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[研究生入学考试题库]考研数学三分类模拟题微积分(三)一、选择题问题:1. 设函数f(x)具有连续导数，且，则A.f(0)=0且f'(0)=2．B.f(0)=0且f'(0)=1．C.f(0)=-1且f'(0)=2．D.f(0)=-1且f'(0)=1．答案:C[解析] 求出f(x)带皮亚诺余项的麦克劳林公式解本题．由极限与无穷小的关系得 其中 代入得 因此，f(0)=-1，f'(0)=2，应选(C)． [分析二] 利用带皮亚诺余项的麦克劳林公式求解本题．把 代入题设的极限，可得 从而f(0)+1=0，，即f(0)=-1，f'(0)=2．故应选(C)． [分析三] 利用极限的运算法则，导数的定义与洛必达法则来求解本题．由题设可知 从而 又 故应选(C)． 问题:2. 若一条二次曲线把(-∞，0)内的曲线段ex和(1，+∞)内的曲线段连接成一条一阶可导的曲线，则定义在[0，1]上的这条二次曲线为A.y=-2x2+2x+1．B.y=-x2-x+1．C.y=-x2+x+1．D.y=x2-x+1．答案:C[解析] 设所求二次曲线为y=ax2+bx+c(0≤x≤1)，则依题设有 由f(x)的连续性，在x=0点有e0=cc=1． 在x=1点有a+b+c=1a+b=0． 由f(x)一阶可导，且f'+(0)=b，f'-(0)=e0=I，故b=1，从而还有a=-1． 于是y=-x2+x+1．所以选项(C)正确． 经验算可知对点x=1，选项(C)也正确． 问题:3. 定积分(其中n为正整数)= (A) 0． (B) ． (C) ． (D) π．答案:D[解析] 问题:4. 设f(x)，g(x)在x=0的某邻域内连续，f(0)=g(0)≠0，又设，，则当x→0时，F(x)是G(x)的A.同阶但不等价无穷小．B.等价无穷小．C.高阶无穷小．D.低阶无穷小．答案:B[解析] 由于 又，其中ξ在0与x之间，当x→0时，ξ→0，所以 故F(x)是G(x)的等价无穷小，选(B)． 问题:5. 设f(x)二阶可导，且存在极小值点和拐点，则f'(x)的图形可以是 答案:D[解析] 由于f(x)二阶可导，且具有极小值，故存在一点x0，使f'(x0)=0，f"(x0)＞0，满足这一条件的有(A)、(D)，故排除(B)、(C)．又f(x)的图形有拐点，故应存在一点x1，使得f"(x1)=0，且在x1的左右二阶导数异号，可见(A)不具备这样的点，而(D)中的x1具有该性质(如右图)，故选(D)． 问题:6. 设则下面四个命题 ① f(x)在[-1，1]上存在原函数 ② g(x)在[-1，1]上存在原函数 ③ 存在定积分 ④ g'(0)存在 中正确的是 (A) ①，②． (B) ②，③． (C) ①，②，③．(D) ②，③，④． 答案:B[解析] 由于f(x)在[-1，1]上不连续，从而不存在原函数，故①不正确．由于g(x)在[-1，1]上连续，故存在原函数，所以②正确． 由于都存在，故③正确． 由于不存在，所以g(x)在x=0处不可导，即g'(0)不存在，故④不正确． 综上所述，②、③正确，故选(B)． 问题:7. 设f(x)在(-∞，+∞)内可导，且-f(x)]，则A.a=1，b=3．B.a=2，b=2．C.a=-1，b=3．D.a=3，b=-1．答案:A[解析] 由拉格朗日中值定理，有 当x→∞时，ξ→∞，于是 由于 则有故选(A)．问题:8. 下列反常积分 中收敛的是 A.①，②．B.②，③．C.③，④．D.①，④．答案:D[解析] 由于故①收敛． 由于，故②发散． 由于，故③发散． 由于 故④收敛． 综上分析，可知应选(D)． 问题:9. 设=A.0．B.2．C.3．D.4．答案:B[解析] 故选(B)． 问题:10. 设将级数中的负项改为零，其它项保留，所成的级数记为；将级数中的正项改为零，其它项保留，所成的级数记为，则下列说法正确的是 答案:B[解析] 二、填空题问题:1. =______．答案:[解析] 而 所以原式 问题:2. 设，则=______．答案:[解析] 化为定积分求极限，则 问题:3. 设，则=______．答案:4e[解析] 问题:4. =______．答案:[解析] 问题:5. 设f(x)二阶可导，且，则f(0)=______．答案:6[解析] 问题:6. 差分方程yt+1-2y=(3t-4)2t的通解是______．答案:[解析] 设差分方程的通解为yt=c·2t+(At2+Bt)·2t，其中A，B为待定常数，C为任意常数，于是yt+1=C·2t+1=(At2+2At+A+Bt+B)·2t+1，代入方程可得 由此可得即所求的通解为 问题:7. 设x=rcosθ，y=rsinθ，把极坐标系中的累次积分转化为直角坐标系中的累次积分可得I=______．答案:[解析] 如右图所示，在直角坐标系Oxy中 故 问题:8. 交换积分顺序=______．答案:[解析] 且D=D1+D2，则 其中积分区域D如图所示．由于D关于直线y=x对称，故交换积分次序即得 三、解答题问题:1. 设f(x)在x=0邻域有连续的导数，又求证：F(x)在x=0有连续导数．答案:[分析与证明一] 先求F'(0)． 再求 及 因此，F'(x)在x=0连续． [分析与证明二] 先证F(x)在x=0连续． 如同[证法一] 于是F'(0)=2f'(0)，F'(x)在x=0连续． 问题:2. 设函数f(x)在x=1的某邻域内连续，且有． (Ⅰ) 求f(1)及f'(1)； (Ⅱ) 设f"(1)存在，求f"(1)； (Ⅲ) x=1是否是f(x)的极值点?若是，是极大值点还是极小值点? 答案:[分析与求解] (Ⅰ) 由条件知，． 又在x=0空心邻域f(x+1)+3sin2x≠0，现利用当x→0时的等价无穷小因子替换 ln(1+f(x+1)+3sin2x)～f(x+1)+3sin2x， (Ⅱ)由f"(1)存在f(x)在x=1某邻域可导 或用泰勒公式 (Ⅲ) 由及极限的不等式性质δ＞0，当0＜|x|＜δ时即f(x+1)＜0=f(1)． x=1是f(x)的极大值点． 问题:3. 设函数f(u)有连续的一阶导数，f)0)=1，且函数满足：(x≠0)，求z的表达式．答案:[解] 由于 依题设有① 令，则①式化为 于是 由f(0)=1可知C=0．因此 从而 问题:4. 设f(x)在[1，3]上连续，在(1，3)内可导，试证：存在两点ξ，η∈(1，3)，使得=．答案:[证明] 取g(x)=x2，则由题设知f(x)与g(x)都在[1，3]上连续，在(1，3)内可导，且g'(x)=2x≠0在x∈(1，3)成立，从而由柯西定理知：存在ξ∈(1，3)使得 取h(x)=x4，则由题设知f(x)与h(x)都在[1，3]上连续，在(1，3)内可导，且h'(x)=4x3≠0在x∈(1，3)成立，从而由柯西定理知：存在η∈(1，3)使得 由此可得 问题:5. 计算二重积分，其中 答案:[解] 积分区域D的图形如右图所示． 问题:6. 求，其中区域 答案:[分析与求解] 这里0≤x+y≤π，且被积函数 |cos(x+y)| = 于是，用将D分成D1，D2两个区域，见右图．用分块积分法得 问题:7. 设f(x，y)=max{x，y}，D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}，计算 答案:[解] 将D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}分成 D1={(x，y)|0≤x≤y≤1}与D2={(x，y)|0≤y≤x≤1}． 但D2又可分为曲线y=x2上方及下方两块，于是 问题:8. (Ⅰ) 将累次积分化成定积分，其中a＞0为常数； (Ⅱ) 求．答案:[分析与求解] (Ⅰ) I(a)是二重积分的一个累次积分，令 其中D={(x，y)|0≤x≤2a，，它是半圆域，如图，设x=raosθ，y=rsinθ换为极坐标系，则 于是 (Ⅱ) 注意当a→0时ln(1+a2)～a2，由二重积分中值定理知，，使得 在此利用了当a→0+时ξ2+η2→0，从而 问题:9. 设连续函数f(x)满足方程 求f(x)．答案:[解] 令u=x-t作换元，则t：0→xu：x→0，且t=x-u，dt=-du，代入即得 从而原方程可改写为 因f(x)连续，2x-x3可导，故上式中各项都可导．将上式两端对x求导数，就有 (*) 在(*)式中令x=0可得f(0)=2，又因(*)式右端各项都可导，从而f(x)可导．将(*)式两端对x求导可得 f'(x)=-6x+2f(x)． 综上可知f(x)是如下一阶线性微分方程初值问题的特解 用积分因子e-2x同乘方程两端得 (e-2xy)'=-6xe-2x．积分得 于是方程的通解是．利用初值y(0)=2可确定常数．故所求的函数 问题:10. 设f(x)在[0，a]有连续的一阶导数，在(0，a)二阶可导且f"(x)＞0(x∈(0，a))，又f(0)=0，求证： 答案:[分析与证明] 引进辅助函数 只须证明 考察 特别有 F(a)＞0． 问题:11. 将函数展开成x的幂级数．答案:[解] 注意 且，于是，逐项积分可得 由于所得的展开式不仅在开区间成立，而且还在两个端点处收敛，故所得的展开式在闭区间上成立．问题:12. 判断下列级数的敛散性，并指出收敛时是条件收。