第六章定积分应用.ppt

定积分应用定积分应用 上上一一章章，，已已经经系系统统地地介介绍绍了了定定积积分分的的基基本本理理论论和和计计算算方方法法在在这这一一章章中中，，将将利利用用这这些些知知识识来来分分析析解解决决一一些些实实际际问问题题定定积积分分的的应应用用很很广广泛泛，，在在自自然然科科学学和和生生产产实实践践中中有有许许多多实实际际问问题题最最后后都都归归结结为为定定积积分分问问题题本本章章不不仅仅对对一一些些几几何何物物理理量量导导出出计计算算公公式式，，更更重重要要的的是是介介绍绍运运用用“微微元元法法”将将所所求求的的量量归归结结为为计计算算某某个个定定积积分的分析方法分的分析方法重点重点微微元元法法，，面面积积，，旋旋转转体体的的体体积积，，定定积积分分在在经济分析中的应用，经济分析中的应用， 微微元元法法，，参参数数方方程程确确定定的的曲曲线线所所围围的的面积，定积分经济方面的应用面积，定积分经济方面的应用基本要求基本要求①①正正确确理理解解和和掌掌握握微微元元法法的的基基本本思思想想，，并并会灵活运用它会灵活运用它②②会会用用直直角角坐坐标标、、极极坐坐标标、、参参数数方方程程所所给给出出的三种求积公式求出一些常见图形的面积。

的三种求积公式求出一些常见图形的面积③③会求旋转体的体积会求旋转体的体积(4)会用定积分解决经济方面的实际问题会用定积分解决经济方面的实际问题难点难点 通通过过对对不不均均匀匀量量（（如如曲曲边边梯梯形形的的面面积积，，变变速速直直线线运运动动的的路路程程））的的分分析析，，采采用用“分分割割、、近近似似代代替替、、求求和和、、取取极极限限”四四个个基基本本步步骤骤确确定定了了它它们们的的值值，，并并由由此此抽抽象象出出定定积积分分的的概概念念，，我我们们发发现现，，定定积积分分是是确确定定众众多多的的不不均均匀匀几几何何量量和和物物理理量量的的有有效效工工具具那那么么，，究究竟竟哪哪些些量量可可以以通通过过定定积积分分来来求求值值呢呢？？我我们们先先来来回回顾顾一一下下前前章章中中讲讲过过的的方方法法和和步骤是必要的步骤是必要的定积分的微元法定积分的微元法求Ｕ的步骤求Ｕ的步骤分分 用分点用分点将将　区间分成　区间分成n个小区间个小区间粗粗把Ｕ在小区间上的局部量把Ｕ在小区间上的局部量用某个函数用某个函数 f ( x) 在在的值与的值与之积代替之积代替和和 把局部量的近似值累加得到总量把局部量的近似值累加得到总量的近似值的近似值即即设量Ｕ非均匀地分布设量Ｕ非均匀地分布 [ a ,b ]上上 由此可知，若某个非均匀量Ｕ在区间由此可知，若某个非均匀量Ｕ在区间[a,b]上满足两个条件：上满足两个条件： （（1）） 总量在区间上具有总量在区间上具有可加性可加性，即把区间，即把区间分成几个小区间时总量就等于各个小区间上分成几个小区间时总量就等于各个小区间上的局部量之和，的局部量之和，（（2）局部量可用）局部量可用近似表示近似表示它们之间只相差一个它们之间只相差一个的的高阶无穷小高阶无穷小不均匀量Ｕ就可以用定积分来求得不均匀量Ｕ就可以用定积分来求得精精分析其实质，不难将四步简化为两步分析其实质，不难将四步简化为两步第一步第一步 “分割取近似分割取近似”含含“分分”、、“粗粗”两步即将区间分成子区间两步即将区间分成子区间在其上用均匀变化近似代替非均匀变化在其上用均匀变化近似代替非均匀变化求得局部量的近似值求得局部量的近似值它对应着积分表达式中的被积式它对应着积分表达式中的被积式第二步第二步“求和取极限求和取极限”含含“和和”、、“精精”两步两步: 各局部量的近似各局部量的近似值相加并取极限得到总量的准确值值相加并取极限得到总量的准确值这是建立所求量的积分式的基本方法这是建立所求量的积分式的基本方法即对被积式作积分即对被积式作积分Ⅰ。

求微元求微元写出典型小区间写出典型小区间 上的局部量上的局部量 的近似值的近似值这就是局部量的微元这就是局部量的微元Ⅱ求积分即把微元即把微元 在区间在区间 [ a , b ] 上上 相当于把相当于把 作积分表达式作积分表达式求它在求它在 [ a , b ] 上的定积上的定积分分 即即 这就是这就是微元法微元法 “无限积累无限积累”起来起来 定积分的几何应用定积分的几何应用一、平面图形的面积一、平面图形的面积1 直角坐标系直角坐标系 作为一般情况讨论，设平面图形由作为一般情况讨论，设平面图形由 [ a , b ] 上连续的两条曲线上连续的两条曲线 y = f ( x ) 与与 y = g ( x ) 及两条直线及两条直线 x =a ,x =b 所围所围成成在在 [a ,b ] 上任取典型小区间上任取典型小区间 [ x ,x+dx ] 与它相对应的小曲边梯形的面积为局部量与它相对应的小曲边梯形的面积为局部量dAdA 可用高为可用高为底为底为 dx 的的矩形面积矩形面积近似表示近似表示即即故故ab当当 dx 很小时很小时 所围成的图形的面积所围成的图形的面积例例1 求两曲线求两曲线 例例2 计算计算 所围图形的面积所围图形的面积求平面图形的面积一般分为几步求平面图形的面积一般分为几步？？一般分为（一般分为（1）画图）画图,（（2））选定选定积分变量并给出积分区间积分变量并给出积分区间,（（3）确定被积函数并写出积分表达式）确定被积函数并写出积分表达式,（（4）计算定积分）计算定积分求得面积四个步骤求得面积四个步骤  由此可见在面积计算中应根据平面区域的具体由此可见在面积计算中应根据平面区域的具体特征恰当地选择积分变量找出相应的面积微元可使特征恰当地选择积分变量找出相应的面积微元可使计算简化计算简化上述问题的一般情况是上述问题的一般情况是平面区域由平面区域由 [c,d] 上连续的曲线上连续的曲线及直线及直线y = c ,y = d 所围所围成成 则其面积为则其面积为cd 当直角坐标系下的平面区域的边界曲线当直角坐标系下的平面区域的边界曲线由参数方程的形式给出时，只须对面积计算由参数方程的形式给出时，只须对面积计算公式作变量代换即可。

公式作变量代换即可计算时应注意积分限在换元中应保持与原积计算时应注意积分限在换元中应保持与原积分限相对应分限相对应例例3求椭圆求椭圆 的面积的面积2 极坐标系极坐标系某些平面图形，用极坐标来计算是比较方便的某些平面图形，用极坐标来计算是比较方便的若曲线由极坐标方程若曲线由极坐标方程 给出给出极坐标系下研究面积的基本图形不是曲边梯形极坐标系下研究面积的基本图形不是曲边梯形而是由射线而是由射线 所围成的称为曲边扇形的区域所围成的称为曲边扇形的区域可用半径为可用半径为圆心角为圆心角为由于曲边扇形的面积分布由于曲边扇形的面积分布及曲线及曲线故面积元素为故面积元素为的圆扇形的面积来近似的圆扇形的面积来近似 旋转体旋转体就是由一个平面图形绕这平面内就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴旋转轴．．圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台体体 积积一、旋转体的体积一、旋转体的体积旋转体的体积为旋转体的体积为xyo所围成的曲边梯形绕所围成的曲边梯形绕 y 轴旋转一周所成的立体的体积轴旋转一周所成的立体的体积为为例例1 求椭圆求椭圆 所围成的平面图形分别绕所围成的平面图形分别绕 x 轴和轴和 y 轴旋转一周所成的旋轴旋转一周所成的旋转体（旋转椭球体）的体积转体（旋转椭球体）的体积类似地，由连续曲线类似地，由连续曲线 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算个立体的体积也可用定积分来计算.立体体积立体体积二、平行截面面积为已知的立体的体积二、平行截面面积为已知的立体的体积解解取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为截面面积截面面积立体体积立体体积。