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[研究生入学考试题库]考研数学一模拟95一、填空题问题:1.答案:问题:2.答案: 问题:3.答案:0问题:4.答案: 问题:5.答案:A2-A+E问题:6.答案:二、选择题问题:1.答案:B 问题:2.答案:C问题:3.答案:A问题:4. 答案:D 问题:5.答案:B问题:6.答案:D问题:7. 若在开区问(0，2)上A.有第一类间断点．B.有第二类间断点．C.两类间断点都可能有．D.是连续的．答案:D[分析] 显然φ(x)在x=1处连续．故应选(D) ． 也可用变限定积分连续性的一般结论：“若上连续”来判断．在本题中f(x)在[a，b]上分段连续且有界，从而f(x)在[a，b]上可积． 问题:8. 设 (A) 为反常积分，且发散． (B) 为反常积分，且收敛． (C) 不是反常积分，且其值为10． (D) 不是反常积分，且其值为． 答案:A[分析] 由于，所以 于是 而发散，故为反常积分，且发散．选(A)． 三、解答题问题:1. 设其中f(x)具有连续导数，且f(0)=0． (Ⅰ) 确定c的值，使F(x)连续；(Ⅱ) 在(Ⅰ)的结果下，问F'(x)是否连续? 答案: (Ⅰ) ，所以c=0时，F(x)连续． (Ⅱ) 当x≠0时， 当x=0时， 所以F'(x)在(-∞，+∞)上连续． 问题:2.答案: 问题:3. 求极限．答案:[考点] 极限的计算问题:4.答案:问题:5. 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)·f(b)＞0，，证明：对任意实数k，在(a，b)内存在ξ，使f'(ξ)=kf(ξ)．答案:[证] 由于f(x)在[a，b]上连续，所以f(x)在区间上都连续，又因为f(a)·f(b)＞0， 因此根据闭区间上连续函数的零点定理可得：存在，使得f(C)=f(d)=0． 因为，从而设F(x)=e-kxf(x)，则F(x)在区间[c，d]上连续且可导，又因为F(C)=F(d)=0，所以由罗尔定理可得：至少存在一点，使得F'(ξ)=0，即在(a，b)内存在ξ，使f'(ξ)=kf(ξ)． 问题:6. 设A为三阶方阵，α1，α2，α3为三维线性无关列向量组，且有Aα1=α2+α3，Aα2=α3+α1，Aα3=α1+α2． (1)求A的全部特征值； (2)A是否可对角化? 答案: [详解] (1)由已知得，A(α1+α2+α3)=2(α1+α2+α3)，A(α2-α1)=-(α2-α1)，A(α3-α1)=-(α3-α1)，又因为α1，α2，α3线性无关，所以，α1+α2+α3≠0，α2-α1≠0，α3-α1≠0．所以-1，2是A的特征值；α2-α1，α3-α1，α1+α2+α3是相应的特征向量．又由α1，α2，α3线性无关，得α2-α1，α3-α1也线性无关， 所以-1是矩阵A的二重特征值，即A的全部特征值为-1，2． (2)由α1，α2，α3线性无关可证明α2-α1，α3-α1，α1+α2+α3线性无关， 即矩阵A有三个线性无关的特征向量，所以，矩阵A可相似对角化．[分析] 首先，由已知及特征值与特征向量的定义得矩阵的特征值与特征向量； 其次，由矩阵相似对角化的充要条件讨论矩阵是否可对角化． [评注] 对于抽象的矩阵，经常利用定义与性质讨论其特征值与特征向量问题． 问题:7.答案:问题:8.答案: 问题:9.答案:。