[工学]数字控制理论及应用讲稿第四章 Z变换与Z反变换.pdf

第四章 Z 变换与 Z 反变换 第四章 Z 变换与 Z 反变换 在已求出采样信号（采样开关的输出）的拉氏变换式中，式中含有指数项，分析 研究很不方便，正如拉氏变换使连续系统的分析得到简化一样，z 变换能使离散采样系统的 分析简化线性采样系统可以用线性差分方程来描述，通过 z 变换，就成了线性代数方程 z 变换法是研究离散系统的一种数学方法 kTse−第一节 z 变换的定义 连续信号经过采样周期为 T 的采样之后得到断续信号，对断续信号进 行拉氏变换得到 )(tx)(*tx)(*tx∑∞=−==0)()(*)](*[kkTsekTxsXtxL （4.1.1） 采样开关的拉氏变换中含有指数项，为便于分析和运算，引入 z 变换概念,令，则 kTse−Tsez = ∑∞=− ===0)()(*)(kk zezkTxsXzXTs（4.1.2） 在 z 变换中，是采样脉冲序列的 z 变换，即只考虑采样时刻的信号值由于在采样时刻，连续信号的值就是采样数值序列，所以既是的 z 变换，也 是的 z 变换记作 )(zX)(tx)(kTx)(zX)(*tx )(tx⋅ ⋅ ⋅+++====−−∞=−∑210)2()()0()()]([)](*[)(zTxzTxxzkTxtxZtxZzXkk（4.1.3） 式（4.1.3）与采样信号 ⋅ ⋅ ⋅+−+−+=−=∑∞=)2()2()()()()0()()()(*0TtTxTtTxtxkTtkTxtxkδδδδ比较可知，在 z 变换中乘上，含有延迟一个采样周期的含义，表示脉冲在 kT 时刻出现。

1−zkz−可见 z 变换包含和采样周期 T 有关的采样过程一个连续信号取 z 变换后，只表示信号在各断续时刻上的信息 也就是说，的 z 变换和采样 （断续） 信号 有一一对应的关系 )(tx⋅ ⋅ ⋅ ,2 ,, 0TT)(tx)(*tx下面介绍几种较常用的求 z 变换的方法 1． 级数求和法 级数求和法是根据 z 变换的定义，见式（4.1.3） ，即可直接求得其 z 变换，这种级数展 开式是开放形式，有无穷多项，当其极限存在时可写为收敛形式 例 4.1.1例 4.1.1 求单位阶跃函数的 z 变换 )( 1 t解解 111 1)(11)( 1)]( 1 [111021 −=−=−−=⋅ ⋅ ⋅+++==− ∞→−−∞=−−−∑zz zzzzzzkTtZkkkk例 4.1.2例 4.1.2 求函数的 z 变换 )(tx ⎩⎨⎧ ≥<=−)0( )0( 0)(tettxat解解 ∞→−−−− −−−−∞=−−− −−=⋅ ⋅ ⋅+++==∑kaTkaT aTaTkkakTat zezezezezeeZ11 22101)(11][ aTaTezz ze−−−−=−=111例 4.1.3例 4.1.3 利用上例结果求正弦信号ttxωsin)(=的 z 变换。

14解解 )(21]2[][sintjtjtjtjezz ezz jjeeZtZωωωω ω−−−−−=−= 1cos2sin]1)()([2122+−=+−−−=−−TzzTz eezzeez jtjtjtjtjωωωωωω2． 部分分式法 当给定某连续函数的拉氏变换时， 可用部分分式法求取 z 变换 首先把 展开为部分分式， 部分分式中的各项均为最常见的连续函数拉氏变换， 然后求出这些常见函 数的 z 变换的和 )(tx)(sG)(sG例 4.1.4例 4.1.4 用部分分式法求)()(assasG+=的 z 变换 解解 assassasG+−=+=11 )()( 与s1项对应的时域函数为，其 z 变换为)( 1 t1−zz；与as +1项对应的时域函数为，其 z 变换为ate− aTezz−−，所以 ))(1()1 ( 1)(aTaTaTezzez ezz zzzG−−−−−−=−−−= 较复杂的，只要它为 s 的有理函数，都可以通过部分分式求出 )(sG 3． 留数计算法 若拉氏变换中有个极点且全部极点已知，则可用留数计算法求其 z 变换 )(sGnip当具有一阶极点时，)(sGips =ni⋅ ⋅ ⋅=2 , 1，其 z 变换为 ∑∑ =→=−−=−=nisTipsniTpiezzsGpsezzpGszGii11])()[(lim])([Re)( （4.1.4） 若具有 阶重极点，其 z 变换为 )(sGljp])()[()!1(1lim)(11sTl jllpsezzsGpsdsd lzGj−−−=−−→（4.1.5） 例 4.1.5例 4.1.5 已知21)(ssG=，试用留数计算法求 )(zG解解 其连续时间函数，在ttx=)()(sG0=s处有二阶重极点，根据式（4.1.5）有 2 02020) 1()()(])()0[()!12(1lim)(−=−−−=−=−−−===→zTz ezTezezz dsd ezzsGsdsdzGssTsTssTsTs例 4.1.6 例 4.1.6 试用留数计算法求tωcos的 z 变换。

解解 其拉氏变换为 ))(()(22ωωωjsjss sssG+−=+= )(sG在ωjs =和ωjs−=处分别有一阶极点，根据式（4.1.4）有 1cos2cos 1)()(2 21 21 21])()[(lim])()[(lim)(2222+−−=++−+−=−+−=−++−−=−−−−→→TzzTzz eezzeezz ezz ezzezzsGjsezzsGjszGTjTjTjTjTjTjsTjssTjsωωωωωωωωωωωω15例 4.1.7例 4.1.7 已知)()(2assKsG+=，试用留数计算法求 )(zG解解 在)(sG0=s处有二阶重极点，在as−=处有一阶极点，根据留数计算法有 ])()[(lim])()0[()!12(1lim)(20sTassTsezzsGasezzsGsdsdzG−++−−−= −→→assT ssTsTsTezsKz ezasTeasezKz−==−+−+−++−−=)()()(]))(()[(2 022)() 1()1(222aTezaKz zazaTKz−−+−−+= 表 4-1 列出了常用时间函数的 z 变换式，以及对应的拉氏变换式。

表表 4-1 一些基本时间函数的一些基本时间函数的 z 变换变换 拉氏变换 连续时间函数 x（t） z 变换 1 )(tδ 1 kTse− )(kTt −δ kz−s11(t) 1−zz21 st 2) 1( −zTz31 s2 21t 32) 1(2) 1( −+ zzzTas +1ate−aTezz−−2)(1 as +atte− 2)(aTaTezTze−−−)(1 ass+)1 (1atea−− ))(1()1 (1aTaTezzez a−−−−−))((1 βα++ss)(1tteeβα αβ−−−−)(1TTezz ezzβααβ−−−−−−22ωω +stωsin 1cos2sin2+−TzzTz ωω22ω+sstωcos 1cos2)cos(2+−− TzzTzz ωω22)(ωω ++ asteatωsin−aTaTaTeTzezTze22cos2sin−−−+−ωω16第二节 z 变换的基本定理 和拉氏变换一样，z 变换也有一些基本定理和关系式，利用这些定理和关系式，可以方 便地求出某些函数的 z 变换 1．线性定理 若、的 z 变换分别是和，且 )(1tx)(2tx)(1zX)(2zX )()()(21txtxtx+=，则)()()(21zXzXzX+= （4.2.1） 上式说明线性组合函数的 z 变换等于各函数 z 变换的线性组合。

前面例 4.1.3 和例 4.1.4 中就应用了线性定理 2．滞后定理 设时,，T 为采样周期，0

)( 1)(mTttx−=解解 按表 4-1 已知1)]( 1 [−=zztZ 按滞后定理有11)]( 1 [)]( 1 [1−=−==−− −− zz zzztZzmTtZm mm3．超前定理 同理，算子表明采样信号超前 m 个采样周期，mz)(mTtx+比超前采样周期 m 拍 )(tx 超前定理可表示为 ]()([)]([10kmkmzkTxzXzmTtxZ−−=∑−=+） （4.2.3） 当 m=1 时，)]0()([)]([xzXzTtxZ−=+ （4.2.4） 17当 m=2 时， （4.2.5） )()0()()]2([22TzxxzzXzTtxZ−−=+ 证明证明 由 z 变换定义 )(00])[(])[()]([mkkmkkzTmkxzzTmkxmTtxZ+−∞=−∞=∑∑+=+=+ ])()([)(100kmkkkmkmkmzkTxzkTxzzkTxz−−=−∞=−∞=∑∑∑−== ]()([10kmkmzkTxzXz−−=∑−=） 若满足0]) 1[()2()()0(=−=⋅ ⋅ ⋅===TmxTxTxx，则超前定理可表示为 )()]([zXzmTtxZm=+ 4．位移定理 若的 z 变换是，则有 )(tx)(zX )()]([atatzeXtxeZ±=m（4.2.6） 证明证明 由 z 变换定义 ∑∑∞=−±∞=−==00))(()()]([kkaTkkakTatzekTxzkTxetxeZmm令，则有 aTzez±=1)()()()]([1 01atkkatzeXzXzkTxtxeZ±∞=−===∑m例 4.2.2例 4.2.2 试用位移定理计算函数的 z 变换。

attetx−=)(解解 由表 4-1 知 2) 1(][−=zTztZ，由位移定理有 22)() 1()(][)]([aTaTaTaT at ezTze zezeTteZtxZ−− − −=−==，结果与表 4-1 中相符 5．初值定理 )(lim)0(zXx z∞→= （4.2.7） 证明证明 由 z 变换定义 ⋅ ⋅ ⋅+++==−−∞=−∑210)2()()0()()(zTxzTxxzkTxzXkk当∞→z，即得式（4.2.7） 例 4.2.3例 4.2.3 试计算函数的初值 atetx−=)(解解 按表 4-1 知aTezzzX−−=)(，由初值定理有 1lim)(lim)0(=−==−∞→∞→aTzzezzzXx 6．终值定理 函数的 z 变换为，则 )(tx)(zX )() 1(lim)(lim)(lim)( 1zXzkTxtxx zkt−===∞ →∞→∞→（4.2.8） 证明证明 按 z 变换定义有 ∑。