原子物理学第三次作业答案 (10).doc

1第四章 复杂原子的能级结构及光谱复杂原子复杂原子：除碱金属原子外，核外有两个和两个以上电子的原子 以最简单的复杂原子 He 原子（两个核外电子）为例，受力情况：电子 1：库仑力,； 1fr1 , 2fr)()(1 , 211tftfFrrr磁场力电子 2：库仑力, ；2fr2, 1fr)()(2, 122tftfFrrr磁场力结论：结论：复杂的受力使原子的相互作用能量计算非常复杂！无法精确求解, 必须采用近似计 算方法§4.1复杂原子中电子的本征函数和本征能量4.1.1平均有心力场近似回顾回顾：氢原子和类氢原子：，  022041rrZeFnrrrZerV2041)(碱金属原子：， 022*041rreZFnrrreZrV2*041)(共同特点共同特点：（1）电子受有心力作用（指向核，属保守力） ，可以引入作用势能； （2）势能和时间无关，可用定态 S. eq 求解； （3）磁场力远远小于库仑力磁场力远远小于库仑力，解定态 S. eq 时不考虑磁场力（能量） 对复杂原子计算的启示：（1）首先，忽略磁场力； （2）假定：每个电子都处于一个“平均有心力场”的作用，则可 以引入作用势能，作用势能和时间无关。

电子 1：,  )()(1 , 211tftfFrrr11 12)(rrrFr )(11rV121frZe2fr1 , 2fr2, 1fr1lr1sr2sr2lr2电子 2：,  )()(2, 122tftfFrrr22 22)(rrrFr )(22rV一般地，由 N 个电子组成的原子，第 i 个电子受力及势能为：,  （1）ii iiirrrFFrr)()(iirV设：ui (r, ,) 和 i 为此第 i 个电子的本征波函数和能量本征值，其定态 S. eq 为：[+Vi(ri)] ui (ri, i,i) = i ui (ri, i,i) （2）222 ih(2) 式的解为：ui (ri, i,i) ＝R ni, li（ri）Yli, mi（i, i）（3）式中，Yli, mi（, ）：球谐函数，同氢原子；R ni, li（r）：径向函数，不同氢原子考虑到电子的自旋，由第三章，引入了自旋波函数i = i (msi)所以，第 i 个电子的总 波函数：Ui ＝R ni, li（ri）Yli, mi（i, i）i (msi) ＝Uin, l, ml, ms（4）复杂原子的能量的一级近似（不考虑磁场力）：E = E0 = i（5）考虑磁场力后，原子的能量 E＝ E0 ＋EL, S EL, S：原子中电子的轨道磁矩和自旋磁矩的相互作用（4.2 讨论）由第二章，电子的状态状态由其波函数 Ui式确定；由（4）式，Ui由四个量子数四个量子数 n, l, ml, ms 确定。

所以，电子的状态由 n, l, ml, ms 确定 我们知道： 对一定的 n 值, l 可取：0，1，2， ， （n－1） ，共 n 个值； 对一定的 l 值, ml可取：0，1，2， ， l， 共 2 l ＋1 个值； ms 可取： 1/2 ，共 2 个值所以，四个量子数 n, l, ml ,ms共表示：2=2n2种电子的状态10) 12(nll问题问题：如果某个原子由 N 个电子组成，这 N 个电子怎样分配这 2n2个电子的状态？为回答如上问题，泡利泡利（Pauli, 奥地利人）1925 提出泡利原理4.1.2泡利原理和原子中电子的壳层结构31,泡利原理： 表述表述 1：原子中，由一定的 4 个量子数确定的一种状态，只能容纳一个电子 表述表述 2：原子中，没有两个电子具有完全相同的四个量子数 2,电子的壳层结构 电子“壳层”结构的概念由玻尔最先提出指：原子中的电子按壳层排列： 主量子数 n =1, 2, 3, 4, 5,…的壳层, 分别称为 K, L, M, N, O, ，主壳层主壳层； n 值确定的主主壳层，含有 2n2种电子的状态，按泡利原理按泡利原理，能容纳 2n2个电子； K, L, M, N, O, 。

，主主壳层分别能容纳：2，8，18，32，50， ，个电子 角量子数为 l = 0, 1, 2, 3, 4,… 的壳层, 分别称为 s, p, d, f, g, ，支壳层支壳层 l 值确定的支壳层，含有 2（2 l ＋1）种电子的状态，按泡利原理按泡利原理，能容纳 2（2 l ＋1）个电子 s, p, d, f, g, ，支支壳层分别能容纳：2，6，10，14，18， ，个电子例如：nlmlms(n, l, ml ,ms)可表状态可容纳电子数1 (K)0（1s）01/2（1，0， 0，1/2）20（2s）01/2（2，0， 0，1/2）2+11/2（2，1，+1，1/2）2-11/2（2，1，-1，1/2）22(L)1（2p）01/2（2，1， 0，1/2）23,原子中的电子按壳层排列的顺序－电子组态电子组态 排列原则（基态！基态！）： （1）泡利原理泡利原理； （2）最小能量原则最小能量原则：电子按各个壳层的能量大小顺序，由低至高的在原子各个 壳层中排列 各支壳层能量顺序图（实验规律，见：杨福家书）： 1s电子数 2n2 ：22s2p83s3p3d184s4p4d4f325s5p5d5f5g506s6p6d6f6g 。

727s7p7d7f7g 98电子数2（2 l＋1）：2 6 10 14 18 22 26 Na 原子为例：（Z＝11） Na ：1s22s22p63s  Na 原子基态基态的电子组态电子组态；4K 原子为例：（Z＝19） K： 1s22s22p63s23p64s  K 原子基态基态的电子组态电子组态 当 K 受激发，4s 4p, 激发态激发态的电子组态： 1s22s22p63s23p64p4,元素周期表 (按基态电子组态排序) H:1s;He: 1s2 (2) Li:1s22s; Be: 1s22s2; B: 1s22s22p; ，Ne: 1s22s22p6(8) Na: [Ne]3s; Mg: [Ne]3s2; Al: [Ne]3s23p; Ar: [Ne]3s23p6(8) K:[Ar]4s; Ca: [Ar]4s2; Sc: [Ar] 4s23d; ，Kr: [Ar]3s23p64s23d104p6 (18) 4.1.3满支壳层（l 为定值）的性质 满满支壳层支壳层：已被电子装满的支壳层。

如：K  1s22s22p63s23p6 4s（未满） （1）电荷分布呈球对称分布；电荷空间分布  电子在空间的几率分布  满满支壳层支壳层全部电子的波函数  2单一电子（4）式： Ui ＝R ni, li（ri）Yli, mli（i, i）i (msi) ＝Uin, l, ml, ms一原子中，电子的区别区别用（n, l, ml, ms）表示，Ui ＝Un, l, ml, ms ＝R n, l（r）Yl, ml（, ）(ms)满满支壳层全部电子的波函数：支壳层全部电子的波函数：  2 ＝  Ui 2＝  Un, l, ml, ms 2 llmlms2/12/1＝ R n, l（r）2 Yl, ml（, ）2(ms)2 llml 2/12/1sm R n, l（r）2: 和角度无关  球对称； Yl, ml（, ）2 ＝（P56，表 2.4.2） 球对称； llml) 12(41l(ms)2 ＝(1/2) 2 +(-1/2) 2 ＝ 1 (Why ?：或上或下)  球对称。

 2/12/1sm所以，满满支壳层：支壳层：  2 ＝  Ui 2  球对称 满满支壳层支壳层电荷分布呈球对称分布由于主壳层由支壳层组成， 推论推论：满主壳层电荷分布也呈球对称分布满主壳层电荷分布也呈球对称分布2）电子的总轨道角动量和自旋角动量均为零LSr简单考虑简单考虑： 电荷分布在空间呈球对称分布要求要求：ilrilr5在空间任意位置有角动量（） ，ilrir必能在空间的另一对应位置有-（-） ，ilrir使得： ；0(, 0(总）＝总）LilLrr同理： 0(, 0(总）＝总）SisSrrr数学考虑数学考虑： 对 l 确定的满支壳层满支壳层，ml, ms 的全部取值为：ml：l,l－1 ， ，0， ，－（l－1 ） ， －lms：1/2,-1/2, 1/2,-1/2, ， 1/2,-1/2, ， 1/2,-1/2, 1/2,-1/2,总轨道磁量子数： 总自旋磁量子数： ; 0 llmlLlmM. 02/12/1 lmssmM所以：总轨道角动量： 总自旋角动量： （6）0Lr0Sr由于主壳层由支壳层组成， 推论推论：满主壳层满主壳层电子的总轨道角动量和总自旋角动量为零。

说明说明 1：第三章中，碱金属的能量计算中不考虑“闭合壳层” 满主壳层中电子的原因LiNa＝ 0； ＝ 0LrSr说明说明 2：在复杂原子的能量计算中，除最外层电子，可以不考虑满壳层中电子的和LrSrZ＝3 -2e-en=1n=2Z＝11 -2e-8en=1n=2-en=3Z（）BrLrMLℏSrMSℏZ（）Br6例如：Al 原子电子的组态： [Ne]3s23p＝1s22s22p63s23p：只需计算 3p 电子; Why? L= 0, S= 0 K 原子的电子组态： 1s22s22p63s23p64s：只需计算 4s 电子L= 0, S= 0回顾：复杂原子的能量的一级近似（不考虑磁场力）：E = E0 = i考虑磁场力后，原子的能量 E＝ E0 ＋EL, S（价电子的磁场力作用）问题：EL, S ＝？§4.2两个价电子原子两个价电子原子的结构和光谱 (内层形成电子封闭封闭结构) II 族元素：(IIa) Be，Mg， Ca， Sr， Ba 及 (IIb) Zn，Cd， Hg， He， 电子能级结构和光谱类似 4.2.1角动量的 LS 耦合 I， LS 耦合规则电子 1：;1lr1sr电子 2：;2lr2srLS 耦合耦合： ；（7）21llLrrr21ssSrrr总角动量：（8）SLJrrr类似第三章，单一电子和的耦合：lrsr（1）角动量的本征值 ：，22) 1(:ˆhLLL，22) 1(:ˆhSSS。

22) 1(:ˆhJJJ（2） 量子数取值： L： (l1+ l2) = Lmax,l1+ l2-1, ，  l1－ l2= L min （9a） S： (s1+ s2) = Smax,s1+ s2-1, ，s1－ s2= S min （9b） J： ( L+S ) = Jmax,L+S-1, ，  L－S = Jmin（9c） （3） 磁场力耦合能量：EL, S = { J (J+1)-L (L+1)- S (S+1) } } (10)2,SLA（4）选择定则：  J ＝ 1, 0 ( 0 0)  L ＝ 1  S ＝ 0 (5)能级（原子态）标记JSL12 7L ：原。