CH3 薄膜波导和带状波导的模式理论.doc

第三章 薄膜波导和带状波导的模式理论在第二章的前两节中，我们用几何光学理论分析了薄膜波导中光的传播特性由于几何光学理论本身的局限性，如果波导的横向尺寸与光的波长相当时，利用几何光学理论就无法得到正确的结果本章采用经典电磁理论分析薄膜波导和带状波导中光波的传播问题，也就是所谓的光波导的模式理论 3.1 均匀薄膜波导均匀薄膜波导的结构如图3-1所示它由三层均匀介质构成，三层介质的折射率分别为,,，而且大于和和这种结构的光波导中光传播的几何光学理论这里不再详述本节将从麦克斯韦方程出发分析光波的传播特性由于均匀薄膜波导在y轴方向是无限延伸的，所以电磁场量不是y的函数，因而波导中的电磁场方程具有较 图3-1 均匀薄膜波导的结构简洁的形式对于角频率为ω的正弦电磁场，麦克斯韦方程组中的第一、第二个方程分别为 （3.1-1）在直角坐标系中将上面的两个矢量方程写成标量形式，得到由于波导结构在方向是无限的，因而场量与无关，假设波沿轴方向传播，则所有的场分量都可以写成因而必有，于是上面的六个方程可以分成两组 （3.1-2a） （3.1-2b） （3.1-2c） （3.1-3a） （3.1-3b） （3.1-3c）在（3.1-2）式的三个方程只含有，，三个电磁场分量，电场强度与波的传播方向垂直，但是磁场强度与波的传播方向不垂直，因而它就是沿方向传播的TE波（或TE模）场方程。

在（3.1-3）式的三个方程中只含有、、三个电磁场分量，磁场强度与波的传播方向垂直，但是电场强度与波的传播方向不垂直，因而它就是沿方向的TM模场方程下面讨论薄膜波导中这两种波型的特点3.1.1 TE模将（3.1-2b）式两边对求导，并将（3.1-2）式的其余两个方程代入，可以得到 （3.1-4）式中构成波导三层介质折射率分别为, , ，而且大于和，为了保证电磁波能量主要集中在波导芯层（折射率为）中传播，方程（3.1-4）在芯层、衬底（折射率为）、敷层（折射率为）中的解可以分别写成 （3.1-5a） （3.1-5b） （3.1-5c）式中,,,是场量的特征常数，,,是三个积分常数是芯层中场量在方向的相位常数，、分别是衬底和敷层中场量沿方向的衰减常数将（3.1-4）式的解写成上式就意味着在芯层中场量在x方向呈驻波分布，解式中的和共同决定驻波场场量的波腹和波节位置，则决定了两个波节间的距离在衬底和敷层中场量随离开界面的距离按指数规律迅速衰减，而和则决定了场量衰减的快慢。

这样的场结构可保证场能量集中在波导芯层及芯层与衬底及敷层的界面附近的薄层中，并沿着轴方向传播这就是波导中的传播模式或导波模式对比（3.1-4）式和（3.1-5）式，很容易得到场量的特征参量、、、与各层介质的折射率、、之间的关系，即 （3.1-6a） （3.1-6b） （3.1-6c）将（3.1-5）式中的代入（31-2a）及（3.1-2b）式，即可得到三个区域的磁场分量、、及、、，即 （3.1-7a） （3.1-7b）（3.1-5）式中的三个积分常数，也就是场量的振幅值,,由面上的电磁场边界条件及激励条件决定在两种不同介质的分界面上，电磁场边界条件是电场强度和磁场强度的切向分量连续。

对图3-1所示的薄膜波导，则具体化为在面： 在面： 将（3.1-5）式中的、、和（3.1-7）式中的、、代入上述边界条件，得到 （3.1-8a） （3.1-8b） （3.1-8c） （3.1-8d）这些方程规定了、、之间的关系，它们的完全确定还有赖于波导的激励条件，即输入功率从（3.1-8）式中消去、、，可以得到 （3.1-9a） （3.1-9b）（3.1-9）式又可以写成式中p = 0, 1, 2, …；q = 0, 1, 2, …将上两式分别相加和相减，即可得到 （3.1-10a） （3.1-10b）式中是波导芯层的厚度，m = p + q = 0, 1, 2, …，n = p – q = …, -2, -1, 0, 1, 2, …，但实际上n只取0和1两个数即可。

从（3.1-5a）式可以看到当n取0, 1之外的其它任何正负整数时，都不会给出新的结果而且在m = p + q取偶数时，n取零，芯层内的场量在方向按余玄函数分布；当m = p + q为奇数时，n取1，芯层内场量在方向按正弦函数分布也就是说，可以将芯层内的场量写成 （3.1-11a）和 （3.1-11b）式中这时（3.1-11a）式所给出的场解对应（3.1-10a）式中的m取偶数，而（3.1-11b）式给出的场解对应（3.1-10a）中的m取奇数3.1-10a）式成为均匀薄模波导的特征方程，将它和（3.1-6）式中的三个方程联立求解，即可求得场量的四个特征参量,,,有时也把这四个方程统称为特征方程求出,和以后即可由（3.1-10b）式求得，从而得到TE模的场量在方程（3.1-10a）式中，m从零开始每取定一个值，都可解的一组,,,,值将其代进（3.1-5）式和（3.1-7）式即可得到一组电磁场量，场量的幅度值,,由激励条件及边界条件（3.1-8）式决定我们称由这一组电磁场量所构成的电磁波为一个沿方向传播的TE电磁场模式。

由于（3.1-10a）式中的每一个m值都对应着一个TE模式，所以将其记为TEm模，脚标m即为（3.1-10a）式中的m值稍后我们将看到模式序号m的物理含义3.1.2 TM模采用类似的方法，可以求得（3.1-3）式在波导中的解，也就是TM模式的电磁场分量，其横向磁场的表达式为 （3.1-12a） （3.1-12b） （3.1-12c）式中，，，与各层介质折射率的关系仍由（3.1-6）式给出利用（3.1-3）式还可求得各区域的电场分量,,及,,，并利用面上的电磁场边界条件，推得TM模式的特征方程为 （3.1-13a） （3.1-13b）式中m=0,1,2,与TE模类似，在（3.1-12a）式中取上面的函数时，m取偶数，取下面的函数时，m取奇数每取定一个m值，可以将（3.1-13a）与（3.1-6）式联立解得一组TM场解，我们称为一个TM模式，记为TMm模。

3.1.3 传播模和辐射模在特征方程（3.1-10a）式和（3.1-13a）式中，模式序数m都可以取0,1,2,…等一系列的整数这就意味着在波导中存在一系列的TE模和TM模，但并不是m取任何整数所对应的模式都可以在波导中传播如果特征参量和都是正实数，则衬底和敷层中的场随离开芯层表面的距离按指数规律迅速衰减在和都是正实数的条件下，方向的相位常数必是正实数，这表明场量在轴方向呈无衰减的正弦行波特性满足这些条件时，我们就称这样的模式为传播模式或导波模式如果和中有一个是虚数，或者两个都是虚数，则衬底或敷层中的场在轴方向将呈行波特性，这就是说电磁波能量在向轴方向传播的同时又在衬底或敷层中形成沿轴方向的辐射显然这样的模式不可能沿轴方向长距离传播，这种模式就称为辐射模式由（3.1-6）式可以看到： 如果n2 > n3，在同样的β，k0值条件下，首先是可能成为虚数，即首先出现衬底辐射而β,,都是正实数的条件则是 （3.1-14）这就是传播模式或导波模式相位常数的取值范围。

这与用几何光学理论得到的束缚光线条件是完全一致的如果，由（3.1-6）式可以看到成为虚数，这时电磁场即成为辐射模即辐射条件为 （3.1-15）需要说明的是，对辐射模，β可以在（3.1-6）式范围内连续取值，即辐射模谱是连续的导波模的β在（3.1-14）式所规定的范围内只能取离散的值，,,,等脚标对应特征程（3.1-10a）式和（3.1-13a）式中的m的取值，即传播模或导波模谱是离散的后面我们将看到，在波导结构参量a,,,和工作波长l = 2p / k0确定的条件下，一个序号为m的模式能否传播将完全取决于m的大小m较小的模式称为低阶模， m较大的模式称为高阶模在确定的波导中，低阶模容易满足传播条件而高阶模则往往不能传播假设在一个确定的波导中有m个TE模和m´个TM模满足传播条件，则波导中的电磁波总可以表示为 （3.1-16）上式表明，波导中的任何可以存在的电磁场总可以表示为若干个TE模式和TM模式以及具有连续谱的辐射模的叠加当然不排除展开式中的al, b1, a（β）, b（β）中某些展开系数为零。

例如在单模波导中，除了在激励端可能存在多个模式以外，在稳定状态下就只有一个模式，即（3.1-16）式中只有一个最低阶模的系数不为零3.1.4截止参数如果波导中某个模式开始出现衬底辐射，我们称这个模式截止显然，某个模式截止的条件即将上述截止条件代入（3.1-6）式，可得截止状态的其它特征参数将其代入TE模式的特征方程（3.1-10a）式，可得截止状态时的特征方程注意到，将某个模式截止时的波长记为，则模的截止波长为 （3.1-17）显然，当时，也就是TE0模式，其截止波长是最长的，其值为 。