高中数学（人教B版 选修2-2）第1章 导数及其应用 章末分层突破.doc

[自我校对]①导数及其应用　②导数的运算③曲线的切线斜率　④导数的四则运算　⑤函数的单调性　⑥曲线的切线　⑦最优化问题　⑧曲边梯形的面积　⑨微积分基本定理的应用　导数的几何意义及其应用利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点，常见的类型有两种，一是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)，①又y1＝f(x1)，②由①②求出x1，y1的值，即求出了过点P(x0，y0)的切线方程．　(1)曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于(　　)A．2e　　　　　　　　 B．eC．2 D．1(2)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图1­1所示，则该函数的图象是(　　) 【导学号：05410035】图1­1【精彩点拨】　(1)曲线在点(1,1)处的切线斜率即为该点处的导数．(2)由导数值的大小变化，确定原函数的变化情况，从而得出结论．【规范解答】　(1)y′＝ex－1＋xex－1＝(x＋1)ex－1，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为k＝2.(2)从导函数的图象可以看出，导函数值先增大后减小，x＝0时最大，所以函数f(x)的图象的变化率也先增大后减小，在x＝0时变化率最大．A项，在x＝0时变化率最小，故错误；C项，变化率是越来越大的，故错误；D项，变化率是越来越小的，故错误；B项正确．【答案】　(1)C　(2)B[再练一题]1．已知曲线y＝x3＋.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；(3)求斜率为4的曲线的切线方程．【解】　(1)∵P(2,4)在曲线y＝x3＋上，且y′＝x2，∴在点P(2,4)处的切线的斜率k＝4.∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.(2)设曲线y＝x3＋与过点P(2,4)的切线相切于点A，则切线的斜率k＝x.∴切线方程为y－＝x(x－x0)，即y＝x·x－x＋.∵点P(2,4)在切线上，∴4＝2x－x＋，即x－3x＋4＝0，∴x＋x－4x＋4＝0.∴x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，故所求的切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.(3)设切点为(x0，y0)，则切线的斜率k＝x＝4，∴x0＝±2.∴切点为(2,4)或.∴斜率为4的曲线的切线方程为y－4＝4(x－2)和y＋＝4(x＋2)，即4x－y－4＝0和12x－3y＋20＝0.利用导数判断函数的单调性利用导数的符号判断函数的增减性，进而确定函数的单调区间，这是导数的几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用，它充分体现了数形结合思想．这部分内容要注意的是f(x)为增函数⇔f′(x)≥0且f′(x)＝0的根有有限个，f(x)为减函数⇔f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个．　设函数f(x)＝xea－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间．【精彩点拨】　(1)利用导数的几何意义和求导运算建立方程组求未知数．(2)利用导数与函数单调性的关系判断函数的单调性．【规范解答】　(1)因为f(x)＝xea－x＋bx，所以f′(x)＝(1－x)ea－x＋b.依题设，即解得(2)由(1)知f(x)＝xe2－x＋ex.由f′(x)＝e2－x(1－x＋ex－1)及e2－x＞0知，f′(x)与1－x＋ex－1同号．令g(x)＝1－x＋ex－1，则g′(x)＝－1＋ex－1.所以，当x∈(－∞，1)时，g′(x)<0，g(x)在区间(－∞，1)上单调递减；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．故g(1)＝1是g(x)在区间(－∞，＋∞)上的最小值，从而g(x)>0，x∈(－∞，＋∞)．综上可知，f′(x)>0，x∈(－∞，＋∞)，故f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．[再练一题]2．(1)讨论函数f(x)＝ex的单调性，并证明当x＞0时，(x－2)ex＋x＋2＞0；(2)证明：当a∈[0,1)时，函数g(x)＝(x＞0)有最小值．设g(x)的最小值为h(a)，求函数h(a)的值域．【解】　(1)f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)．f′(x)＝＝≥0，当且仅当x＝0时，f′(x)＝0，所以f(x)在(－∞，－2)，(－2，＋∞)上单调递增．因此当x∈(0，＋∞)时，f(x)>f(0)＝－1.所以(x－2)ex>－(x＋2)，即(x－2)ex＋x＋2>0.(2)g′(x)＝＝(f(x)＋a)．由(1)知，f(x)＋a单调递增．对任意a∈[0,1)，f(0)＋a＝a－1＜0，f(2)＋a＝a≥0.因此，存在唯一xa∈(0,2]，使得f(xa)＋a＝0，即g′(xa)＝0.当0xa时，f(x)＋a>0，g′(x)>0，g(x)单调递增．因此g(x)在x＝xa处取得最小值，最小值为g(xa)＝＝＝.于是h(a)＝.由′＝＞0，得y＝单调递增，所以，由xa∈(0,2]，得＝＜h(a)＝≤＝.因为y＝单调递增，对任意λ∈，存在唯一的xa∈(0,2]，a＝－f(xa)∈[0,1)，使得h(a)＝λ.所以h(a)的值域是.综上，当a∈[0,1)时，g(x)有最小值h(a)，h(a)的值域是.利用导数研究函数的极值、最值由函数的解析式能求出函数的极值和最值，反过来由函数的极值或最值也能求出参数的值或取值范围．另外，这部分内容可能会和恒成立问题、有解等问题联系到一起考查．　已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图象上一点P(1,0)，且在点P处的切线与直线3x＋y＝0平行．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在区间[0，t](00.要使g(x)＝0在[1,3]上恰有两个相异的实根，则解得－20；当x∈[1,2]时，f′(x)<0；当x∈(2,3]时，f′(x)>0.所以当x＝1时，f(x)取得极大值f(1)＝5＋8c，当x＝2时，f(x)取得极小值f(2)＝4＋8c，又f(0)＝8c，f(3)＝9＋8c.所以当x∈[0,3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c.因为对于任意的x∈[0,3]，有f(x)9.故c的取值范围为c<－1或c>9.[再练一题]4．已知函数f(x)＝，且f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若P(x0，y0)为f(x)图象上的任意一点，直线l与f(x)的图象相切于P点，求直线l的斜率k的取值范围．【解】　(1)对函数f(x)求导，得f′(x)＝＝.因为。