有直角，故因本题条件中具有直角，故欲证两线垂直，可证其交角与直角相等，即证其所在三角形与欲证两线垂直，可证其交角与直角相等，即证其所在三角形与直角三角形相似，这从第直角三角形相似，这从第(1)(1)小题所得结论与射影定理结合，小题所得结论与射影定理结合，即可证得即可证得. .【【规范解答规范解答】】(1)∵∠BAC(1)∵∠BAC＝＝9090°°，，ABAB＝＝AC,AC,∴∠BCE∴∠BCE＝＝4545°°, ,∵∠BGD∵∠BGD＝＝∠∠FGEFGE＝＝4545°°,∴∠BGD,∴∠BGD＝＝∠∠BCE,BCE,又又∠∠GBDGBD＝＝∠∠CBE,∴△GBD∽△CBE.CBE,∴△GBD∽△CBE.∴∴ 即即BDBD··BCBC＝＝BGBG··BE.BE.(2)∵AB(2)∵AB＝＝ACAC，，D D为为BCBC的中点，的中点，∴∴BC⊥AD,BC⊥AD,又又∠∠BACBAC＝＝9090°°, ,又由射影定理又由射影定理ABAB2 2=BD=BD··BCBC，从而，从而ABAB2 2=BG=BG··BEBE，即，即 又又∠∠ABGABG＝＝∠∠EBA,EBA,∴△ABG∽△EBA,∴∠BGA∴△ABG∽△EBA,∴∠BGA＝＝∠∠BAEBAE＝＝9090°°,∴AG⊥BE. ,∴AG⊥BE. 【【反思反思··感悟感悟】】由于在直角三角形中添加斜边上的高得到由于在直角三角形中添加斜边上的高得到““双双垂直垂直””的基本图形，其中有三对相似三角形，这个图形在相似的基本图形，其中有三对相似三角形，这个图形在相似三角形中非常重要三角形中非常重要. .可用来证明对应线段成比例等可用来证明对应线段成比例等. . 。