高三圆锥曲线经典总结.doc

课 题高考数学复习专项——圆锥曲线教学目的1. 掌握三种圆锥曲线的定义、图像和简朴几何性质2. 精确理解基本概念（如直线的倾斜角、斜率、距离、截距等）3. 纯熟掌握基本公式（如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、定比分点的坐标公式、到角公式、夹角公式等）4. 纯熟掌握求直线方程的措施（如根据条件灵活选用多种形式、讨论斜率存在和不存在的多种状况、截距与否为0等等）5. 在解决直线与圆的位置关系问题中，要善于运用圆的几何性质以减少运算6. 理解线性规划的意义及简朴应用7. 熟悉圆锥曲线中基本量的计算8． 掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解措施（如：定义法、直接法、有关点法、参数法、交轨法、几何法、待定系数法等）9． 掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常用鉴定措施，能应用直线与圆锥曲线的位置关系解决某些常用问题重点难点1. 掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解措施2. 掌握圆锥曲线中基本量的计算和直线与圆锥曲线的位置关系的常用鉴定措施圆锥曲线概念、措施、题型、易误点及应试技巧总结1.圆锥曲线的两个定义：（1）第一定义中要注重“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F，F的距离的和等于常数，且此常数一定要不小于，当常数等于时，轨迹是线段FF，当常数不不小于时，无轨迹；双曲线中，与两定点F，F的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要不不小于|FF|，定义中的“绝对值”与＜|FF|不可忽视。

若＝|FF|，则轨迹是以F，F为端点的两条射线，若﹥|FF|，则轨迹不存在若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表达双曲线的一支如（1）已知定点，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是 A． B． C． D．（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行互相转化如已知点及抛物线上一动点P（x,y）,则y+|PQ|的最小值是_____2.圆锥曲线的原则方程（原则方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的原则位置的方程）：（1）椭圆：焦点在轴上时（）（参数方程，其中为参数），焦点在轴上时＝1（）方程表达椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B）如（1）已知方程表达椭圆，则的取值范畴为____（2）若，且，则的最大值是____，的最小值是___（2）双曲线：焦点在轴上： =1，焦点在轴上：＝1（）方程表达双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B异号）如（1）双曲线的离心率等于，且与椭圆有公共焦点，则该双曲线的方程_______（2）设中心在坐标原点，焦点、在坐标轴上，离心率的双曲线C过点，则C的方程为_______（3）抛物线：开口向右时，开口向左时，开口向上时，开口向下时。

3.圆锥曲线焦点位置的判断（一方面化成原则方程，然后再判断）：（1）椭圆：由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上如已知方程表达焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范畴是__（2）双曲线：由,项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向特别提示：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，一方面要判断焦点位置，焦点F，F的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线原则方程的类型，而方程中的两个参数，拟定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，一方面要判断开口方向；（2）在椭圆中，最大，，在双曲线中，最大，4.圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆（以（）为例）：①范畴：；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一种对称中心（0,0），四个顶点，其中长轴长为2，短轴长为2；④准线：两条准线； ⑤离心率：，椭圆，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁如（1）若椭圆的离心率，则的值是__（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（2）双曲线（以（）为例）：①范畴：或；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一种对称中心（0,0），两个顶点，其中实轴长为2，虚轴长为2，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为；④准线：两条准线； ⑤离心率：，双曲线，等轴双曲线，越小，开口越小，越大，开口越大；⑥两条渐近线：。

如（1）双曲线的渐近线方程是，则该双曲线的离心率等于______（2）双曲线的离心率为，则= （3）设双曲线（a>0,b>0）中，离心率e∈[,2],则两条渐近线夹角θ的取值范畴是________ （3）抛物线（觉得例）：①范畴：；②焦点：一种焦点，其中的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴，没有对称中心，只有一种顶点（0,0）；④准线：一条准线； ⑤离心率：，抛物线如设，则抛物线的焦点坐标为________5、点和椭圆（）的关系：（1）点在椭圆外；（2）点在椭圆上＝1；（3）点在椭圆内6．直线与圆锥曲线的位置关系：（1）相交：直线与椭圆相交； 直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一种交点，故是直线与双曲线相交的充足条件，但不是必要条件；直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一种交点，故也仅是直线与抛物线相交的充足条件，但不是必要条件如（1）若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点，则k的取值范畴是_______（答：（2）直线y―kx―1=0与椭圆恒有公共点，则m的取值范畴是_______（3）过双曲线的右焦点直线交双曲线于A、B两点，若│AB︱＝4，则这样的直线有_____条（2）相切：直线与椭圆相切；直线与双曲线相切；直线与抛物线相切；（3）相离：直线与椭圆相离；直线与双曲线相离；直线与抛物线相离。

特别提示：（1）直线与双曲线、抛物线只有一种公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一种交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一种交点；（2）过双曲线＝1外一点的直线与双曲线只有一种公共点的状况如下：①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P点在两条渐近线之间且涉及双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一种公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线如（1）过点作直线与抛物线只有一种公共点，这样的直线有______（2）过点(0,2)与双曲线有且仅有一种公共点的直线的斜率的取值范畴为______；（3）过双曲线的右焦点作直线交双曲线于A、B两点，若4，则满足条件的直线有____条（4）对于抛物线C：，我们称满足的点在抛物线的内部，若点在抛物线的内部，则直线：与抛物线C的位置关系是_______（5）过抛物线的焦点作始终线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是、，则_______（6）设双曲线的右焦点为，右准线为，设某直线交其左支、右支和右准线分别于，则和的大小关系为___________(填不小于、不不小于或等于)（7）求椭圆上的点到直线的最短距离（8）直线与双曲线交于、两点。

①当为什么值时，、分别在双曲线的两支上？②当为什么值时，以AB为直径的圆过坐标原点？7、焦半径（圆锥曲线上的点P到焦点F的距离）的计算措施：运用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径，其中表达P到与F所相应的准线的距离如（1）已知椭圆上一点P到椭圆左焦点的距离为3，则点P到右准线的距离为____（2）已知抛物线方程为，若抛物线上一点到轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于____；（3）若该抛物线上的点到焦点的距离是4，则点的坐标为_____（4）点P在椭圆上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标为_______（5）抛物线上的两点A、B到焦点的距离和是5，则线段AB的中点到轴的距离为______（6）椭圆内有一点，F为右焦点，在椭圆上有一点M，使 之值最小，则点M的坐标为_______8、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：常运用第一定义和正弦、余弦定理求解设椭圆或双曲线上的一点到两焦点的距离分别为，焦点的面积为，则在椭圆中， ①＝，且当即为短轴端点时，最大为＝；②，当即为短轴端点时，的最大值为bc；对于双曲线的焦点三角形有：①；②。

如（1）短轴长为，离心率的椭圆的两焦点为、，过作直线交椭圆于A、B两点，则的周长为________（2）设P是等轴双曲线右支上一点，F1、F2是左右焦点，若，|PF1|=6，则该双曲线的方程为 （3）椭圆的焦点为F1、F2，点P为椭圆上的动点，当·<0时，点P的横坐标的取值范畴是 （4）双曲线的虚轴长为4，离心率e＝，F1、F2是它的左右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，且是与等差中项，则＝__________（5）已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且，．求该双曲线的原则方程9、抛物线中与焦点弦有关的某些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设AB为焦点弦， M为准线与x轴的交点，则∠AMF＝∠BMF；（3）设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A，B，若P为AB的中点，则PA⊥PB；（4）若AO的延长线交准线于C，则BC平行于x轴，反之，若过B点平行于x轴的直线交准线于C点，则A，O，C三点共线　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　10、弦长公式：若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则＝，若分别为A、B的纵坐标，则＝，若弦AB所在直线方程设为，则＝。

特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，运用第二定义求解如（1）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=6，那么|AB|等于_______（2）过抛物线焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知|AB|=10，O为坐标原点，则ΔABC重心的横坐标为_______11、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解在椭圆中，觉得中点的弦所在直线的斜率k=－；在双曲线中，觉得中点的弦所在直线的斜率k=；在抛物线中，觉得中点的弦所在直线的斜率k=如（1）如果椭圆弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 （2）已知直线y=－x+1与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：x－2y=0上，则此椭圆的离心率为_______（3）试拟定m的取值范畴，使得椭圆上有不同的两点有关直线对称 特别提示：由于是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检查！12．你理解下列结论吗？（1）双曲线的渐近线方程为；（2）觉得渐近线（即与双曲线共渐近线）的双曲线方程为为参数，≠0）。

如与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线方程为_______（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双。