【数学】江苏省盐城市2017-2018学年高二下学期期末考试.doc

江苏省盐城市2017-2018学年高二下学期期末考试注意事项：　　1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷．　　2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．　　3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知复数(为虚数单位)，则 ▲ ．2．某学校高三年级700人，高二年级700人，高一年级800人，若采用分层抽样的办法，从高一年级抽取80人，则全校总共抽取 ▲ 人.3．命题“使得”是 ▲ 命题. （选填“真”或“假”）4．从甲、乙、丙、丁四个人中随机选取两人，则甲、乙两人中有且只有一人被选取的概率为 ▲ ．5．设双曲线的左、右焦点分别为，，右顶点为，若为线段 的一个三等分点，则该双曲线离心率的值为 ▲ ．6．执行如图所示的伪代码，最后输出的值为 ▲ ． （第6题图）7．若变量，满足约束条件 则的最大值为 ▲ ．8．若函数为偶函数，则的值为 ▲ ．9．(理科学生做)若展开式中的常数项为，则实数的值为 ▲ ．(文科学生做) 函数的值域为 ▲ ．10．(理科学生做)要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为 ▲ 种．（用数字作答）(文科学生做) 若，，则 ▲ ．11．已知对任意正实数，，，都有，类比可得对任意正实数，，，，，都有 ▲ ．12．若函数在和时取极小值，则实数的取值范围是 ▲ ．13．若方程有实根，则实数的取值范围是 ▲ ．14．若，且，则的最大值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分14分)（理科学生做）某一智力游戏玩一次所得的积分是一个随机变量,其概率分布如下表，数学期望.（1）求和的值；（2）某同学连续玩三次该智力游戏，记积分大于0的次数为，求的概率分布与数学期望.X036（文科学生做）已知集合，，.（1）求；（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.16．(本小题满分14分)（理科学生做）如图，在正四棱柱中，，，点是的中点．（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求直线与平面所成角的正弦值． （第16题理科图） （文科学生做）已知函数的部分图象如图所示.（1）求的值；（2）设函数，求在上的单调递减区间.17．(本小题满分14分)（理科学生做）已知数列满足，（）．（1）求，，并猜想的通项公式；（2）用数学归纳法证明(1)中所得的猜想．（文科学生做）已知数列满足.（1）求，，的值，猜想并证明的单调性；（2）请用反证法证明数列中任意三项都不能构成等差数列．18．(本小题满分16分)直角坐标系中，椭圆的离心率为，过点.（1）求椭圆的方程；（2）已知点，直线与椭圆相交于两点，且线段被直线平分.①求直线的斜率；②若，求直线的方程.19． (本小题满分16分)如图是一个路灯的平面设计示意图，其中曲线段可视为抛物线的一部分，坐标原点为抛物线的顶点，抛物线的对称轴为轴，灯杆可视为线段，其所在直线与曲线所在的抛物线相切于点.已知分米，直线轴，点到直线的距离为8分米.灯杆部分的造价为10元/分米；若顶点到直线的距离为t分米，则曲线段部分的造价为元. 设直线的倾斜角为q，以上两部分的总造价为S元.（1）①求t关于x的函数关系式；②求S关于x的函数关系式；（2）求总造价S的最小值. 20．(本小题满分16分)设函数的导函数为.若不等式对任意实数恒成立，则称函数是“超导函数”.（1）请举一个“超导函数” 的例子，并加以证明；（2）若函数与都是“超导函数”，且其中一个在上单调递增，另一个在上单调递减，求证：函数是“超导函数”；（3）若函数是“超导函数”且方程无实根，（为自然对数的底数），判断方程的实数根的个数并说明理由.参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1. 2. 3. 真 4. 5. 6. 7. 8. 9. （理） （文） 10. （理） （文） 11. 12. 13. 14. 二、解答题15．(理科)解：(1)因为，所以，即．① ……………………………2分又，得．② ………4分联立①，②解得，． ………6分(2)，依题意知，故，，，．…………………………10分故的概率分布为的数学期望为．……………………………………………………14分(文科)解：(1), ………………2分． ………………………4分则 …………………(2)，因为“”是“”的必要不充分条件，所以且． ………………10分由，得，解得． ……………12分经检验，当时，成立，故实数的取值范围是． ………14分16．(理科)解：在正四棱柱中，以为原点，、、分别为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系．因为，，，所以，， ……………………………………………………………2分所以，所以异面直线与所成角的余弦值为．…………6分(2)，设平面的一个法向量为．则，得，取，得，，故平面的一个法向量为． …………10分于是，所以直线与平面所成角的正弦值为． …………14分(文科)解：(1)由图形易得，，解得， …………………2分此时．因为的图象过，所以，得． ………………………………4分因为，所以，所以，得．综上，，． ……………………………6分 (2)由(1)得．……10分由，解得，其中．取，得，所以在上的单调递减区间为．………………………14分17（理科）（1），猜想. ………………6分（2）当时，命题成立； ……………8分假设当时命题成立，即， ……………10分故当时，，故时猜想也成立. …………………12分综上所述，猜想成立，即. ………………14分（文科）（1）计算得，猜想该数列为单调递减数列…2分下面给出证明：，因为，故，所以恒成立，即数列为单调递减数列.……6分（2）假设中存在三项成等差数列，不妨设为这三项，……8分由（1）证得数列为单调递减数列，则，即，两边同时乘以，则等式可以化为，（※） ……………12分因为，所以均为正整数，故与为偶数，而为奇数，因此等式（※）两边的奇偶性不同，故等式（※）不可能成立，所以假设不成立，故数列中任意三项都不能构成等差数列．…14分18．（1）由可得， …………………2分设椭圆方程为，代入点，得，故椭圆方程为：. ……………4分（2）①由条件知，设，则满足，，两式作差得：，…………6分化简得，因为被平分，故，所以，即直线的斜率.………10分②设直线为，代入椭圆方程可得，（＃）所以，， ，，……………12分故 …………14分解得，此时方程（＃）中，故所求直线方程为. …………16分19.解：（1）①设曲线段所在的抛物线的方程为，将代入得，故抛物线的方程为，求导得，故切线的斜率为，而直线的倾斜角为q，故，t关于q的函数关系为.………………………………2分②因为，所以曲线段部分的造价为元，因为点到直线的距离为8分米，直线的倾斜角为q，故，部分的造价为，得两部分的总造价为，. ……6分（2）， …………………8分其中恒成立，令得，设且为角，…10分列表如下：0极小…………………………………12分故当时有最小值，此时，，， …………………………14分故总造价S的最小值为元. ……16分20.解：（1）举例：函数是“超导函数”，因为，，满足对任意实数恒成立，故是“超导函数”. ……4分注：答案不唯一，必须有证明过程才能给分，无证明过程的不给分.（2）∵，∴，∴ …………………………6分因为函数与都是“超导函数”，所以不等式与对任意实数都恒成立，故，，① …………8分而与一个在上单调递增，另一个在上单调递减，故，②由①②得对任意实数都恒成立，所以函数是“超导函数”. ……10分（3）∵，所以方程可化为，设函数，，则原方程即为，③ ……………………………12分因为是“超导函数”， ∴对任意实数恒成立，而方程无实根，故恒成立，所以在上单调递减， 故方程③等价于，即，…………14分设，，则在上恒成立，故在上单调递增，而，，且函数的图象在上连续不断，故在上有且仅有一个零点，从而原方程有且仅有唯一实数根.……………………………16分 。