新课改下数列放缩法的解题决策.docx

          新课改下数列放缩法的解题决策                    摘要：近年来，随着新课改深度改革，数列放缩法在新课标的高考真题中虽然出现的频次不多，但是基于数列又是一种特殊的函数，且放缩法在函数领域有一定的应用鉴于此，笔者以为中学生应适当学习数列放缩法思想，提高自己的数学思维，又放缩法方法不唯一因此，针对新课标高考对这部分考钢要求以及便于大家容易掌握，笔者列举几种常见的放缩方法关键词：放缩法，数学思维正文：放缩法在高中阶段是一种很重要的数学思想，在数列和函数中都有体现，本文重点介绍放缩法在数列中的应用和处理办法对数列放缩法的考查曾在全国各地省份高考试卷中有所体现，纵观历年高考真题，其实，放缩法中主要在体现“放大”二字，即在往年高考真题中都是需要将数列通项公式的结果放大，从而实现对数列求和处理针对数列放缩法常见的方法有：1. 将通项公式放缩后用裂项相消法求和；2. 放缩后转化为等比数列实现公式法求和；3. 运用二项式定理放缩求和（鉴于版面情况本文不对二项式定理放缩例题作剖析，读者可自行尝试）其中，放缩后用裂项相消法和等比数列公式法求和居多具体做法见下面的例题：1. 将通项公式放缩成可以用裂项相消法求和：例：（2014•广东）设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn满足 ， ．（1）求 的值； （2）求数列 的通项公式；（3）证明：对一切正整数 ，有 ．【分析】（1）简单的赋值便可以处理；（2）既考查了 与 的关系，还考查了递推关系式中含高次的处理技巧：在高中阶段降次的方法有：取对数或因式分解，而本题需要用到因式分解；（3）看题设结构说明需要求和，而通过分析可知本题给出的结构不能直接求和，所以就需要对结构进行调整。

该如何调整这就需要我们回顾数列求和的方法：1. 等差数列、等比数列公式法求和；2. 裂项相消法求和（分式型、根式型等）；3. 错位相减法求和（等差乘等比型）；4. 分组转化法求和（通项公式结果含绝对值或奇偶数列）；由于放缩法本身对学生而言就是一大难点，如果还要在求和这个位置为难学生的话不太符合高考选拔人才的标准，所以，经过实践证明可得：放缩后要能够用裂项相消法或等比数列公式法求和（新课标高考难度）解答】解：（1）令 得： ，即 ． 又 ∴ 即2. 由 可得： ∵ （n∈N*） ∴ ∴而当 时， 又故（3）由（2）可知 ＝ ，∀n∈N*， ＝ ＜ ＝ （ ），（ 这个结构看上去需要用裂项相消法求和，但由于分母乘积的两因式并非是相邻项或相隔项，易知不能直接求和，需要对该式进行调整处理，如果我们能处理成相邻项或相隔项乘积就好了，又根据最终的不等号方向可知需要放大，这就需要我们把分母缩小从而达到整体放大，于是很自然地就出现了上述放缩后的结果）当n＝1时，显然有 ＝ ＜ ；当n≥2时，＜ + ＝ ﹣ • ＜所以，对一切正整数 ，有 ．【点评】本题考查了高次递推公式求通项公式，用到了因式分解降次，同时考查了放缩法中的放缩成裂项相消法求和从而实现对不等式的证明，是一道中档题。

注：做这类题目有时需要考虑到放缩精度，而我们从第一项放缩时会出现放过了，如果出现这种现象时我们可以考虑从第二项或第三项开始放缩，本题是从第二项开始放的二、将通项公式放缩成等比数列：例：（原创题）已知数列{an}满足 ， ．（Ⅰ）求数列 的通项公式；（Ⅱ）记数列 ；求证：bn的前n项和： ．【分析】（Ⅰ）虽然数列的前n项积中学阶段没有讲解，但对于近年的高考数学真题而言，很多知识点都在考察考生既要知其然，也要知其所以然；所以本问主要是通过数列前n项积为载体求出数列的通项公式Ⅱ）将 通项公式做分离常数法的处理，再次对分离后的式子放大，即将分母缩小，使得构成一个等差和等比数列，从而求和，证明不等式．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：…………………………………（1）；…………………………（2）；1. ÷（2）可得：∴当n=1时，上式中a1=1，满足题设；∴数列{an}的通项公式为： （ n∈N+ ）（Ⅱ）法一：拆分法 由（Ⅰ）知（分子分母都有变量，所以考虑到将变量转移，结合本题特点用了分离常数法将分子上变量处理掉后使得只有分母有变量）当n≥2时， ∵ （这一步的拆分很重要，带有指数的放缩拆分几乎都是这个技巧，就是将指数次数降低到比原来少一次。

加之等比数列的通项公式带有指数结构，所以当我们看到指数结构的通向公式时最常想到的是放缩成等比数列，利用公式法求和当然了，并非所有带指数的结构都是放缩成等比数列，有时可能用到二项式定理放缩）∴∴（1）当n=1时， 成立（2）当n≥2时， （从第2项开始放缩）综上所述，对n∈N+时， ．（Ⅱ）法二：利用“糖水不等式”进行放大，即：.(“糖水不等式”类似于化学上的浓度问题，如上述2式，a相当于溶液，b相当于是糖，现在在溶液里加糖，很显然糖水会变甜，即浓度变大了)由（Ⅰ）知：当n≥2时（1）当n=1时， 成立（2）当n≥2时，综上所述，对n∈N+时， ．【点评】本题借助于数列前n项积为载体，求解数列的通项公式，用放缩法证明不等式；而数列与不等式常结合在一起考，放缩法是常用的方法之一；本题还考查了等差和等比数列的求和，属于中档题．本题第（Ⅱ）问用了两种方法求解，对于这两种方法读者都应该掌握，尤其是“拆分法”这种方法在应付有些稍微复杂一点的结构时很好用，当然了，当两种方法均可用时，笔者建议用“糖水不等式”完成放缩，毕竟这种做法更快速注：在公式法求和时要注意数清项数结论：通过以上例证解析能够给广大学生提供详细的数列放缩法的解题策略，希望通过本文的研究为广大的学生提供更加详细的解题思路，对于数列放缩法能有一个更加全面的了解，并且能够在考试中学以致用。

参考文献：[1]胡国兴,谭景宝. 例析放缩法在数列敛散性求证中的应用[J]. 保山学院学报,2019,38(02):9-12.[2]刘艳. 放缩法在高考题中应用[J]. 湖北广播电视大学学报,2008(09):143-144.[3]成俊辅. 高中数学中常见不等式的放缩方法[J]. 环渤海经济瞭望,2017(08):150.  -全文完-。