8111定积分的概念.ppt
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引引 言言 从历史上说从历史上说,定积分定积分的概念产生于计算平面上封的概念产生于计算平面上封闭曲线围成闭曲线围成区域的面积区域的面积.为了计算计算这类区域的面为了计算计算这类区域的面积，最后把问题归结为计算具有积，最后把问题归结为计算具有特定结构特定结构的的和式的和式的极限极限.人们在实践中逐渐认识到这种人们在实践中逐渐认识到这种特定结构特定结构的的和式和式的极限的极限,不仅是计算区域面积的数学工具不仅是计算区域面积的数学工具,而且也是而且也是计算其它许多实际问题计算其它许多实际问题(如变力作功、水的压力、立如变力作功、水的压力、立体体积等）的数学工具体体积等）的数学工具.因此因此,无论在理论上或实践无论在理论上或实践中中,定积分这种特定结构的和式的极限具有定积分这种特定结构的和式的极限具有普遍意义普遍意义.于是它成为数学分析的重要组成部分于是它成为数学分析的重要组成部分. 本章就从解决曲边梯形面积计算入手本章就从解决曲边梯形面积计算入手,给出定积给出定积分的分的概念概念,讨论定积分的讨论定积分的性质性质和和计算计算等问题等问题.Chapt 8. 定积分定积分 背景来源——面积的计算•在初等几何中，我们只会计算由直线段和圆弧围成的平面区域的面积.长方形 长×宽 ab 正方形 边长×边长 aa 平行四边形 底×高 ah 三角形 底×高÷2 ah÷2 梯形 （上底＋下底）×高÷2 （a＋b）h÷2圆，扇形等 如何计算由任意形状的闭曲线所围成的平面区域的面积？这是一个一般的几何问题，这个问题只有用极限的方法才能得到圆满的解决. 一条封闭曲线围成的平面区域，常常可用相互垂直的两组平行线将它分成若干部分，总的说来，他们可以看作以下三类区域：：(1)是矩形是矩形(已知的已知的)，，(2)是曲边三角形是曲边三角形(曲边梯形的特殊情况曲边梯形的特殊情况)，，(3)是曲边梯是曲边梯形。
形所以，只要会计算曲边梯形的面积就可以了.曲边梯形面积的计算问题就产生了定积分 abxyo实例实例1:1: （求曲边梯形的面积）（求曲边梯形的面积）一、问题的提出一、问题的提出8.1 定积分的概念图形图形.我们如何求曲边梯形的面积我们如何求曲边梯形的面积A=？？ 圆面积是用一系列边数无限增多的圆面积是用一系列边数无限增多的内接（或外切）内接（或外切）正多边形正多边形面积的面积的极限极限来定义的来定义的. .在初等数学里，在初等数学里， 现在现在我们仍用类似的办法来定义曲边梯形的面积我们仍用类似的办法来定义曲边梯形的面积. . 这里我们借助这里我们借助矩形矩形的面积来定义曲边梯形的面积来定义曲边梯形的面积 abxyoabxyo用矩形面积用矩形面积近似取代近似取代曲边梯形面积曲边梯形面积显然，小矩形显然，小矩形越多越多，矩形总面积，矩形总面积 越接近越接近曲边梯形面积．曲边梯形面积．（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）基本思想基本思想(以直代曲以直代曲)具体做法具体做法(如下如下) 1.分割分割分分法法任任意意（化整为零）（化整为零）在区间在区间[a,b]内内任意任意插入插入(n-1)个分点个分点,称为区间称为区间[a,b]的的一个一个分法分法(分割分割)，记为，记为T.分法分法T将区间将区间[a,b]分成分成n个个小区间小区间，过每个分点作过每个分点作x轴的垂线，这些垂线与轴的垂线，这些垂线与曲线曲线f(x)相交，相应地把相交，相应地把大大曲边梯形分曲边梯形分为为 n 个个小小曲边梯形曲边梯形，其面积分别记为，其面积分别记为ΔAi ( i=1, 2, …, n )把把一个一个大大曲边梯形分割成曲边梯形分割成n个个小小曲边梯形曲边梯形 2.代替代替（化曲为直）（化曲为直）在每个小区间在每个小区间[ xi-1, xi ] 上上任取任取一点一点ξi ，于是，以，于是，以为底，为底， 为高的为高的小小矩形矩形面面积积 应为应为小小曲边梯形曲边梯形面积的面积的近似值近似值，即，即取法任意用用小矩形小矩形的面积的面积替代替代相应相应小曲边梯形小曲边梯形的面积，的面积， 3.求和求和（积零为整）（积零为整）将将n个矩形面积加起来，应该是大曲边梯形面积个矩形面积加起来，应该是大曲边梯形面积近似值近似值.曲边梯形面积曲边梯形面积A的近似值为的近似值为： 将[a,b]逐次分下去，使小区间的长越来越小，则不论 怎样选取，n个矩形面积之和应该越来越趋近于曲边梯形的面积.不难看到，在任何有限的过程中，n个矩形面积之和总是曲边梯形面积的近似值，只有在无限过程中，应用极限方法才能转化为曲边梯形的面积.求求n个小矩形面积之和个小矩形面积之和. . 4.取极限（化（化直直为曲）为曲）于是，于是， 就相当于分割就相当于分割无限无限加细，让每个小区间的长度都加细，让每个小区间的长度都无限趋近于无限趋近于零零即n个小区间之长的最大者.如果当如果当 时，时，n个矩形面积之和个矩形面积之和 存在极限，设存在极限，设则称A是曲边梯形面积曲边梯形面积.由此可见，曲边梯形面积A是一个特定结构和式的极限.这个定义给出了计算曲边梯形面积的方法.不过按此定义计算曲边梯形的面积，要进行复杂的运算.在后面一节中，将进一步讨论这个和式极限的计算方法.由近似值过渡到精确值由近似值过渡到精确值 求曲边梯形的面积体现了求曲边梯形的面积体现了化化曲曲为为直直、、化化直直为为曲曲的辩证思想。
这个计算过程，就的辩证思想这个计算过程，就是一个是一个先微分后积分先微分后积分的过程也就是说，的过程也就是说，把曲边梯形分割成许多小曲边梯形，在每把曲边梯形分割成许多小曲边梯形，在每个小曲边梯形中，把曲边看成直边，用这个小曲边梯形中，把曲边看成直边，用这些小些小“矩形矩形”面积的和近似地表示原来大面积的和近似地表示原来大曲边梯形的面积，从而实现了局部的曲边梯形的面积，从而实现了局部的曲曲转转化为局部的化为局部的直直，即，即“以直代曲以直代曲” 然后，再把分割然后，再把分割无限无限加细，通过取加细，通过取极极限限，就使小矩形面积的和，转化为原来大，就使小矩形面积的和，转化为原来大曲边梯形的面积这样局部的曲边梯形的面积这样局部的直直又反过来又反过来转化为整体的转化为整体的曲曲这种曲转化为直曲转化为直，，直转直转化为曲化为曲，以及由此所反映出来的，以及由此所反映出来的化整为零化整为零、、积零为整积零为整的思想方法，是微积分乃至整个的思想方法，是微积分乃至整个高等数学的一个重要方法高等数学的一个重要方法 实例实例2:2: （求变速直线运动的路程）（求变速直线运动的路程）思路思路：：把整段时间分割成若干小段，每小段上把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作速度看作不变不变，求出各小段的路程再相加，便，求出各小段的路程再相加，便得到路程的得到路程的近似值近似值，最后通过对时间的，最后通过对时间的无限细无限细分分过程求得路程的过程求得路程的精确值精确值．．以恒代变以恒代变 (1)分割分割部分路程值部分路程值某时刻速度某时刻速度(3)求和求和(4)取极限取极限路程的精确值路程的精确值(2)代替代替路程的近似值路程的近似值 从上面例子看出，不管是求曲边梯形的面积或是计算物从上面例子看出，不管是求曲边梯形的面积或是计算物体运动的路程，尽管他们的实际意义完全不同，但从体运动的路程，尽管他们的实际意义完全不同，但从抽抽象象的的数量关系数量关系来看，他们的来看，他们的分析结构分析结构完全相同，它们都完全相同，它们都归结为归结为对问题的某些量进行对问题的某些量进行“分割分割、、 近似近似 求和求和、、 取极取极限限”，或者说都，或者说都归结为归结为形如形如 的具的具有有特定结构特定结构和式极限和式极限问题。
我们把这些问题从问题我们把这些问题从具体具体的问的问题中题中抽象抽象出来，作为一个数学概念提出来就是今天要讲出来，作为一个数学概念提出来就是今天要讲的定积分由此我们可以给定积分下一个定义：的定积分由此我们可以给定积分下一个定义： 二、定积分的定义二、定积分的定义定义定义定义定义: : 设函数设函数 f (x) 在在 [a, b] 上有定义上有定义,在在 [a, b]内内任意任意插入插入(n-1)分点分点 使使T = { x0, x1, …, xn } = { Δ1, Δ2, … , Δn }将将 [a, b] 分成分成 n个小区间个小区间Δi= [xi-1, xi ] i=1, 2, … , n 这些分点构成这些分点构成[a, b] 的一个的一个分法分法(分割分割)，记为，记为T, x1, …, xn-1 ,分分法法任任意意 各小区间的长度依此记为各小区间的长度依此记为Δxi= xi- xi-1 ,(i=1,2, …，n)在在 上上任取任取点点 i Δi , i=1, 2, … , n ，，作和作和称此和式为称此和式为 f (x) 在在 [a, b] 上的一个上的一个积分和积分和，也称，也称为为黎曼黎曼（（Riemann））和和.(Rienann和和)注：注：显然函数显然函数 f (x) 在在 [a, b] 的的积分和积分和 与分法与分法(割割)T 有有关关，也与一组，也与一组 = { }( i Δi , i=1, … , n )的取法的取法有关有关.取法任意 记记如果如果不论不论对对[a,b]怎样怎样的分法的分法(分割分割)；；也不论在小区间也不论在小区间 上，点上，点 怎样怎样的取法，的取法，只要只要 时，积分和时，积分和 存在存在确定的确定的有限极限有限极限则称函数则称函数 f (x) 在在 [a, b] 上上(黎曼黎曼)可积可积；数；数 I 称为称为 f 在在 [a, b] 上的上的定积分定积分. 亦称亦称黎曼积分黎曼积分, 记为记为且数ⅠⅠ与分法与分法T无关无关，，也与也与 在在 的取法的取法无关无关. 在定积分符号中，各部分的名称如下：在定积分符号中，各部分的名称如下：(Rienann积分积分) 注意：注意：规定当规定当 a= b 时时, 规定当规定当 a > b 时时, 函数函数f(x)在区间在区间[a,b]的定积分的定义要求的定积分的定义要求a≠b且且a
而对于积分和的极限而言，它不是分法而对于积分和的极限而言，它不是分法T的函数，每一的函数，每一个个 并并不唯一不唯一对应积分和的一个值对应积分和的一个值.它的要求条件很强，它的要求条件很强，即必须是即必须是“任意分法任意分法”和和“任意取法任意取法”下，各种各样的下，各种各样的积分和都无限趋近于积分和都无限趋近于同一个同一个有限常数，才能说定积分存有限常数，才能说定积分存在这使得积分和的极限要比通常的函数极限复杂得多在这使得积分和的极限要比通常的函数极限复杂得多. 与 的差别 是 的全体原函数 是函数 是一个和式的极限 是一个确定的常数 (5) 不定积分和定积分是积分学中的两大基本问题不定积分和定积分是积分学中的两大基本问题. .定积分则是某种特殊和式的极限，定积分则是某种特殊和式的极限，求不定积分是求导数的逆运算，求不定积分是求导数的逆运算， 1.曲线曲线 y = f (x) ≥ 0，直线，直线 x = a，， x = b，， 所围成的曲边梯形面积可用定积分表示为所围成的曲边梯形面积可用定积分表示为根据定积分的定义，可以看出，前面所举的两个实例，都是定积分根据定积分的定义，可以看出，前面所举的两个实例，都是定积分.2.物体运动的路程物体运动的路程s是速度函数是速度函数v(t)在时间间隔在时间间隔 的定积分，即的定积分，即 黎曼（黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann，，1826-1866））19世纪富有创世纪富有创造性的德国数学家、造性的德国数学家、物理学家。
对数学分物理学家对数学分析和微分几何做出了析和微分几何做出了重要贡献重要贡献 A.与区间及被积函数有关；B.与区间无关与被积函数有关 C.与积分变量用何字母表示有关；D.与被积函数的形式无关 在 上连续，则定积分 的值4.(B)中，积分上限是 积分下限是 积分区间是 2.(A) 及x轴所围成的曲边梯形 的面积，用定积分表示为 与直线 1.由曲线(B)举例 2-2[-2,2]0A3.定积分(A) 三、三、函数可积的函数可积的必要必要条件条件证明证明：（用：（用反证法反证法））假设函数f(x)在[a,b]无界对于[a,b]的任意分割T，必至少有一个小区间，不妨设在 函数f(x)无界. 即积分和无界，从而，积分和不存在极限，这与函数f(x)在[a,b]可积矛盾. 注： 函数函数f(x)在在[a,b]有界有界仅是函数仅是函数f(x)在在[a,b]可积可积的的必要条件必要条件，不是充分条件，不是充分条件.即，有的函数虽然有界，但也不可积即，有的函数虽然有界，但也不可积.例如：狄利克雷例如：狄利克雷(Dirichlet )函数，函数，X是是[0,1]的的有理有理函数函数X是是[0,1]的的无理无理函函数数D(x)在在[0,1]内有界，但它在内有界，但它在[0,1]不可积不可积. 若能构造出两个不同方式的积分和，使它若能构造出两个不同方式的积分和，使它们的极限不相同，则该函数在所论区间上们的极限不相同，则该函数在所论区间上是不可积的是不可积的.分析分析： 证明：证明： 对于[0,1]的任意分法T,因为在[0,1]的有理函数与无理函数是处处稠密的，所以，在每个小区间上既存在有理函数又存在无理函数. 若每个 取为无理函数，则积分和 若每个 取为无理函数，则积分和于是，当 时，积分和不存在极限，即D(x)在在[0,1]不可积不可积.D(x)在在[0,1]不可积不可积. 1、当、当 f (x) ≥ 0，定积分，定积分的的几何意义几何意义就是曲线就是曲线 y = f (x)直线直线 x = a，， x = b，， y = 0 所所围成的曲边梯形的面积围成的曲边梯形的面积bAoxyay=f (x)S四、四、定积分的几何意义定积分的几何意义 2、当函数、当函数 f (x) 0 ，， x [a, b] 时定积分时定积分几何意义几何意义就是位于就是位于 x 轴下方的轴下方的曲边梯形面积的曲边梯形面积的相反数相反数. 即即oxyaby=f (x)S 几何意义：几何意义：ab 曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值曲边梯形的面积的负值ab 五、小结１．定积分的１．定积分的实质实质：特殊和式的极限．：特殊和式的极限．２．定积分的思想和方法：２．定积分的思想和方法：分割分割化整为零化整为零求和求和积零为整积零为整取极限取极限精确值精确值——定积分定积分求近似以直（不变）代曲（变）求近似以直（不变）代曲（变）取极限取极限3.定积分的几何意义定积分的几何意义 例例 利用定义计算定积分利用定义计算定积分解解 人物简介人物简介 黎曼（1826～1866） Riemann，Georg Friedrich Bernhard德国数学家，物理学家 。
1826年年9月月17日生于汉诺威布列斯伦茨，日生于汉诺威布列斯伦茨，1866年年7月月20日卒于意大利塞那斯加日卒于意大利塞那斯加 1846年入格丁根大学读神学与哲学，后来转学数学，年入格丁根大学读神学与哲学，后来转学数学， 在大学期间有两年去柏林大学就读在大学期间有两年去柏林大学就读 ，， 受到受到 C.G.J.雅可比和雅可比和P.G.L.狄利克雷的影响狄利克雷的影响1849年回格丁根年回格丁根1851 年获博士学位年获博士学位 1854 年成为格丁根大学的讲师，年成为格丁根大学的讲师，1859年接替狄利克雷成为教授年接替狄利克雷成为教授 1851 年论证年论证 了复变了复变 函数函数 可导的可导的 必要充分必要充分 条件（条件（ 即柯西即柯西-黎曼方程）黎曼方程） 借助狄利克雷原理阐述了黎曼映射定理借助狄利克雷原理阐述了黎曼映射定理 ，成为函数的几何理论的基础成为函数的几何理论的基础1853年定义了黎曼积分并研究了三角级数收敛的准则年定义了黎曼积分并研究了三角级数收敛的准则1854年发扬了年发扬了高斯高斯关于曲面的微分几何研究，提出用流形的概念理解关于曲面的微分几何研究，提出用流形的概念理解 空间的实质，用微分弧长度的平方所确定的正定二次型理解度量，建立空间的实质，用微分弧长度的平方所确定的正定二次型理解度量，建立了黎曼空间的概念，把欧氏几何、非欧几何包进了他的体系之中。
了黎曼空间的概念，把欧氏几何、非欧几何包进了他的体系之中1857年发表的关于年发表的关于阿贝尔阿贝尔函数的研究论文，引出黎曼曲面的概念函数的研究论文，引出黎曼曲面的概念 ，，将阿贝尔积分与阿贝尔函数的理论带到新的转折点并做系统的研究将阿贝尔积分与阿贝尔函数的理论带到新的转折点并做系统的研究其中对黎曼曲面从拓扑、分析、代数几何各角度作了深入研究其中对黎曼曲面从拓扑、分析、代数几何各角度作了深入研究创造了一系列对代数拓扑发展影响深远的概念，阐明了后来为创造了一系列对代数拓扑发展影响深远的概念，阐明了后来为G.罗赫所罗赫所补足的黎曼补足的黎曼-罗赫定理罗赫定理。
